第08讲 两角和与差的余弦、正弦、正切（思维导图+2知识点+8大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教B版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第08讲两角和与差的余弦、正弦、正切 Q风内容导航 —预习三步曲 第一步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正余弦和差公式的正用】 【题型02：正余弦和差公式的逆用】 【题型03：正切和差公式的正用】 【题型04：正切和差公式的逆用】 【题型05：求特殊角的三角函数】 【题型06：给值求值（凑角）】 【题型07：给值求角（凑角）】 【题型08：综合化简问题】 第二步：记 串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos(a-β)=cosa cosβ+sin a sin B;(2)cos(a+B)=cosa cosβ-sina sinβ 记忆口诀：“CCSS,符号改变”； (3)sin(a+β)=sina cosβ+cosa sinβ；(4)sin(a-β)=sina cosβ-cosa sinβ 记忆口诀：“SCCS,符号不变”； tan a +tan B (5)tan(a+B)= (a,B,a+B≠元+km,k∈Z 1-tana tan阝 (6)tan(a-β)= tana-tan B (B.a-B+kZ) 1+tan a tan B ☑知识点2：两角和与差的三角函数应用 1.给角求值与给值求值问题 1/28 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角， 也可以是常用的特殊角，例如工，工，亚 64'3 2.给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角 一般遵照以下原则：①己知正切函数值，选正切函数： ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦： 若角的范围是 22 选正弦。 02 练题型强知识 【题型01：正余弦和差公式的正用】 【题型02：正余弦和差公式的逆用】 【题型03：正切和差公式的正用】 【题型04：正切和差公式的逆用】 两角和与差 的余弦、正弦、正切 【题型05：求特殊角的三角函数】 【题型06：给值求值】 【题型07：给值求角】 【题型08：综合化简问题】 【题型01：正余弦和差公式的正用】 1.已如点PL同是角a的终边上一点，则co名a 【答案】3+v6 6 【详解】因为点P(L,√2)是角a的终边上一点，所以cosa=- 13 1+23,sina= 1+23 2cu+ma-95,5x636 则cos-a）-V5 6a 2x3+2×3=6 故答案为：3+V6 6 2/28 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.已知sina= a 4 osB七，B是第三象限角，则c0sa-B户 【答案】33 5 【胖解】由咖u-号ae（行则easa=--smra:- 4 由cosB三2，B是第象限角，则sinB=--cosB=-名 所以oa-=+mam月=[}[)- 65 故答案为： 33 65 3.在平面直角坐标系x0y中，角a与角B均以0x为始边，它们的终边关于X维对称若sia=3则 cos(a-B)=() A号 B. > 8 9 C.1 【答案】B 【详解】因为角a与角B均以0x为始边，它们的终边关于x轴对称，且sina=,>0, 3 则sim邛=-3’ 1 若α为第一象限角，则B为第四象限角， 3,得cosa=V-sima=2 由sina= 3 由nB=}得cosg=-5m项.25 3 此时cos(a-B)=cocB+-sinsinp=8_1-7 9991 若为第二象限角，则B为第三象限角， 由sina=3得cosa=-V-sina=2y2 1 3 由smB=-片，待cos8=--simp=25 3 此时cos(a-B)=cosB+sinsinp=8_】_7 9991 综上，osa-)-号 故选：B 3/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.若sina+sinβ= ,且cosa+cosB=-},则cosfa-B1= 【答案】-32 7 -0.84375 【详解】由题意， 1 sina sinB=cosa+cos= 4 (sina +sinB)2=sina+2sinasinB+sin'B= 4 (cosa+coB)c+cB=1 1 即 24 216 cosia-)=cosa cos+sinasins --sin2a-cos2a-sin2 B-cos2 B 2 32 故答案为： 27 32 B.-16 65 c D.33 65 【答案】B 【详解因为a0引B小sma=m8吕 所以coa=i-ma--周-手n月-eon-v-名 所以sin(a+B）=sina cosB+cosasinB= 故选：B 6.己知sina+β)=2，tana=3tanβ，则sin(a-B)=_ 【答案】3 【详解】由sin(a+B)= 3 可得sina cos+cosa sin B=2 3 4/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由tana=3tanB,可得： sina=3 sing cosa cosB· 即sina cos B-3 cosa sinβ=0， 联立可得：cosasin B=,.sinaco=号 6 2 所以sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B= 111 263' 故答案为：3 1 【题型02：正余弦和差公式的逆用】 7.计算cos43sin73+sin223cos287°=(） A月 B.3 2 D.-3 2 【答案】A 【详解】由题意可得：cos43°sim73°+sin223°cos287°=cos43sin73°+sin180°+43)cos360°-73) sin 73 cos43-os73'sin 3 in()sin 30 故选：A 8.sin25cos35°+sin65cos55°= 【答案】55 22 【详解】原式=sin90°-65)cos35+sin65°cos90°-35）=cos65cos35°+sin65°sin35 =c0s(65-35)=c0s30°-V5 2 故答案为： 3 2 9.已知sin(a-B)cosa-cos(B-a)sina= 25,B是第四象限角，则c0B+ π 的值是() 4 A.10 B.=i0 C.310 D.-30 10 10 10 10 【答案】D 【详解】由isim(a-B)cosa-cosB-a)sima-2y5得sin[a-B1-a]=2y5 5 即sin(-B=2，所以而g2】 5 5/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 1o.已知sma--co-eoB-a)in管g1则ma+} 【答案】7 【详解】已知na--osB-asna-字p1管，1） 则sin[(a-B）-a]=亏 3 即sinB=-3, 则owg- 周a9-子 则tamB+=l+iaB-7 4-1-tanβ 故答案为：7 11.在△ABC中，sinA=8 sin B sin C,cosA=8 cos B cos C,则tanA=() A.9 B.-9 C.8 D.-8 【答案】A 【详解】由sinA=8 sin B sinC,cosA=8 cos B cosC, cos A-sin A=8(cos B cosC-sin B sin C)=8cos(B+C), 又cosB+C)=c0sπ-A)=-cosA,代入可得cosA-sinA=-8cosA, 所以sinA=9cosA,即得tanA=9 故选：A 12.(多选)下列各式中，计算结果为1的是() A.sin75°cosl5°+c0s75°sinl5 B.cos43°cos137°-sin43°sin137° C.v3-tan159 D.sin220°+cos2340° 1+√3tanl5o 【答案】ACD 【详解】sin75°cosl5°+cos75°sin15°=sin(75°+15）=sin90°=1，故A正确： 6/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos43°c0s137°-sin43°sin137°=cos43°+137）=cos180°=-1，故B错误； √3-tanl5o tan60°-tan15° 1+√3tanl5°1+tan60°tanl5o =tan60°-15）=tan45°=1，故C正确： sin220°+cos2340°=sin220°+cos2(360°-20）=sin220°+c0s220°=1，故D正确 故选：ACD 【题型3：正切和差公式的正用】 13.已知ae0}且sma则m(任-) 2 5 1 B.-7 C.7 D.-7 【答案】A 3 所以tanc= 4 3 tan -tana 1- 则tan 4 41 -0 一三一 4 1+tan tana 1+ 3 4 4 故选：A 14.己知角o,B的终边均不在坐标轴上，且tana+B)-tana=tanB,则下列结论正确的是() A.sina+β）=1 B.cosa-β)=0 C.sin2a+sin2β=1 D.sin2a+cos2β=1 【答案】D 【详解】：tana+β)-tana=tanB,tan(a+β)=tanB+tana, 即tana+B=anB+tana=tan明+tana, :角o,B的终边均不在坐标轴上，∴.tanBtana≠0， 则tanβ+tana=0,a=-阝+kπkeZ), :a+B=kπ(keZ),∴.sina+B）=sinkπ=0，A选项错误； a-B=-2B+kπ(k∈Z),cosa-B)不为定值，B选项错误； sin2a+sin2B=sin2(kπ-B)+sin2B=2sin2B不为定值，C选项错误； sin2a+cos2B=sin2(kπ-B)+cos2p=sin2B+cos2B=1,D选项正确 故选：D 7/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.已知ana+4 =2,则 2sina+sin(a+π- ,3π sina+2 () B.3 3 D.-3 【答案】C tan a tan- 【详解】由tana+ =2台 "4=2台ana+1-2, 4 l-tana×tan 1-tana 4 解得：tano= 3 2sina +sin(a+)2sina -sina=-tana = 1 所以 3π sima+2】 -cosa 3, 故选：C 16.已知0∈ 4 A 1 B.-7 C.-7 D.7 【答案】C 所以tan0= sin0 454 c0s0533 tan 所以tan π-0=4 -tano 1--3 4 一三一 =-7 4)1+tan tan0 1+-3 4 4 故选：C 17.已知tan0=sin6+3cos0, sine-cos0 0 E 1 A.0 B.-2 C.2 D.2 【答案】B 【详解】因tan0=sin9+3cos0 an9则an20-2an0-3-0, tan+3 sine-cose 得tan0=-1或3， 因8e0,》,则a0=3,则am0+到}-m9}-2 41-tan01-3 8/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 18.已知tan(a+B）=3,tan(a-B)=5,则4tana+tanB=() A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【详解】因为tana+p)=3,tana-f)=5, tana +tan B =3 1-tano tanβ tan a tan B =3(1-tana tan B) 所以 ,化简得 tana-tan B .=5 tana-tanB=51+tana tanβ)② 1+tan a tan B ①+②得tano=4+tana tan B,①-②得tanB=-l-4 tano tan阝 所以4tana+tanB=16-1=15 故选：C 【题型04：正切和差公式的逆用】 19.若e+B-经，则1+aa1+an到=（） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 【详解】tan(a+p)= tanc+tan B=tan? 1-tan a.tan B 5π=l→tana+tanB=l-tana:tanB, 4 (1+tana)1+tanβ=1+tana+tan阝+tan atan B=1+l-tanatanβ+tana,tanβ=2 故选：D 20. 已知tan0,tan (行-0是方程r+2m-3=0的两个实很，则m=（) A.-25 B.-65 C.45 D.-43 【答案】A 【详解】由韦达定理，可得tan0+tan 后-0-2m,tan8m3-0-3, tan+tan 因 3 1-tantan 3 将代入上式，得2得=5，解得m=-25 故选：A. 21.已知一tan20.tan40 tan20'+tan40°-v5 9/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-3 【详解】 tan20°×tan40 tan20°×tan40 -tan20°+tan40° tan20°+tan40°-√3 tan20°+tan40°-tan20+tan401-tan20°×tan40 tan(20°+40°） 3 1-tan20°☐an40 故答案为： 、3 22.已知0°≤a≤180满足am39+an81r+iana=V5,则a的值为（) tan39°tan81° A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】B 【详解】因为0≤a≤180满足an39+an8r+ana-5, tan39°tan81 所以tana=√3tan39°tan81°-tan39°+tan8）, 因为an120=tan39+8I）=an39+ian8T-5, 1-tan39°tan81° 故tan39°+tan81°=-V31-tan39tan81）, 故tana=V3tan39tan8r-(tan39°+tan81r）=v5tan39tan8°+V5l-tan39tan8I）=V3, 因此，a=60 故选：B 【题型05：求特殊角的三角函数】 23.求c0s75的值为_ 【答案】6-2 4 【详解】cos75°=cos45°+30）=cos45°cos30°-sin45sin30°= 2,52x1 2 222 =6-2 4 故答案为：】 6-v反 4 24.tanl5°-tan75°=（) A.-4 B.-6 C.-3V3 D.-25 【答案】D 10/28 第08讲 两角和与差的余弦、正弦、正切 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正余弦和差公式的正用】 【题型02：正余弦和差公式的逆用】 【题型03：正切和差公式的正用】 【题型04：正切和差公式的逆用】 【题型05：求特殊角的三角函数】 【题型06：给值求值（凑角）】 【题型07：给值求角（凑角）】 【题型08：综合化简问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点2：两角和与差的三角函数应用 1.给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角，也可以是常用的特殊角，例如 2.给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 一般遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦； 若角的范围是，选正弦. 【题型01：正余弦和差公式的正用】 1．已知点是角的终边上一点，则 . 2．已知，，，是第三象限角，则 ． 3．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（   ） A． B． C． D． 4．若，且 ，则 . 5．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则 . 【题型02：正余弦和差公式的逆用】 7．计算（    ） A． B． C． D． 8． ． 9．已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则 . 11．在中，，，则（    ） A．9 B． C．8 D． 12．（多选）下列各式中，计算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 【题型03：正切和差公式的正用】 13．已知 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 14．已知角的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（   ） A． B．3 C． D． 16．已知，，则（    ） A． B． C． D．7 17．已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 18．已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【题型04：正切和差公式的逆用】 19．若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 20．已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 21．已知 ． 22．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型05：求特殊角的三角函数】 23．求的值为 ． 24．（   ） A． B． C． D． 25． ． 26．下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 27．（    ） A． B． C． D． 28．的值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型06：给值求值（凑角）】 29．已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 30．若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 31．已知为钝角，，则（    ） A． B． C．7 D． 32．已知，，，则 . 33．已知，且，则 . 34．已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型07：给值求角（凑角）】 35．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．若，且为锐角，为钝角，则 37．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； 38．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【题型08：综合化简问题】 39．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 40．若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 41．已知，则 （    ） A． B． C． D． 42．已知，，，则 ． 43．已知，，则 ，的最小值是 . 44．已知角满足，则 . 45．已知，，且，，则 . 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．的值等于（   ） A．0 B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列四个选项中，化简正确的是（ ） A． B． C． D． 8．设，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，已知点，若点A绕原点顺时针旋转到点B，则点B的横坐标为 10．若，，则 ． 11．若，则的值为 ． 四、解答题 12．已知角，的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点. (1)求，的值； (2)求的值； (3)若角终边绕原点逆时针转过后与角的终边重合，求的值. 13．已知是方程的根. (1)求的值； (2)若是第三象限角，，，求的值. 14．计算与求值 (1)已知，，，，求的值. (2)已知，，且，，求的值； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $