2025-2026学年人教版七年级上册期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期七年级数学期末考试卷 考试范围：1-6章；考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分） 1．已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如果是关于x的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．21 D．5 3．下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下面各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，长方形的长与宽 B．购买大米和绿豆的总费用一定，大米的费用与绿豆的费用 C．汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间 D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 5．程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 6．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 7．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，如图是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是（   ） A． B． C． D． 9．下图为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（    ） （1）如果，那么 （2）将精确到百分位的近似数是 （3）点、、三点在一条直线上，，，则 （4）比较大小： （5）一个锐角的补角比这个角的余角大 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 10．观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，已知，平分，射线在内部，且，作射线，使，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 12．如图，数轴上点表示，点表示20，动点，分别从，同时出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向射线方向运动，设运动时间为，点为的中点，点为的中点．以下结论：①点到达点时，；②；③当时，；④，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分） 13．如果，那么的值为 ． 14．定义一种新运算：，则 ． 15．已知方程与关于的方程的解相同．若在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，则的值为 ． 16．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当 时，． 三、解答题（共78分） 17．计算： (1)； (2)； 18．解方程： (1)； (2)． 19．如图，O是直线上一点，以O为顶点作，其中，位于直线的两侧，平分． (1)若，求的度数． (2)请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 20．先化简，再求值：，其中． 21．如图，点是线段上一点，且，两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 22．如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，设点运动时间为秒（）． (1)当时， ；此时线段的长度 ． (2)点沿点运动时， ；（用含的代数式表示的长） 点沿点运动时， ．（用含的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 23．点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 24．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期七年级数学期末考试卷 考试范围：七年级上册1-6章；考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分） 1．已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，求代数式的值，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键．由绝对值的性质知为或；由相反数的定义知为，分别计算的值即可． 【详解】解：，的相反数是， 或，， 当时，； 当时，， 的值为或． 故选：D． 2．如果是关于x的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到a和b的关系式，然后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， 故选：C. 3．下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式的次数，多项式的项，次数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． 单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，几个单项式的和叫多项式，其中的单项式叫多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，根据定义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积，1是数字， ∴ 结论①正确. ∵ 单项式的次数是所有字母指数的和，中字母指数和为， ∴ 结论②错误. ∵ 单项式的系数是数字部分，包括常数，故系数为；次数是字母指数和， ∴ 结论③错误. ∵ 多项式的次数是最高次项的次数，的次数为，的次数为，的次数为，故最高次数为，是四次三项式， ∴ 结论④错误. 综上，只有结论①正确， 故选：A． 4．下面各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，长方形的长与宽 B．购买大米和绿豆的总费用一定，大米的费用与绿豆的费用 C．汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间 D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例关系，掌握成反比例关系的两个量的积为定值是解题的关键． 根据成反比例关系的两个量的积为定值逐项判断即可． 【详解】解：A．长方形的周长一定，则长+宽=周长的一半，即和一定，不是乘积一定，故不成反比例，不符合题意； B．总费用一定，即大米费用+绿豆费用=常数，和一定，不是乘积一定，故不成反比例，不符合题意； C．路程一定，即速度×时间=常数，即速度与时间的乘积为常数，故成反比例关系，符合题意； D．圆柱底面积一定，体积=底面积×高，即体积与高的比值为常数，成正比，不是反比，不符合题意． 故选C． 5．程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，设大和尚有人，则小和尚有人，根据馒头总数列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，由题意， ； 故选C． 6．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值，熟练掌握该知识点是关键． 根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则,返回继续运算： ,返回继续运算； ． 故选：． 7．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据题意和绝对值的意义，得到，且到原点的距离大于到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：∵都不为0， ∴，且到原点的距离大于到原点的距离， ∴符合题意的只有选项C； 故选：C． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，如图是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意可得，图表示的天数是，然后通过运算法则即可求解，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图表示的天数是 ， 故选：． 9．下图为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（    ） （1）如果，那么 （2）将精确到百分位的近似数是 （3）点、、三点在一条直线上，，，则 （4）比较大小： （5）一个锐角的补角比这个角的余角大 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，求近似数，线段的和差，有理数的大小比较，余角和补角的相关计算．逐一判断小亮每个小题的正确性，根据正确小题数计算总分，每小题20分． 【详解】（1）的解为或，小亮只写，错误； （2）精确到百分位需看千分位5，进位后为，小亮写（仅十分位），错误； （3）、、共线，但点位置未定，可能为或，小亮直接写，错误； （4）＞，正确； （5）锐角的补角，余角，差值为，正确； ∴正确小题为（4）和（5），共2题； ∴总分=分． 故选：D． 10．观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律题，根据已知图形得出 “◎”个数变化规律即可求解． 【详解】解：由图可得，第1个图案中“◎”的个数为3，， 第2个图案中“◎”的个数为6，， 第3个图案中“◎”的个数为9，， 第4个图案中“◎”的个数为12，， …… 以此类推，第n个图案中“◎”的个数为， 故选：A． 11．如图，已知，平分，射线在内部，且，作射线，使，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：平分，， ， ， ， 当在下方时，如图所示： ∵， ∴； 当在上方时，如图所示： ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故选：D． 12．如图，数轴上点表示，点表示20，动点，分别从，同时出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向射线方向运动，设运动时间为，点为的中点，点为的中点．以下结论：①点到达点时，；②；③当时，；④，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用． 根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①点到达点时，则，解得，故①错误，不符合题意； ②，， ∴，正确，②符合题意； ③，， 当时， 或20； 故③不符合题意； ④， 故正确，④符合题意． ∴正确的有②④ 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分） 13．如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 14．定义一种新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； 根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：由新运算定义 ， 得， ∴， 故答案为：． 15．已知方程与关于的方程的解相同．若在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解，相反数的几何意义，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． 先求解第一个方程得到x的值，再代入第二个方程求出a；根据数轴上的点关于原点对称的条件确定b的值，以及最大的负整数确定c的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：解方程，得， ∵方程与关于的方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． ∵在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴b与a互为相反数， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴． ∴． 故答案为：． 16．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积,一元一次方程的应用．分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：①如图1， 当在上时， 的面积等于， ， ； ②当在上时，如图2， 的面积等于， ， ， ； ③当在上时，如图3， ， ，而，，不符合题意，舍去； 故答案为：或6． 三、解答题（共78分） 17．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤是解题关键． （1）先移项、合并同类项，再系数化为，即可得答案； （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为，即可得答案． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 解得． （2）解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 19．如图，O是直线上一点，以O为顶点作，其中，位于直线的两侧，平分． (1)若，求的度数． (2)请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出，再由角平分线的定义得出，最后由平角的定义计算即可得出结果； （2）求出，再由角平分线的定义可得，再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：． 理由如下：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．如图，点是线段上一点，且，两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用． ()先求出，则由线段中点的定义可得； ()先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论； ()分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动后，， ∵点恰好分别为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为； （2）证明：设运动时间为， 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：当时，在左侧， ∵两点到点的距离相等， ∴， 解得：； 当时，在右侧， ∵两点到点的距离相等， ∴， 解得：， ∴的值为或． 22．如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，设点运动时间为秒（）． (1)当时， ；此时线段的长度 ． (2)点沿点运动时， ；（用含的代数式表示的长） 点沿点运动时， ．（用含的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在点，使得，的值为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据题意可得当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长； （2）当点沿点运动时，根据运动过程，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，根据运动过程，可用含的代数式表示出线段的长； （3）按照及两种情况分类讨论，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是线段的中点， ∴此时线段． 故答案为： ，； （2）解：根据题意得：当点沿点运动时，， 故答案为：； 当点沿点运动时，． 故答案为：； （3）解：存在，当时，，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，，， 根据题意得：， 解得：． ∴在运动过程中，存在点，使得，的值为或． 23．点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差． （1）利用角平分线求出，再结合角平分线求出即可； （2）用含α的式子表示，再结合角平分线求出即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 是的平分线， . 24．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)，； (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍，再在乙店买20盒乒乓球 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外20盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：甲店购买球拍和球的总费用为：元， 乙店购买球拍和球的总费用为：元， 故答案为： ，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）解：当时， ①在甲店购买球拍和球的总费用为： （元）， ②在乙店购买球拍和球的总费用为： （元）， ③在甲店买10副球拍送10盒球，费用为，在乙店买盒乒乓球， 费用为，则总费用为 （元） ∵， ∴最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍送10盒球，再在乙店买20盒乒乓球． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $