第7章 概率初步（续）（单元自测·基础卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第7章 概率初步（续） 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．掷一颗骰子，令事件，则 （结果用数值表示） 2．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 3．有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则 ． 4．某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为 . 5．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 6．已知随机变量，，若，且，则 . 7．若随机变量服从二项分布，则 ． 8．一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 9．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 10．某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ． 11．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为 （用表示）． 12．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ． 附：，， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 14．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 15．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 16．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 18．（14分）某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 19．（14分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 (1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求； （附：若，则，，，） (2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为． 现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望． 20．（18分）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 21．（18分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率初步（续） 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.. 2. 3.. 4.0.4 5.2 6. 4 7.. 8 9. . 10. 11. . 12.4 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 B A D C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则， 依题意，，，． 由全概率公式， 为求，设“飞机被第i人击中”，，，， 将数据代入计算得 （7分） （2） 于是 ． （7分） （3）． 18．（14分）【详解】（1）记班以比赢得最终胜利，为事件， 则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利， 因此. （5分） （2）的可能取值为， 当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局， 则， 所以的分布为： 所以数学期望. （9分） 19．（14分）【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得： ， 又由， 所以. （7分） （2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元， 其中；； ；， 所以随机变量的分布列为： 20 40 60 80 所以期望为. （7分） 20．（18分）【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为， 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数， 恰好抽到1件次品的概率为. （4分） （2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关， 所以需要分3种情况分别计算： ①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件， 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件， 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件， 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. （10分） （3）对超几何分布与二项分布关系的认识： 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败． 不同点： 1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取； 2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布． （4分） 21．（18分）【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （3分） （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （5分） （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. （10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率初步（续） 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．掷一颗骰子，令事件，则 （结果用数值表示） 【答案】/0.5 【分析】根据条件概率公式代入求得. 【详解】由题意：， 所以，， 所以. 故答案为：. 2．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【分析】根据全概率公式进行求解. 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 3．有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则 ． 【答案】 【分析】由全概率公式求得，然后求得，最后结合条件概率公式即可得解. 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 4．某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为 . 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 5．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 【答案】2 【分析】由期望的计算公式计算. 【详解】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 故答案为：2 6．已知随机变量，，若，且，则 . 【答案】4 【分析】利用方差的线性关系公式来求解即可. 【详解】由. 故答案为：4 7．若随机变量服从二项分布，则 ． 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 8．一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】每1粒种子发芽的概率为，发芽种子数量， 所以发芽种子数量的方差是. 故答案为： 9．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 10．某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性计算可得任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为，再由二项分布公式计算可得结果. 【详解】根据可得， 即，又由对称性可知， 所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为； 因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为； 故答案为： 11．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为 （用表示）． 【答案】 【分析】由题知， ，利用，可求得. 【详解】由题知， ， ， ， . 故答案为：. 12．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ． 附：，， 【答案】4 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得： ， 所以， 由，即，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 14．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 【答案】A 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断. 【详解】由，故选项A错误，选项B正确； 若A、独立，则，，故选项C正确； 若A、互斥，则，，故选项D正确. 故选：A. 15．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 16．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值. 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望 ，依题意有， 即，解得或，结合p的实际意义，可得. 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得; (3)根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则， 依题意，，，． 由全概率公式， 为求，设“飞机被第i人击中”，，，， 将数据代入计算得 （2） 于是 ． （3）． 18．（14分）某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布见解析， 【分析】（1）趣味比赛班以比赢得最终胜利，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的可能取值为，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【详解】（1）记班以比赢得最终胜利，为事件， 则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利， 因此. （2）的可能取值为， 当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局， 则， 所以的分布为： 所以数学期望. 19．（14分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 (1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求； （附：若，则，，，） (2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为． 现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值. （2）根据题得到话费可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得： ， 又由， 所以. （2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元， 其中；； ；， 所以随机变量的分布列为： 20 40 60 80 所以期望为. 20．（18分）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析. 【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值； （2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值； （3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明． 【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为， 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数， 恰好抽到1件次品的概率为. （2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关， 所以需要分3种情况分别计算： ①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件， 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件， 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件， 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. （3）对超几何分布与二项分布关系的认识： 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败． 不同点： 1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取； 2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布． 21．（18分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $