第6章 计数原理（单元自测·基础卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第6章 计数原理 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2.. 3. 4.8 5.8 6. 7.9 8 9. 10. 420． 11. 228 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 B B B C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）如果选派的是医生则有3种选派方法； 如果选派的是护士则有5种选派方法； 如果选派的是麻醉师则有2种选派方法. 由分类计数可知，总的选派方法有种. (7分) （2）第一步选派的是医生有3种选派方法； 第二步选派的是护士有5种选派方法； 第三步选派的是麻醉师有2种选派方法. 由分步计数可知，总的选派方法有种. （7分） 18．（14分）【详解】（1）先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中， 因此，排法种数为； （4分） （2）将C，D两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为； （5分） （3）E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论： ①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； ②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选， 将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法． 综上所述，共有种不同的排法种数． （5分） 19．（14分）【详解】（1）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为， 即，解得或，因为，所以． （4分） （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄“，“黄黄黄—黄黄黄“，“黄黄—黄黄黄黄“，“黄黄黄黄—黄黄“，“黄黄黄黄黄黄“5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上． 所以“黄黄—黄黄—黄黄“有种排法； “黄黄黄—黄黄黄“，“黄黄—黄黄黄黄“，“黄黄黄黄—黄黄“均有种排法， 总共种；“黄黄黄黄黄黄“有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄“与“黄黄黄—黄黄黄“两种情况，所以，即有， 解得或（舍去），所以的最小值为6． （10分） 20．（18分）【详解】（1）展开式的通项为，故. （3分） （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （6分） （3）展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． （9分） 21．（18分）【详解】（1） （3分） （2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数 证明：当时，有， 当时， （8分） （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以 证毕. （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 计数原理 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 2．从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数 个.（用数字作答） 3．某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为 4．已知n为正整数，且，则 ． 5．若，则正整数 . 6．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示） 7．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有 种． 8．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是 ． 9．的展开式中含项的系数是 ． 10．的展开式中的系数为 ． 11．已知当时，有，若对任意的都有，则 . 12．全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有 种. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 14．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 15．已知，则（ ） A． B． C． D．0 16．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）现有3名医生，5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 18．（14分）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 19．（14分）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且甲乙摸球相互独立．已知乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率为．求的值； (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻.记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为，若，求的最小值. 20．（18分）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 21．（18分）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 计数原理 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 【答案】64 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意知，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故答案为： 2．从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数 个.（用数字作答） 【答案】 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法， 故末位是0的三位偶数有； 末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法， 故末位不是0的三位偶数有； 所以共有个． 故答案为：. 3．某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为 【答案】 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 4．已知n为正整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用排列数公式，列式求解作答. 【详解】依题意，n为正整数，， 因为，则有，解得， 所以. 故答案为：8 5．若，则正整数 . 【答案】8 【分析】利用排列数和组合数公式求解. 【详解】解：因为， 所以 ， 解得 ， 故答案为：8 6．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】总的情况为种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况， ∴概率为, 故答案为： 7．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有 种． 【答案】 【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解. 【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女， 共有种选法. 故答案为：9 8．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根据值域个数，将定义域中的元素进行分组，求解所有的函数个数，再利用隔板法求函数为增函数的个数，再根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个， 若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数， 将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数， 将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数， 则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数； 若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数， 将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数， 将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数， 则共有个函数， 综上可知，共有个函数， 其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件， 当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数， 若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数， 综上可知，为增函数的函数有个函数， 所以为增函数的概率. 故答案为： 9．的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 10．的展开式中的系数为 ． 【答案】420 【分析】根据的展开式为即可求解． 【详解】依题意，所求系数为． 故答案为：420． 11．已知当时，有，若对任意的都有，则 . 【答案】228 【分析】由得到，则可把化为，由为展开式中的系数即可求出. 【详解】当时，有， 所以， 则， 则为展开式中的系数， 因为，所以. 故答案为：228 12．全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有 种. 【答案】 【分析】由条件可知，再通过列举的方法，计算集合的取法. 【详解】由集合的元素和为， 若则， 所以，即 不妨设，则， 所以，所以，即. 则只能有. 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，2种取法； 当时，则满足，且需从中取： 此时有0种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，6种取法； 当时，则满足，且需从中取，所以有，1种取法. 所以共有， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 14．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A.由组合数的定义判断；B.由排列数的定义判断；CD.由组合数的性质判断. 【详解】对A，由组合数的定义可知，，A选项错误； 对B，由排列数的定义可知，B选项正确； 对CD，由组合数的性质可知，则，则C、D选项均错误． 故选：B． 15．已知，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】令得，则，利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，则， 则有， 所以，， 所以令有 ， 所以， 故选：B. 16．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）现有3名医生，5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)10 (2)30 【分析】（1）分类计数，分别计算出医生、护士、麻醉师选派1名的选派方法数，然后相加即可； （2）分步计数，分别计算出第一步选医生、第二步选护士、第三步选麻醉师的选派方法数，然后相乘即可； 【详解】（1）如果选派的是医生则有3种选派方法； 如果选派的是护士则有5种选派方法； 如果选派的是麻醉师则有2种选派方法. 由分类计数可知，总的选派方法有种. （2）第一步选派的是医生有3种选派方法； 第二步选派的是护士有5种选派方法； 第三步选派的是麻醉师有2种选派方法. 由分步计数可知，总的选派方法有种. 18．（14分）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）利用插空法可以求解； （2）利用捆绑法可以求解； （3）分两种情况讨论，①若E在排尾， ②若E不在排尾，分别求出排法种数，即可求得答案. 【详解】（1）先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中， 因此，排法种数为； （2）将C，D两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为； （3）E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论： ①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； ②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选， 将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法． 综上所述，共有种不同的排法种数． 19．（14分）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且甲乙摸球相互独立．已知乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率为．求的值； (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻.记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为，若，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）根据甲第一次摸到黄乒乓球，接下来乙在第1次恰好摸到白乒乓球求概率即可解出； （2）先将黄球分组，再利用插空法即可得出事件总数，进而求出概率即可得解. 【详解】（1）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为， 即，解得或，因为，所以． （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄“，“黄黄黄—黄黄黄“，“黄黄—黄黄黄黄“，“黄黄黄黄—黄黄“，“黄黄黄黄黄黄“5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上． 所以“黄黄—黄黄—黄黄“有种排法； “黄黄黄—黄黄黄“，“黄黄—黄黄黄黄“，“黄黄黄黄—黄黄“均有种排法， 总共种；“黄黄黄黄黄黄“有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄“与“黄黄黄—黄黄黄“两种情况，所以，即有， 解得或（舍去），所以的最小值为6． 20．（18分）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】(1) (2) (3)第25项或第26项. 【分析】（1）直接利用二项式定理通项公式计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （３）假设展开式系数最大的项为第项.则，解出即可． 【详解】（1）展开式的通项为，故. （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （3）展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． 21．（18分）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1) (2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的是否只能是整数即可； （3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明. 【详解】（1） （2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数 证明：当时，有， 当时， （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以 证毕. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $