第5章 导数及其应用（单元自测·基础卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第5章 导数及其应用 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.1 2.（答案不唯一）. 3. 4.. 5. 6.（答案不唯一） 7.. 8.2. 9.. 10. 11.3． 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 D A B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （7分） （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. （7分） 18．（14分）【详解】（1）， （7分） （2），. （7分） 19．（14分）【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （3分） （2）函数的定义域为， 又 ， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. （11分） 20．（18分）【详解】（1）设 ，， 则 ，， 假设函数与的存在 “点”， 需满足：， 即， 由（2）式得：， 当 ，， 当 ，， 方程 与 无共同解，故无“S点”. （5分） （2）设 ，， 则 ，， 由题意得： 需同时满足：， ， 将 (4) 代入 (3)：， 代入 (4)中得： 所以 . （5分） （3）设 ，， 则 ，， 函数与在区间内存在“S点”， 需同时满足：， 即， 由 (5)得：， 联立 (6) 和 (7)得： ， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得. 此时：， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递减， 故的最小值在 时取到， 所以. （8分） 21．（18分）【详解】（1）由题意有，所以，时， 所以，即， 所以切线方程为； （3分） （2）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有一个零点1， 当时，因为， 所以有唯一的零点； （5分） （3）由（2）有：，且， 两边取自然对数得①， 所以②， 由②①有：， 所以， 因为，所以在上单调递增， 所以，所以数列单调递增， 假设数列中存在成等比数列， 所以，即③， 由①有：代入③有： ， 所以④， 因为，所以， 当且仅当时取等， 又因为， 所以方程④无解，故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. （10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 2．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用平均变化率的定义计算即可. 【详解】设， 则， 令，解得. 所以 可以取任意实数，不妨取， 则从1到的平均变化率为. 故答案为：（答案不唯一）. 3．若函数，则 ． 【答案】 【分析】对函数求导，然后将代入计算即可求解. 【详解】因为函数，对函数求导得， 所以，解得. 故答案为： 4．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用导数的定义，化简得到，再由，求得，即可求解. 【详解】由， 又由函数，可得，则， 所以. 故答案为：. 5．若直线（为实数）是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【分析】求得，设切点为，得到，得出切点为，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以， 解得，所以切点为， 代入切线方程为，可得，解得. 故答案为：. 6．设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是 ．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 【答案】（不唯一） 【分析】根据幂函数的性质结合条件可得所求的. 【详解】取，则，满足①； 在时成立，满足②， 的定义域为，，故是偶函数，满足③. 故函数可以是. 故答案为：（答案不唯一） 7．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 8．已知函数在处取得极值，则实数 . 【答案】2 【分析】求出函数的导数，令即可得结果. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 经检验满足题意， 故答案为：2. 9．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导讨论的正负情况，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得. 【详解】由题，， 若，则，无极值点， 若，则单调递增， 令得， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则的极小值点为，无极大值点， 则，得， 故答案为：. 10．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】对进行讨论，利用导数求解函数的单调性，可得最值，进而得，构造函数，利用导数求解最值即可得解. 【详解】由可得， 当时，此时恒成立，在上单调递增，当时，，不满足，故不合题意； 当时，此时； 当时，令得，故在单调递增， 令得，故在单调递减， 要使恒成立，则，故， 所以， 记，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，故的最大值为． 故答案为： 11．若函数的最大值为则的最小值为 . 【答案】 【分析】求导，利用导数的符号确定函数单调性，得到最大值，再设，继续求导，分析函数单调性得到最值即可． 【详解】函数的定义域为，， 设，则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为， 由，得， 所以， 设，则， 令，得（舍）或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有最小值， 即的最小值为3． 故答案为：3． 12．如图所示，已知， 内有一点与的距离为1 km，，，垂足分别为A、B且． 当四边形的面积为最大值时，则 ．(结果精确至0.01) 【答案】 【分析】先设角表示相关长度，求出面积表达式，利用三角恒等变换及导数求最值及相应角度. 【详解】设，则，由题意知，则， 如图，连接. 在中，，则，； 在中，同理可得，； 故四边形的面积，， 求导得，令，可得， 由，则， 令，则，即， 解得或（舍去）， 由，故不妨设，且， 当，即， 当，即时， ，即，在单调递增； 故，即当时取到最大值. 由，可得， 则 . 此时. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 14．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】求导，由导数的几何意义得到，再结合同角三角商的关系即可求解； 【详解】∵，∴曲线在处的切线的斜率为2，即． 又∵， 故选：A 15．对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性可得，的奇偶性，再根据时判断当时的正负，即可求解. 【详解】已知函数是奇函数，函数是偶函数， 则为偶函数，为奇函数， 又当时，，则当时，， 对于A选项，与的大小关系无法确定，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，与的大小关系无法确定，故D错误． 故选：B． 16．已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既有极大值又有极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则的最小值为2 【答案】D 【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B正确；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，由， 令时，可得，当时，或， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确； 对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是， 可得函数的大致图象，    所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得； （2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； 【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 18．（14分）求下列函数的导数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用求导公式计算得到答案. 【详解】（1）， （2），. 19．（14分）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又 ， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 20．（18分）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． (1)求函数与的“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知函数，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的最小值． 【答案】(1)无“S点” (2) (3) 【分析】（1）求导，假设存在“点”为，解方程组，可得结论； （2）求导，设“点”为，解方程组，可得结论． （3）设“点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得最小值. 【详解】（1）设 ，， 则 ，， 假设函数与的存在 “点”， 需满足：， 即， 由（2）式得：， 当 ，， 当 ，， 方程 与 无共同解，故无“S点”. （2）设 ，， 则 ，， 由题意得： 需同时满足：， ， 将 (4) 代入 (3)：， 代入 (4)中得： 所以 . （3）设 ，， 则 ，， 函数与在区间内存在“S点”， 需同时满足：， 即， 由 (5)得：， 联立 (6) 和 (7)得： ， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得. 此时：， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递减， 故的最小值在 时取到， 所以. 21．（18分）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程 (2)证明： 有唯一零点 (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 【分析】（1）先求，根据导数的几何意义即可求切线方程； （2）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可判断零点； （3）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明. 【详解】（1）由题意有，所以，时， 所以，即， 所以切线方程为； （2）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有一个零点1， 当时，因为， 所以有唯一的零点； （3）由（2）有：，且， 两边取自然对数得①， 所以②， 由②①有：， 所以， 因为，所以在上单调递增， 所以，所以数列单调递增， 假设数列中存在成等比数列， 所以，即③， 由①有：代入③有： ， 所以④， 因为，所以， 当且仅当时取等， 又因为， 所以方程④无解，故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 2．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个 ． 3．若函数，则 ． 4．已知函数，则 . 5．若直线（为实数）是曲线的一条切线，则 . 6．设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是 ．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 7．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 8．已知函数在处取得极值，则实数 . 9．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 10．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 11．若函数的最大值为则的最小值为 . 12．如图所示，已知， 内有一点与的距离为1 km，，，垂足分别为A、B且． 当四边形的面积为最大值时，则 ．(结果精确至0.01) 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 15．对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既有极大值又有极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则的最小值为2 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 18．（14分）求下列函数的导数： (1) (2) 19．（14分）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 20．（18分）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． (1)求函数与的“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知函数，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的最小值． 21．（18分）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程 (2)证明： 有唯一零点 (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $