2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末练习题

2025九数（提高) 2025-2026学年九年级数学期末练习题（BS版） 1、 选择题： 1.一元二次方程根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 2.下列几何体的俯视图是三角形的是(    ) A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 3.五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律如图，同一条直线上的三个点，，都在平行线上若，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同若米，米，米，则是米． A. B. C. D. 5.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE＝（　　） A．37.5° B．35° C．30° D．25° 6.若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 7.电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（　　） A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝5 8.如图，和是以点为位似中心的位似图形，：：，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接若，，则(    ) A. B. C. D . 10.如图，把个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是        ． 12.方程的一个根是，则        ． 13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点则的的取值范围        ． 14.如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若DH＝3，则AC＝ 　 　． 15.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 　 　． 三、解答题： 16.（1）解方程：3x2﹣4x+1＝0； （2）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，求m的取值范围． 17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1； （2）已知△ABC的面积为，则△A1B1C1的面积是　 　． 18.某校初一年级随机抽取30名学生，对5种活动形式：A、跑步，B、篮球，C、跳绳，D、乒乓球，E、武术，进行了随机抽样调查，每个学生只能选择一种运动形式，调查统计结果，绘制了不完整的统计图． （1）将条形图补充完整； （2）如果初一年级有900名学生，估计喜爱跳绳运动的有多少人？ （3）某次体育课上，老师在5个一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D、E，放在不透明的口袋中，每人每次摸出一个球并且只摸一次，然后放回，按照球上的标号参加对应活动，小明和小刚是好朋友，请用树状图或列表法的方法，求他俩恰好是同一种活动形式的概率． 19.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 20.综合与实践： “山西三日游”的调研分析 背景 随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度最高的旅游目的地之一． 某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级， 需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材1 活动推出后，月份报名参加“山西三日游”的人数为人， 随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增， 预计月份的报名人数将达到人． 素 材 2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：人起组团，每人的团费为元． 经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人， 但每人的团费不低于元． 问题解决 任务1 求从月份到月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率． 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 21【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． 支柱的高度 ______米 保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？______填“会”或“不会” 请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度请在图中画图并分析说明． 22.已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为． (1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 求的面积； (3) 观察图象，直接写出不等式的解集； (4) 若为直角三角形，直接写出值． 23.在平面直角坐标系中，点坐标为，过分别向坐标轴作垂线，交轴，轴于点，连接，如图，动点从点出发，以每秒个单位长度向终点运动．过点作，交于点，设运动时间为秒． 填空：    ，      ；用含的式子表示 如图，动点从点出发向终点运动，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动． 若动点的速度是每秒个单位长度，在、运动过程中，平面内是否存在一点，使以为对角线的四边形为菱形？若存在，请求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 若动点的速度是每秒个单位长度，当在的左侧时，如图，无论为何值，反比例函数的图象始终同时经过点和点，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学期末练习题（BS版） （答案） 1.一元二次方程根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C  【解析】解：， ，，， ， 方程没有实数根， 故选：． 2.下列几何体的俯视图是三角形的是(    ) A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 【答案】B  3.五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律如图，同一条直线上的三个点，，都在平行线上若，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：五条平行横线的距离都相等， ， ， 若，则的长是， 故选：． 4.如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同若米，米，米，则是米． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ∽， ， 即， 解得． 故选：． 5.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE＝（　　） A．37.5° B．35° C．30° D．25° 【答案】 C 6.若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  7.电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（　　） A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝5 【答案】B  8.如图，和是以点为位似中心的位似图形，：：，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形，：：， ∽，：：：， 的周长：的周长：， 的周长． 故选：． 9.如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：四边形为矩形， ， 在中，点为斜边的中点， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：． 10.如图，把个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 ， ， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， ，， ， ， 解得， ， 即每个矩形的周长为． 故选：． 11.反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是        ． 【答案】  【解析】解：反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得，； 故答案为：． 12.方程的一个根是，则        ． 【答案】  【解析】解：由题意得：， ， ， 13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点则的的取值范围        ． 【答案】或  【解析】解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，则： 由图象可知，的的取值范围或． 故答案为：或． 14.如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若DH＝3，则AC＝ 　 　． 【答案】18 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 　 　． 【答案】． 16.（1）解方程：3x2﹣4x+1＝0； （2）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，求m的取值范围． 【答案】解：（1）由题意，∵3x2﹣4x+1＝0， ∴（3x﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x或x＝1． （2）由题意，∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根， ∴m﹣1≠0且Δ＝4﹣12（m﹣1）≥0． ∴m≠1且m． ∴m且m≠1． 17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1； （2）已知△ABC的面积为，则△A1B1C1的面积是　 　． 解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）∵△ABC和△A1B1C1关于原点位似， ∴4S△ABC＝414． 故答案为14． 18.某校初一年级随机抽取30名学生，对5种活动形式：A、跑步，B、篮球，C、跳绳，D、乒乓球，E、武术，进行了随机抽样调查，每个学生只能选择一种运动形式，调查统计结果，绘制了不完整的统计图． （1）将条形图补充完整； （2）如果初一年级有900名学生，估计喜爱跳绳运动的有多少人？ （3）某次体育课上，老师在5个一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D、E，放在不透明的口袋中，每人每次摸出一个球并且只摸一次，然后放回，按照球上的标号参加对应活动，小明和小刚是好朋友，请用树状图或列表法的方法，求他俩恰好是同一种活动形式的概率． 解：（1）D类型的人数为30﹣（4+6+9+3）＝8（人）， 补全条形图如下： （2）900270（人）， 答：估计喜爱跳绳运动的有270人； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能结果，其中他俩恰好是同一种活动形式的有5种， ∴他俩恰好是同一种活动形式的概率为． 19.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64．  20、综合与实践： “山西三日游”的调研分析 背景 随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度最高的旅游目的地之一． 某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级， 需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材1 活动推出后，月份报名参加“山西三日游”的人数为人， 随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增， 预计月份的报名人数将达到人． 素 材 2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：人起组团，每人的团费为元． 经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人， 但每人的团费不低于元． 问题解决 任务1 求从月份到月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率． 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为， 由题意，得． 解，得，（不符合题意，舍去）． 所以，． 答：这两个月报名人数的月平均增长率为20%． 任务2：设每人的团费下调元， 由题意，得． 解，得，． 当时，，（不符合题意，舍去） 当时，， 答：下调后每人的团费为800元． 21.【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． 支柱的高度 ______米 保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？______填“会”或“不会” 请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度请在图中画图并分析说明． 【解析】解：如图中，当点在最高点时，作于点． ，， ， ，， 米． 故答案为：； 支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化， 理由是：这个高度米． 故答案为：不会； 如图中，当：：时，小明能把小蓝最高翘到米． 过点作于点． ，， ， ， ， 米． 22.已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为． (1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 求的面积； (3) 观察图象，直接写出不等式的解集； (4) 若为直角三角形，直接写出值． 【详解】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2），∴； （3）由图象可得，不等式的解集为：或. （4）如图，，， ，， ， ①当是斜边时， 解得: 或. ①当是斜边时， 解得: ①当是斜边时， 解得: 的值为：-6，6，，. 23.在平面直角坐标系中，点坐标为，过分别向坐标轴作垂线，交轴，轴于点，连接，如图，动点从点出发，以每秒个单位长度向终点运动．过点作，交于点，设运动时间为秒． 填空：           ，           ；用含的式子表示 如图，动点从点出发向终点运动，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动． 若动点的速度是每秒个单位长度，在、运动过程中，平面内是否存在一点，使以为对角线的四边形为菱形？若存在，请求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 若动点的速度是每秒个单位长度，当在的左侧时，如图，无论为何值，反比例函数的图象始终同时经过点和点，求的值． 【答案】解：， 四边形为矩形， 点坐标为， ，， ， 动点从点出发向运动，动点的运动速度是每秒个单位长度，运动时间为秒， ， ， (2)如图，过点Q作于点H， ∵动点Q的运动速度是每秒1个单位长度， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ∴ ∴ 由（1）可知，， ∴， 分情况讨论： Ⅰ、当点Q在线段上时，如图， 若，则四边形为菱形， 此时， ∵， ∴，解得， ∴， ∴；  Ⅱ、当点Q在线段上时，如图， 若，则四边形为菱形， 此时 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴的中点坐标为，即， 设由的中点与的中点为同一点，得 解得 ∴．  综上所述，点E坐标为或． ②如下图，过点Q作于点H， ∵动点Q的运动速度是每秒a个单位长度， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ∴ ∴ 由（1）可知， ∴ ∵点Q和点D均在反比例函数的图像上， ∴ 整理可得 ∵无论x为何值，反比例函数的图像始终同时经过点Q和点D， ∴对于任意x，均有成立， ∴，即 解得 ∴a的值为． 第25页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $