精品解析：上海海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

海大附高2025学年度第一学期过程性评价 高一数学 （考试时间：120分钟 ） 一、填空题（） 1. 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2. 函数的定义域为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 4. 用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二分法的原理可解. 【详解】第一次经计算可知， 说明该函数在区间内存在零点， 下次计算，. 故答案为：1 5. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法的基本思想求解即可. 【详解】用反证法证明命题“若，则或”， 应假设且. 故答案为：且. 6. 已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到不等式，即可解出实数的取值范围. 【详解】设方程的一正一负两个根为， 则，解得， 故答案为：. 7. 方程的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合绝对值的定义，分类讨论，分别求得方程的解，即可得到答案. 【详解】由方程，即， 当时，方程即为，解得，与矛盾（舍去）； 当时，方程即为，即恒成立，所以； 当时，方程即为，解得，与矛盾（舍去）， 综上可得，方程的解集为. 故答案为：. 8. 已知扇形的面积是1，周长是4，则扇形的圆心角（正角）为________弧度 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件代入公式求得扇形的半径和弧长，再利用弧长公式即可求出. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 又扇形的面积是1，，，解得，， 设扇形的圆心角为弧度， 根据弧长公式可得，即，解得. 故答案为：. 9. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，指对互化得，再结合条件得，，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又若对应的声强为，对应的声强为， 所以，，则， 故答案为：. 10. 已知为定义域上的严格增函数，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意可得， 若，则，矛盾，舍去； 若，则，所以， 综上可得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 11. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①由条件2知正确； 对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾. 对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾； 【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确； 对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误. 对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素. 当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故. 当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾. 综上，，故②正确，③错误. 故答案为：①②. 【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 二、选择题（） 13. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 角的大小是一个与半径大小无关的值 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【解析】 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 15. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 16. 定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（ ）. A. B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义将化为，对，依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为，从而可求得最小值. 【详解】， 由，得，即， 当时，，不等式为，则，其区间长度为； 当时，，不等式为，无解； 当时，，不等式为，无解； 当时，，不等式为，无解； 当时，，不等式为，无解； 当时，，不等式为，则，其区间长度为； 当时，，不等式为，则，其区间长度为； 当时，，不等式为，则，其区间长度为； 因此当时，不等式的解集为，而， 于是当时，不等式解集的区间长度为，所以实数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析. 三、解答题（） 17. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. 【小问2详解】 由，可得，整理得， 解得，即. 18. 如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求的值； （2）求的值 （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，即可得到答案； （2）根据题意得到，利用三角函数的定义和诱导公式，即可得出答案. （3）利用诱导公式，准确化简，即可得出答案. 【小问1详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. 【小问2详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. 【小问3详解】 因为，， ，， 所以. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）请证明函数是上的严格增函数 （2）求的值，把函数图象补充完整，写出函数其他的单调区间（直接写出结果）；并求函数在上的值域. （3）讨论方程的解的个数 【答案】（1） 任取,且， 可得， 因为,且，可得，则， 所以，可得，即， 所以在上为单调递增函数. （2）； 可得的单调递增区间为，；单调递减区间为，. 函数在上的值域为. （3） 当或时 方程有一解 ； 当或或或时 方程有两解 ； 当或或时，方程有三个解. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据奇函数的性质，得到，作出函数的图像，结合图像，写出函数的单调区间； （2）把方程化为，转化为与图像的交点个数，结合图象，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为函数是定义在上的奇函数，可得，且图象关于原点对称， 又因为当时，，作出的图象， 如图所示： 由函数图象，可得的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 当时，可得，则， 且，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 解：由方程，可化为， 则方程解的个数，即为函数与图像的交点个数， 由函数图像可得： ①当或时，即或时 两函数的图像只有一个交点， 此时方程有一解 ； ②当或或或时， 即或或或时 两函数的图像有两个交点， 此时方程有两解 ； ③当或或时， 即或或时 两函数的图像有三个交点， 此时方程有三个解 ， 综上可得：当或时 方程有一解 ； 当或或或时 方程有两解 ； 当或或时，方程有三个解. 20. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 【答案】（1）策略①购得120件产品，共用180元；策略②购得135件产品，共用180元 （2） 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济. （3） 由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 【解析】 【分析】（1）由采用策略①和②，结合题意，得出策略①和②中购买的产品总量和总金额； （2）根据题意，分别求得策略①和②中购买的平均价格，比较大小，即可得答案； （3）由（2）的结论，由得到，即，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 21. 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： （1）判断函数和是否为“自关联函数” （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． （3）若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且．解不等式 【答案】（1）是，不是； （2）不存在， 由是上的“自关联函数”，得当时，，， 则，即函数， 当时，函数在上都单调递减，在上单调递减， 因此在上单调递增，，方程无解； 当时，函数在上单调递增，， ，则，使得，而， 所以方程无正整数解，即不存在正整数使成立. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“自关联函数”的定义判断两个函数即可. （2）利用“自关联函数”的定义求出函数解析式，按和分类并结合零点存在性定理推理判断. （3）根据定义可得，结合已知判断其单调性，并借助对数函数的单调性求解不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，有，且， 所以是“自关联函数”； 函数的定义域为，而，， 所以不是“自关联函数”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由是上的“自关联函数”，得，， 由，得， 由在上是减函数，得，则，，， 于是，即，因此函数在上是减函数， 由，得，不等式 ， 即，解得，又因为， 所以原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海大附高2025学年度第一学期过程性评价 高一数学 （考试时间：120分钟 ） 一、填空题（） 1. 已知集合，，若，则____________. 2. 函数的定义域为____________ 3. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 4. 用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则________． 5. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是______________． 6. 已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 7. 方程的解集为________ 8. 已知扇形的面积是1，周长是4，则扇形的圆心角（正角）为________弧度 9. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 10. 已知为定义域上的严格增函数，则实数的取值范围为____________. 11. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 二、选择题（） 13. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 角的大小是一个与半径大小无关的值 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 若角是锐角，则一定是钝角 15. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A. B. C. D. 16. 定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（ ）. A. B. C. 6 D. 7 三、解答题（） 17. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围. 18. 如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求的值； （2）求的值 （3）求的值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）请证明函数是上的严格增函数 （2）求的值，把函数图象补充完整，写出函数其他的单调区间（直接写出结果）；并求函数在上的值域. （3）讨论方程的解的个数 20. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 21. 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： （1）判断函数和是否为“自关联函数” （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． （3）若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且．解不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $