2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷（人教A版选择性必修第一、二册全册）

2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 7 8 9 10 11 答案 D C D C B C C A AD AD BCD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中，a4+a=a,+8,则a=() A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】D在等差数列{an}中，由于a4+ag=a+8,故a+a,=a,+8,所以 a5=8 2已知双曲线E:女 =1,F,F分别为其左、右焦点，P为双曲线E上一点，且 94 PF=8,则PF=() A.2 B.14 C.2或14 D.4或14 【解析】C因为双曲线E:父-上=1，所以a=3,b=2,c=VQ+6=5, 94 故焦点坐标为F-V13,0,F(3,0 ①如图0，若点P在左支上，则PFn=c-a=3-3, PF2lmin =c+a=13+3, 由双曲线的定义可知PF引-PF=2a=6, 因为PF=8,所以PF=14,8>3-3,14>√3+3，所以符合题意 第1页共17页 图② ②如图②，若点P在右支上， PFilmin =c+a=13+3,PF2lnin c-a=v13-3, 由双曲线的定义，PF-|PF=2a=6,因为PF=8,所以PF=2 因为8>√3+3,2>√3-3，所以符合题意，综上，PF=2或14 3.若直线1：x+y-m=0(m>0)被圆C:(x-1)2+(y+12=4截得的弦长为2√2，则 m=() A.±2 B.瓦 C.2√2 D.2 【解析】D圆C:(x-1)2+(y+1)2=4的圆心C(1,-1),半径为2， 设圆心C到直线1：x+y-m=0(m>0)的距离d= 1-1-mm VP+122 由直线1被圆C截得的弦长为2√2，得2 2-(产=2所以m=2 4.过点M(2,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】C由y2=4x可知，抛物线开口朝右，则过点M(2,3)的直线斜率不存在时， 抛物线有两个交点，不符合题意； 当斜率为0时，直线y=3与抛物线有一个交点，符合题意； 当斜率存在且不为0时，设直线方程为y-3=k(x-2,即y=kx-2k+3, y2=4x 联立方程组得 少=任-2k+3'消去y得 第2页共17页 k2x2+2(-2k2+3k-2x+(-2k+3)2=0, 当直线与抛物线只有一个交点时，可知△=0， 即[2(-2k2+3k-2)-4k2(-2k+3)2=0,化简得2k2-3张+1=0，解得k=或 k=1, 综上，过点M(2,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有3条 5函数f(x)=n(2x)在x=2 处的切线与直线y=3x+5垂直，则a=() 1 Q、1 1 B.- D. 12 6 12 【解折】B函数f)=n2x到，求导得f"x到=-是n(2x到+号 f(x)在x=号处 =4a 切线斜率为 又f(x)在x=二处的切线与直线y=3x+5垂直， 所以3×4a=-1,解得a=- 1 12 6.如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是菱形，∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°， AB=AA=2,则点B到平面A,BD的距离为() D B D 6 33 A B.3V2 C.26 D. 3 4 3 4 【解析】C连接AC,设AC∩BD=0,连接A,O, 由△A,AB≌△A,AD,得A,B=A,D,所以A,O⊥BD, 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD, 第3页共17页 又因为A,0∩AC=0,且AO,AC在平面AOA内， 所以BD⊥平面AOA, 在△401中，40=40=5,44=2，所以ms∠401写 如图，以点0为坐标原点建立空间直角坐标系， B A a小4o2au,a-,22 故D8=(0,2,0), 4-丽 设平面ABD的法向量为i=(x,y,z), DB.ii=2y=0 则有 ·方V3250令2=1，得n=（-2V2,0,1 3 所以点B到平面A,BD的距离d= 0B26 3 7.已知等差数列{an}满足a=2,a+a=10，数列{b,}的前n项和Sn满足 Sn=2b,-3neN),则数列{b}的前10项和为() A.2046 B.3069 C.6138 D.6144 【解析】C由题意：4=2，a4=a十a=5,则公差d=a4=1,得a.=n+1, 2 3 又Sn=2b。-3,Sn-1=2b-1-3(n≥2)，两式相减得bn=2bn-1(n≥2）)， 易知么=3，所以b,=3×2”-1,所以b。,=b+1=3×2”,故前10项和为 6×1-29-6×1023=6138 1-2 第4页共17页 &毛知雅专+a>h>0,得点F-c0,G0c>0·若过F的直数 x2+y2-cx=0相切，与椭圆在第一象限交于点P,且P互⊥x轴，则椭圆的离心率是 () A② B.3 C.v10-1 D.V5 2 3 3 【14y2-=0发形为小+y-,成国心为4c0小学 1 为r=20, 如图：直线FP与圆相切于B, 1 AB sin∠PEF=sin∠BFA= FA 3 3, C 2 2 tan∠PFE= 4 13v2 2 PREEI-26所以PE号c,PF-PE sin∠P 于是2a=PF+|PF=22c,即a=V5e,所以e=c=g=2 a√2c2 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列函数求导运算正确的是() A.(log;x)=-1 B.(e)'=ex xIn3 第5页共17页 D.[ln(2x+)+f'I'=。 2 C.(xcosx)'=cosx+xsinx 2x+1 【解折】ADog,y=h3,(e)=-e,((reos.r=cosK-Sinr. [n(2x+)+f0y=2x 2 10.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD,中，P是棱AD上的动点（包括端点），则() A.B,P⊥CD B.点P到平面BCD的距离的取值范围为 34 3’3 C.若P为棱AD的中点，直线PD与直线CB,所成角的余弦值为iO D.若P为棱AD的中点，则直线PB,与平面BCD,所成角的正弦值为V 3 【解析】AD以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系 则B1,1,1,C0,1,0),D0,0,1,设点P2,0,0,其中0≤1≤1， D C B 对于A,B,P=（2-1,-1,-1,CD=(0,-1,1, 因为B,P.CD,=1-1=0,所以B,P⊥CD,故A正确； 对于B,设平面BCD,的法向量为m=（x,y,z,CB,=(1,0,1, m.CB=x+z=0 则 ,令x=1, CD=-y+z=0 得平面BCD的法向量为m=(1,-1,-1),因为CP=(2,-1,0) 第6页共17页 所以点P到平面B,CD的距离d= m√53’3 故B错误； 对于C,当P为AD的中点时， D.P.CB cosD,P.CB v10 D,Pc丽，+1x5 故C错误； 10 对于，P（分-小 设直线PB,与平面BCD所成角为O, BP.m +1+1 则sin9=eos(B户，m 2 B,Pm 3 +2×V3 所以直线PB,与平面BCD,所成角的正弦值为5 ,故D正确 11.已知直线I经过抛物线E:y2=2pxp>0)的焦点F,且与E交于A,B两点，点A在 第一象限，过A,B分别作准线的垂线，垂足依次为A,B,.若AB长的最小值为12，则() A.若AF=4,则BF=8 B.若AB的倾斜角为60，则AF=3BF C.若点M,N在抛物线E上，且AF+MF+NF=0,则AF+MF+NF=18 D.E上一动点P到直线2x+y+3=0的距离的最小值为3N5 10 【解析】BCD由抛物线E:y2=2px(p>O),可得焦点F P O 准线方程为 x 2, 因为AB长的最小值为12，根据抛物线焦点弦的性质，可得2p=12,解得p=6, 所以抛物线E的方程为y2=12x,则焦点F(3,0),准线方程为x=-3, 第7页共17页 1,121 对于A由熊点弦的性预得丽B丽)了，将=4代入，解得BF=12, 所以A错误； 对于B,设直线AB的方程为x=my+3,且Ax1,y1),B(x2,y2), x=my+3 联立方程组 y2=12x ,整理得y2-12my-36=0,所以 y+y2=12m,y2=-36, 则 52竖36 =9 1212144 x,+x2=my1+3+my2+3=my1+y2)+6=12m2+6, 由抛物线的定义，可1=+号=+3刻BF=+号=+3. 则AB=x+x2+p=x,+x2+6=12m2+12, 若AB的倾斜角为60，则m=】 5,所以y+⅓=45，X2=-36, 所以y=6V3,y2=-2V3,所以x=9,x2=1, 所以AF=x+3=12,BF=x,+3=4,所以AF=3BF,所以B正确： 对于C,设M(x3,y3),N(x4,y4),由AF+MF+NF=0,可得点F为△AMN的重 心， 所以x+,+无=3×？=9，八+八，+y4=0. 所以AF+MF+NF=x+3+x,+3+x4+3=(x1+x3+x4)+9=18,故C正确 对于D,设与直线2x+y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为2x+y+m=0, 2x+y+m=0 联立方程组 y2=12x ，整理得4x2+(4m-12)x+m2=0, 由△=(4m-12-16m=0.解得m=所以切线方程为2x+y+}=0, 2 第8页共17页 3 3- 所以两平行线间的距离为 2 3√5，故D正确 V√22+1 10 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知直线1的方向向量为a=（-1,l,2),平面a的法向量为n 若1a,则 实数的值为 【解析】由题意可得：i·ā=(-11,2) -1=0 即2+2-2=0 附：2号 13已侧直线：3x+,-5=0与双曲线C:号-少2=1相交于48丙若法4B发直线 m:x+y=0平分，则实数t的值为 【岸粉】设，.可得手片=手-方1 两式相减，可得区-儿+》-(-，0+，)=0，可得二上=+无、 4 x1-x24(y1+y2) 因为kB上可特4十)三-所以+30+) 设B的中后M,则无=老，=当少，所以6=- 2 因为点M(xo,o)在1：3x+4y-5=0上，可得3x+4y。-5=0, 可得3(-3y)+4y-5=0,即-5yo=5,解得%=-1，所以x,=3,即M(3,-1), 又因为M(3,-1)在直线m:x+y=0上，可得3-t=0,解得t=3 第9页共17页 M 、m B 14已知双曲线少2 a6=1(a>0,b>0)的焦点为F(-c,0,E(c,0(c>0,若过F且 斜为正线与引 相切，与双曲线在第一象限交于点P,且PF⊥x轴， 则双曲线的离心率为 【解析】如图所示，设圆心为 A 直线PF与圆A相切于点B,连接AE, 由双曲线的焦点-c,0,半径r=,则an∠AE0=40 OFF2' 由△FAO≌△FAB,可得∠PEF=2∠AFO, 如福品立手 4 因为PE1x轴，且E(c0,设P(c,yy>0),则C- a261, b2 又因为c2=a2+b2,解得y=, a b2 在直角△PFF,中，可得tan∠PFE,= PF2_a- 4, FF 2c 3 1 因为c2=a2+b2,整理得3c2-8ac-3a2=0,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e= 又因为e>1,所以e=3,即双曲线的离心率为3 第10页共17页 2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版选择性必修第一、二册全册. 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A. B. C. D. 2 4. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 8. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足依次为.若长的最小值为12，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，则 C. 若点在抛物线上，且，则 D. 上一动点到直线的距离的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 13. 已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知函数，求； （2） 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值． 16. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 17. 已知抛物线与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 18. 如图，在四棱锥中， ,是的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）若， ①证明：在同一个球面上； ②若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 19. 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $