辽宁省辽阳市2025-2026学年高二上学期1月期末质量检测数学试题

高二数学质量检测参考答案 1.D将抛物线y=4x2转化为标准方程的形式：x2=4y.其焦点到准线的距离是2. 2.B由题意可知所求不同的路线有4×3=12条. 3C因为P(X-1≤1)=P(0≤X≤2)=0.6，所以P(X<0)=1-P(0≤X≤2-1-0.6 2 2 =0.2. 4B由题意可得=3+46+7=5，y=2,5+3+m+5.9_山.4十m,则L.1十m=0.78× 4 4 4 5-0.05,解得m=4. 5.B不同的分配方法种数为C%A=1800. 6.C因为直线l的方程为(m+2)x+(3-m)y-3m+4=0,即(x一y一3)m+2x+3y十4= 0.所以由区一3=0，得任，则直线1过定点A1,-2.因为1-2+(-2+1) 2x+3y+4=0,y=-2, =2<4,所以点A在圆C的内部，则直线1与圆C相交， 7.A由题意可知不大于30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个.从中随机选取两 个素数的情况有C。=45种，其中被选取的两个素数之和为30的情况有(7,23)，(11,19)， (13,17),共3种，故所求概率为5 31 8.A以A为原点，AB,AA所在直线分别为x轴、之轴，建立如图所示的A 空间直角坐标系.因为AB=2AA1=2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2, B 0,1),C1(1,W3,1),所以BA=(-2,0,0),AB=(2,0,1),BC=(-1, 5,1).设AP=kAB1=(2k,0,k)(0≤k≤1)，则BP=BA+AP=(2k 2,0,k),故点P到直线BC1的距离1-B2- BP·C2 8+1+F-子+9 5 9.ABD由题意可得2”=64，解得n=6,A正确.令x=1,得(1一3)°=64，B正确.（x2-3) 展开式的通项T+1=C(x)-(-三）厂=(-3)rCx2-.令12-3r=0,得r=4,则T:= (-3)1C=81×15=1215,C错误.令12-3r=3,得r=3,则T4=(-3)3C%x3=-540.x3,D 正确. 4、C8+C 10.ACD由题意可得P(A)-号，P(A,)=号，则P(B1A,)=PCBA) P(A) 7 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 PAB)=P(ADP(B,)=号XC=35B错误.P(BA P(B,A22= 3 CC 4 CaCa 5C正确.P(B)=P(A)P(B2A1)+P(A)P(B,A2)- 4 2大 7C8十 4 7 7 ×-青D正 D由题意可得1，解得6=16=1舍去)，则双线C的渐近线方 士2)y=0.A指误由题意可得双尚线C的商心率e一√+（白）-发，B正确，分别延 长F,Q,PF2,交于点N(图略).因为PQ是∠F1PF2的平分线，且PQ⊥FQ,所以|PF1I =PN|,Q是线段NF,的中点.因为O是线段FF,的中点，所以OQ=2NF,.由双 曲线的定义可得PF-PF2-IPN|-PF2-NF2-2a-4,则1OQ-21NF,- 2.C正确设M1,则-听-1，即i-1,故点M到双曲线C的两条渐近线 4 的距离之积是 1x+2y.x-2y=1xi-4y1=4 w12+22√1+(-2) 5=5D正确 |a(a+3)-4=0, 12.一4由题意可得 解得a=一4. l(a+1)(a+3)-8≠0， 81, 层+-1 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=4,y1+y2=2.由 得 x y +8=1, 了x+=0,则直线AB的斜率k=当= 8(x1十x2） 16 8 =一1，故直线AB的 x1-x2 16(y1+y2) 方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3. y=-x+3, 由6+得3x12十20.则十=4.，所以一 +)4a=2,放1AB1=V层中1x,-1=VD+1X2画 2√30 3 4√/15 3 14.一4设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,连接OP,OE,OF(图略)，则OP⊥OE,OP ⊥OF,所以PE·PF-(PO+OE)·(Pò+OF)=PO2+Pò.OF+Pò.OE+OE· 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 O正.因为OP⊥OE,OP⊥OF,所以Pò.O示=Pò.OE=0.因为AB=4,所以1PO1= 22,所以PE·P京=8+OE.O币因为E,F是矩形BDD1B1内的任意两点，所以O尼· OF≥-12，当且仅当E,F为BD1或B,D的两端点时，等号成立，则PE·PF=8+OE· O≥-4，即P它.P京的最小值是-4. 15.解：(1)记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件B表示此人在比赛中受伤，·1分 101 则P(AB)=200-20' …3分 P(A)=1001 2002… 5分 故P(B|A)= P(AB)1 P(A)10 …7分 （2由题意可得x2-200X10X70,90X30》-25=12.5. 100×100×40×160 2 …10分 因为12.5>10.828，所以有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受 伤有关.…13分 16.(1)证明：取BC1的中点H,连接DH,FH. 因为D为BC的中点，所以DH/CC,且DH-2CC, 2分 因为AA1CC1,EF=8-2-2=4,所以DH∥EF,DH=EF,所 以四边形DHFE是平行四边形，…4分 A 所以HF∥DE,…5分 因为DE在平面BC1F,HFC平面BC1F,所以DE平面BC1F. …6分 (2)解：取AB的中点O,A1B1的中点P,连接OP,OC.因为三棱 E 柱ABC-A,B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,易得OP∥A AA1,OP⊥AB,所以OP⊥平面ABC,以O为坐标原点，O,OB, D OP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示 C(43,0,0),C1(45,0,8),B(0,4,0),F(0,-4,6), CB=(-45,4,0),FC=(43,4,2),FB=(0,8,-6). …8分 n·FC1=4V5x+4y+2=0, 设平面BC1F的法向量为n=(x,y,之)，由 取n=(-5, n·FB=8y-6x=0, 35,4/5).…10分 设直线CB与平面BC1F所成的角为O, 则sin0=cos(n,Ci1=ln·C亩 120W/3+123| 2√3 |n|CB√/25+27+48X/48+16+0 5 ,…13分 所以cos0= 5,tan0=sin0_2/3_2/39 c0s0√/13 13 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 2√/39 故直线CB与平面BC,F所成角的正切值为 13 15分 17.解：(1)设椭圆C的焦距为2c. 1 362 1a2=6, 由题意可得 解得 …4分 3 1 b2=2. +6=1, 因为a2=b2十c2,所以c2=4,… …5分 则椭圆C的离心率为二= 2√6 a63 …7分 (2)由椭圆的对称性不妨设点A(xoyo),y>0,直线AF的方程为x=my-2,B(x1y1). [x=my-2, Am -2 由+y1. 得(m2+3)y2一4my-2=0,则yo十y1= (6 1 m2+3'0y1=- m2+3…9分 2 放1AB=V1+m1y-y=V+m+-1-251m=2w6(1 m2+3 m2+3 …11分 因为m≥0，所以m2+3≥3，所以0<2。≤名 m2+33 …13分 所以1写1所以22后1- m2+3 <26, …14分 则25≤AB1<2后，即AB1的取值范用为2,25)。 …15分 18.解：(1)由频率分布直方图可得(0.01+2n十0.025+0.035)×10=1，则n=0.015.·4分 (2)由频率分布直方图可知获得奖励的学生有40×0.25=10人，…5分 故这2人中至少有1人获得奖励的概率为1一一品 C323 …9分 (3)获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则X的所有可能取值为0,1,2,3.…10分 P(X=0)= C351 C。21067 11分 CC 1 P(X=1)= Clo …12分 P(X=2)= CC 3 C。10' 13分 CC 1 P(X=3)= C1630 14分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 则X的分布列为 X 0 1 2 3 p 6 2 高 1 15分 故E(X)=0x日+1×号+2x0+3×动-号 17分 19.解：(1)因为AB|+|BF2|的最小值是5，所以c2+32=52,所以c=4. …1分 因为双曲线C的实轴长为42，所以2a=42,所以a=2√2，…2分 则b=√c2-a=2√2， …3分 故双曲线C的标准方程为苦-1.… …4分 (2)①由题意可知直线1的斜率不为0，则设直线l:x=my十4. 4 y=x, x1一m 由 得 x=my+4, 4 即点M的坐标为(n》。 y1一m ）=1-m …6分 4 得 x1十m 4 x=my+4, 4 即点N的坐标为十m 1+m y=- 1+m 则NF:-√m一)+（中） 4/m2+1 1+m …8分 因为MF,=31NF1,所以4Vm+直 4W√m2+1 1-m =3X 11+ml ,解得m= 2或m=2. …9分 因为直线1与双曲线C的右支交于P,Q两点，所以-1<m<1,则m=2, 1 故直线1的方程为-号十4.即2x-9一8=0 …11分 (x=my+4, ②由x2y21 得(m2-1)y2+8my+8=0. 88 1 8m 8 设P(x1y1),Q(x2,y2),则y1十y2= 2-1y1y2= m2-13…12分 所以|y1-y2=√Cy1+y2)-4y1y2 8m m2- -4X 84V2×√m2+1 m2-1m2-1 …13分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 m2+1 △PQF,的面积S-F.F:lly-ya=162Y162X- 1m2-1 ……14分 设t=m2+1,由①可知一1<m<1,所以1≤m2+1<2,即1≤t<2, 则m2十1 n2+-+4+ t 1 ≥l,… 16分 -4 m2+1 故S=16/反X√mn”2n十1162，即△PQF,面积的取值范围是[16/区，+o∞).… …17分 ▣▣ 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】高二数学质量检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1,抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是 A.16 C.1好， D.2 2.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达 丙地不同的路线有 B.12条 C.64条 D.81条 封 A.7条 3.设随机变量X~N(1,o2),P(X-1≤1)=0.6，则P(X<0)= A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.0.4 4.已知变量x,y的数据如下： 3 4 6 2.5 3 m 5.9 若x与y的回归直线方程为y=0.78x一0.05，则m= A.3.5 B.4 C.4.2 D.5 5.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、 线 民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向.学校安排6名教师负责这5个方 向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且 只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为 A.2400 B.1800 C.1500 D.2100 6.已知直线l:(m+2)x+(3-m)y-3m+4=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=4,则直线1与 圆C的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定的 7.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是 A.15 B号 c 【高二数学第1页（共4页）】 8.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2AA1=2,P是线段AB,上的一动点，则点P到直线 BC,的距离的最小值是 A号 B吉 号 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知(x2-) 展开式中各项的二项式系数之和为64，则 A.n=6 B(-) 展开式中所有项的系数之和为64 c(x2-) 展开式中的常数项是一1215 D.(x2-三)》”展开式中含x的项是-540x 10.甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相 同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒 中随机取出2个小球.记事件A,表示从甲盒中取出的小球是红球，事件A2表示从甲盒中 取出的小球是白球，事件B,表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件B2表示从乙盒 中取出2个颜色不同的小球，则 APB,A,)-号 B.P(A1B2)= 3 C.P(B2A)= 8 D.P(B2)=7 4 1.已知双酯线C,号景 =1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(4,W3)在双曲线C上， PQ是∠F,PF2的平分线，且F,Q⊥PQ,O为坐标原点，M是双曲线C上的一点，则 A.双曲线C的渐近线方程为2x士y=0 曲线C的离室 C.OQ=2 D.点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积是号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线l1:a.x+2y+a十1=0与直线l2:2x十(a+3)y+4=0平行，则a=▲ 3,某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为：十。1，该人造卫 星（视作质点）在椭圆轨道上的A,B两点进行变轨操作，若线段AB的中点为P(2,1),则直线 AB的斜率为 ,|AB|=▲△ 【高二数学第2页（共4页）】 14.在正方体ABCD-A,B1C1D1中，AB=4,P是棱AA1的中点，E,F是矩形BDD1B1内的 任意两点（包括边界），则P它·P京的最小值是▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某马拉松赛事组委会为研究选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤的关联性，随机 抽取了200名参赛选手的相关数据，整理得到如下2×2列联表， 单位：人 比赛中受伤 比赛中未受伤 合计 赛前进行热身训练 10 90 100 赛前未进行热身训练 30 70 100 合计 40 160 200 (1)从这200名参赛选手中随机抽取1人，已知此人赛前进行了热身训练，求此人在比赛中 受伤的概率； (2)能否有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关？ n(ad-bc)2 参考公式：X2=a十be十aacb+dD其中n=a+b+c+d. 参考数据： a=P(X2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 如图，正三棱柱ABC-A1B,C,的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E,F在棱AA1上，且 A F=AE=2. (1)证明：DE平面BC,F. B (2)求直线CB与平面BC,F所成角的正切值 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) y2 椭圆C:之十1(ab>0过点3,1)与工，，F是椭圆C的左焦点 圆C上的一动点（点A不在x轴上），直线AF交椭圆C于另一点B. (1)求椭圆C的离心率； 江南赛 (2)求|AB|的取值范围， ￥，，片在学·到答 门，茶器小，部数等 兴明其西#行品用，指当需肺圆 效行好小冠了女 可致计解彩为流，欢为强 18.(17分) 为提高学生学习数学的积极性，某校举办数学竞赛并且设置奖项.现从参加初赛的学生中选 弥 拔出男生20名、女生20名参加此次数学竞赛决赛，根据这40名学生的得分情况绘制如图 所示的频率分布直方图.规定得分不低于80分即可获得奖励，其中获得奖励的男学生有 7人 (1)求图中n的值； (2)从参加决赛的学生中任取2人，求这2人中至少有1人获得奖励的概率； (3)现从获得奖励的学生中随机抽取4人，记其中女学生的人 频率 组距 数为X,求X的分布列与期望 0.035 0.025 0.010 0L 5060708090100得分 19.(17分) 已知双自线C三-若-1a>0,6>0)的左，右焦点分别是F,F,实轴长为4。 A(0,3),点B在双曲线C的右支上，且|AB|+|BF2的最小值是5. (1)求双曲线C的标准方程， 线 (2)过点F2的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点，与双曲线C的两条渐近线交于M, N两点，P,M均在第一象限， ①若|MF2|=3|NF2|,求直线l的方程； ②求△PQF1面积的取值范围. 以花器4 【高二数学第4页（共4页）】