5.2等差数列（题型专练）高二数学人教B版选择性必修第三册

5.2等差数列 题型一   等差数列的定义辨析 1． AB 2． AD 3．ABD 4． A 5． D 6．ACD 7． AC 8．【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 题型二   利用等差数列的定义求通项公式 1． C 2． D 3． B 4．【答案】 【分析】判断是以为首项，以公差的等差数列，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以是以为首项，以公差的等差数列， 所以， 则， 故答案为：. 5． 6． . 7． . 题型三   等差数列基本量的计算 1． D 2． B 3． B 4． D 5． A 6． B 题型四   等差中项 1． A 2． A 3． C 4． D 5． B 6． 题型五   等差数列的证明 1．【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 2．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 3．【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式，结合赋值法进行求解即可； （2）根据递推公式，结合等差数列的定义进行运算证明即可. 【详解】（1）在中，令，得，把代入，得； 在中，令，得，把代入，得； （2）由， 得， 记，则 得，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. 4．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此可得的通项公式； （2）利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意有， 解得， 所以. （2）由（1）, 所以， 所以， 所以数列为公差为的等差数列. 5．【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 题型六   等差数列前n项和基本量的计算 1． A 2． C 3． -1 4． 5．【答案】(1)，，证明见解析 (2)420. 【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由可得，作差后得到，即可证明结果. （2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即， 所以. 题型七   含绝对值的等差数列前n项和 1．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 2．【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 3．【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用与的关系可求； （2）分和两种情况，当时直接用等差数列的求和公式可得；当时，利用可求. 【详解】（1），时 两式相减得：， 又也符合， 所以 （2）① ② 综上： 4．【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 5．【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，进而求得后可得公差，从而求得，然后由前项和公式得结论； （2）确定中项的正负，按正负分类进行求和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，. （2）由（1）知，，， 当，时，；当，时，， 当，时，； 当，时， ， 综上可得，数列的前项和. 题型八   等差数列奇偶项的和 1．B 2．A 3．B 4． 5．【答案】(1) (2)-50 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项， . 题型一   等差数列的单调性 1．A 2．C 3．BCD 题型二   等差数列的最大最小项 1． 2． 3．【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 题型三   等差数列片段和性质 1．C 2．C 3．72 4． 5．9 题型四   前n项和与n比值问题 1．B 2．B 3．A 4． 5．【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 题型五   两个等差数列比值问题 1．D 2．A 3．C 4．D 5．ABD 题型一   等差数列前n项和最值问题 1．C 2．ABC 3．ABD 4．ABC 5．【答案】(1). (2)，当且仅当时，的最大值为. 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，所以的通项公式是. （2）， 当且仅当时，的最大值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.2等差数列 题型一等差数列的定义辨析 题型二利用等差数列的定义求通项公式 题型三等差数列基本量的计算 一题型四等差中项 基础达标题 题型五等差数列的证明 一题型六等差数列前n项和基本量的计算 题型七含绝对值的等差数列前n项和 等差数列 一题型八等差数列奇偶项的和 题型一 等差数列的单调性 题型二等差数列的最大最小项 能力提升题 题型三等差数列片段和性质 题型四前n项和与n比值问题 题型五两个等差数列比值问题 拓展培优题 题型一等差数列前n项和最值问题 基础达标题 题型一等差数列的定义辨析 1.(24-25高二下·新疆喀什期中)（多选)下列数列中，是等差数列的是() A.0,0,0,…,0, B.-2,-1,0,…,n-3, C.1,13,-13,…,-23n+53,… D.1,-1,1,-1,…,-1n+1,… 2.(2025高二·全国.专题练习)（多选）下列数列是递增的等差数列的是() A.7,13,19,25,31 B.1,1,2,3,…,n C.9,9,9,9. D.数列{an}满足at1an=3 3.(20-21高二下辽宁抚顺期末)（多选)下列说法错误的有（) 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若a,b,c成等差数列，则a2b2,c2成等差数列 B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2C成等差数列 C.若a,b,c成等差数列，则a十2，b十2，c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列，则2,22成等差数列 4.(21-22高二下辽宁沈阳开学考试)若数列{an}是无穷数列，则“{an}是等差数列"是“a1十a3=2a2” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.（24-25高二下广西桂林·月考)在数列an}中，则“a6-as="”是“数列an}为等差数列"的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 6.(25-26高二上湖南长沙期中)（多选）若数列{an}是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有() A.{an+3} B.{a] C.{amt1-an} D.{2an} 7.(24-25高二下广西北海·期末)（多选）已知数列{n}是等差数列，则下列一定是等差数列的是() A.{a2m1} B.{an+1} C.{an+2am1} D.an 8.(25-26高二上·天津蓟州·月考)已知数列{an}满足：a1=2,a+1=+3盆 (1)数列{是}是否为等差数列？请说明理由； (2)求a20: 3)判断是是不是数列{n}中的项，若是数列{an}中的项是第几项，若不是说明理由. 题型二利用等差数列的定义求通项公式 1.(24-25高二下辽宁丹东期末)已知各项均为正数的数列{an}中，a1=2,Va+1=Van+V2,则 a20=() A.400 B.600 C.800 D.1000 2.(23-24高二下辽宁期中)己知数列an=2n-1,bm=3n-2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到 的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为() A.Cn=3n-2 B.Cn=4n-1 C.Cn=5n-3 D.Cn=6n-5 3.(2024:内蒙古呼和浩特一模)已知数列(an}的前n项和为Sn,且满足a1=2-音=2，则S10=() A.110 B.200 C.65 D.155 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2-23高二下辽宁期末)在数列(n}中，a=4,且.平=2.则数列(2n}的通项公式 为 5.(22-23高二上湖南邵阳期中)在等差数列{an}中，a1=3,公差d=2,则{an}的通项公式为 6.(25-26高二上天津月考)数列{an}中，a1=2，at1=V3+品，则an=- 7.(23-24高二上河南濮阳月考)在数列an}中，若a1=1,,=是+1，则an= 题型三等差数列基本量的计算 1.(25-26高二上·天津河北月考)等差数列{an}中，若a1=12,a7=36,则公差d的值为() A. B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二上·黑龙江牡丹江期末)已知等差数列{an},a3=1,a2十a8=6,则a1=() A.0 B.-1 C.-2 D.-3 3.(24-25高二上海南期末)若在等差数列{an}中，a1十a2十a3=21,a4十as十a6=39.则{an}的公 差为() A.1 B.2 C.3 D.6 4.(25-26高二上·甘肃庆阳期末)在公差不为0的等差数列{an}中，a3十a8=a6,则() A.a8=0 B.a7=0 C.a6=0 D.a5=0 5.(25-26高二上河北张家口期末)已知等差数列{an}的公差为d,已知a1=2,且a3十a6=a10,则 d=() A.1 B.2 C.3 D. 6.(25-26高二上河北邯郸：月考)在等差数列{an}中，a3十ag=20,a7=12,则a4=（) A.5 B.6 C.7 D.8 题型四等差中项 1.(25-26高二上·内蒙古通辽月考)x是1和2的等差中项，则() A.X=昌 B.x=3 C.x=2 D.x=士V2 2.(24-25高二上·天津和平.期末)已知数列{an}为等差数列，a3a11是方程x2-6x+8=0的两个实数根， 则a7=() A.3 B.±3 C.4 D.±4 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(21-22高二上浙江丽水期末)在等差数列{an}中，若a4十a8=16,则a6=() A.4 B.±4 c.8 D.±8 4.(23-24高二下辽宁.月考)在等差数列{an}中，a4十a5十a6=60,则a2十ag的值为() A.15 B.20 C.30 D.40 5.(25-26高二上陕西西安·月考){an}为等差数列，若a1+3ag十a15=120,下列不是定值的是() A.a3+a13 B.a16 C.2ag-a10 D.S15 6.（24-25高二下四川达州月考)方程x2+6x十1=0的两根的等差中项为 题型五等差数列的证明 1.(25-26高二上广东清远月考)已知数列{an}中，a1=1,a1=+3a (1)求a2a3的值； (2)求证：数列{是}是等差数列，并求数列{an}的通项公式. 2.(25-26高二上·全国期末)已知数列{an}满足a+1=2an十2+2，且a1=2. (1)求证：数列{}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式： 3.(2025高二上全国.专题练习)对任意的正整数n,数列an}满足nan=(n十2)a+1十2，且a3=6. (1)求a1,a2 (2)证明：{n(n+1)an+n2}是等差数列. 4.（25-26高二上江苏连云港.期中)己知等差数列{an}的前n项和为Sm,S4=a6十5，a2m=2an十1， (1)求数列{aa}的通项公式： 2求证：数列{普}为等差数列， 5.(25-26高二上.重庆期中)数列{an}满足a1=5,an=6-号（neN,n≥2). 但求证数列{动}是等差数列， (2)求数列{an}的通项公式. 题型六等差数列前n项和基本量的计算 1.(25-26高二上河南·月考)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和.若a2=3,ag=38,则S10=() A.205 B.410 C.230 D.460 2.(25-26高二上.重庆江北·月考)等差数列{an}前n项和为Sm,且a10=3a8-8,则S13=() 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-104 B.-52 C.52 D.104 3.(25-26高二上·全国期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sg=63,S11=99则a1= 4.（25-26高二上天津南开月考)己知{an}为等差数列，Sn为它的前n项和，若S10=30,则 a3+a8= 5.(23-24高二下福建厦门期中)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=an十n2neN. (1)求aa2,并证明：数列{aH1十an}是等差数列； (2)求S20 题型七含绝对值的等差数列前n项和 1.(25-26高二上山东菏泽月考)在等差数列{an}中，已知a5=号，a10=-9 (1)求通项{an}及前n项和Sn: (2)求数列{|an}的前n项和T 2.(25-26高二上重庆月考)已知数列{an}的前n项和为Sna1=1,nan=Sn+n(n-1)(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式： 2)求数列{|an16}的前n项和Wa 3.(25-26高二上江苏常州月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+10n (1)求{an}的通项公式： (2)求数列a}的前n项和Tr 4.(25-26高二上陕西西安期中)已知数列{an}的前n项和为Sm,且满足Sn-an=n2-7n+6(n∈N), (1)求数列{aa}的通项公式： (2)求数列{|an}的前n项和. 5,(24-25高二上湖南常德.月考)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5十a6=4,Sg=9. (1)求数列{an}的通项公式和前n项和为Sn: (2)设bn=|an,求数列{bn}的前n项和Tn 题型八等差数列奇偶项的和 1.(25-26高二上江苏苏州期中)己知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数 项的和为261.则此数列的项数为（) A.10 B.19 C.21 D.29 2.(23-24高二上·陕西榆林月考)已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N),其中奇数项之和为140， 偶数项之和为120，则m=() 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.7 C.12 D.13 3.(22-23高二上四川雅安·月考)一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且 末项比首项大10.5，则该数列的项数是() A.4 B.8 C.12 D.20 4.(25-26高二上江苏连云港月考)等差数列{n}共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项 之和为120，则公差d=一： 5.(22-23高二下.山东日照期中)己知{an}是等差数列，其中a2=22,a6=10. (1)求{an}的通项公式； (2)求a2十a4十a6十…+a20的值. B 能力提升题 题型一等差数列的单调性 1.(24-25高二下·北京海淀期末)设{an}是所有项都不为0的无穷等差数列，则“{孟}为递减数列是 “{an}为递增数列"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(20-21高二上北京期末)已知等差数列{an}的公差为d,则“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高二下·河北保定·期末)（多选）已知等差数列{a}的公差d>0,则下列说法正确的是() A.若an≠0，则{完}是单调递减数列B.若aneN,则{an}是单调递增数列 c.{an}是单调递增数列 D.{2}是单调递增数列 题型二等差数列的最大最小项 1.(24-25高二上江苏连云港期中)已知等差数列an的首项a=11,公差d=-,当1anl最小时，n 2.(24-25高二上·全国课后作业)已知数列{an2n2}为等差数列，且a1=a6=8,则an的最小值为 3.（2-23商二上福建宁德，月考)已知首项为4的数列a}满足p1=2子 6/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1证明：数列{受}是等差数列. (2)求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的最小项. 题型三等差数列片段和性质 1.(25-26高二上甘肃白银期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sa,若Sg=30,S16=92,则S24=() A.154 B.164 C.186 D.196 2.(25-26高二上江苏南京月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=2,S2m=17,则S3m= A.42 B.44 C.45 D.与m有关 3,(25-26高二上山西晋中·月考)等差数列{an}中，Sn为其前n项的和.若S4=6,S8=20,则 S16= 4.(25-26高二上河北月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=4，则宁= 5.(25-26高二上广东佛山月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20= 题型四前n项和与n比值问题 1.(23-24高二上河北保定期末)已知数列{an}满足a州1=an十6，{an}的前n项和为Sn,则 器器=（) A.12 B.6 c.3 D.2 2.(28-24高二上湖北武汉月考)在等差数列(an}中，1=1，其前n项和为S,若音-号=2，则S10等 于() A.10 B.100 C.110 D.120 3.(23-24高二上浙江金华期中)已知数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，Sn是其前n项和，若Sn存 在最大值，则() A.在S号，导…，器中最大的数是S: B.在S受，号，·，器中最大的数是器 C.在S1S2S3··,S2023中最大的数是S1 D.在S1S2S3···,S2023中最大的数是S2023 4.(2-23高二上新疆期末)已知等差数列{an}的首项为a1,前n项和为Sa,若0器-器=1，且 7/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Sn≥Ss,则a1的取值范围为 5.(23-24高二下.四川成都.月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=1,ag=5 (1)求{an}的通项公式； (2)求证：数列{产}是等差数列，并写出其首项与公差。 题型五两个等差数列比值问题 1.(25-26高二上河北月考)已知等差数列(an,{bn}的前n项和分别为SnTn且产=器，则器= () A.7 B. C. D.号 2.(25-26高二上重庆月考)己知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若 共=学，则=〈) 23 A.号 B. c.号 D.影 3.(25-26高二上河北那台月考)设等差数列{n},{b如}的前n项和分别为Sn,T,且=，则 a*a5=（） b A.君 B.器 c. D. 4.(25-26高二上黑龙江牡丹江期末)已知Sn与Tn分别是等差数列an与等差数列bn的前n项和，且 票-m别丽，则+=《) 8n A.1 B.2 C.3 D.4. 5.(25-26高二上·黑龙江大庆.期末)（多选）已知数列{an},{bn}均为等差数列，记数列{an},{bn}的 前n项和分别为Sn,Tn,下列说法中正确的有() A.若a2十b2=7,a8十b8=11,则a5十bs=9 B.若子=器，则，，=品 C.若S3=Sg=6,则S12的值为6 D.若=2， 则数列{bn}的公差为2 拓展培优题 题型一等差数列前n项和最值问题 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26高二上云南玉溪月考)设等差数列am}的前n项和为Sm,若a6十ag<0,S13>0,则Sn的最大 值为() A.Ss B.S6 C.S7 D.Sa 2.(25-26高二上浙江·月考)（多选）己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11<Sg<S10,则下列说法 正确的有() A.a10>0 B.a11<0 C.Sn的最大值为S1o D.S20>0 3.(25-26高二上吉林长春期末)（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,a1>0, a6十a7<0,a6'a7<0,下列结论正确的是() A.d<0 B.Sn的最大值为S6 C.当Sn>0时，n的最大值为12 D.数列{产}前n项和为Tn,T11最大 4.(25-26高二上河南洛阳·月考)（多选）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，若 S2025<0,S2026>0,则(） A.d>0 B.a1013<a1014 C.Sn的最小值为S1013 D.Sn的最大值为S1013 5.（24-25高二下河南驻马店·月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，己知a1=7,S3=15 (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn,并求Sn的最大值及此时的n值. 9/9 5.2等差数列 题型一   等差数列的定义辨析 1．（24-25高二下·新疆喀什·期中）（多选）下列数列中，是等差数列的是（   ） A．0，0，0，…，0，… B．-2，-1，0，…，，… C．1，13，-13，…，，… D．1，-1，1，-1，…，，… 【答案】AB 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】对于A，后项减去前项都为同一个常数0，则是等差数列； 对于B，后项减去前项都为同一个常数1，则是等差数列； 对于C，后项减去前项不为同一个常数，如，则不是等差数列； 对于D，后项减去前项不为同一个常数，如，则不是等差数列. 故选：AB. 2．（2025高二·全国·专题练习）（多选）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【分析】根据等差数列的概念及单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 3．（20-21高二下·辽宁抚顺·期末）（多选）下列说法错误的有（    ） A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可. 【详解】A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确； B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确； C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为， 所以成等差数列，因此本说法正确； D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确； 故选：ABD 4．（21-22高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（24-25高二下·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）（多选）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 7．（24-25高二下·广西北海·期末）（多选）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 8．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 题型二   利用等差数列的定义求通项公式 1．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 2．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列 ，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 故选：D. 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．110 B．200 C．65 D．155 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以是以为公差的等差数列， 又，所以， 故，所以， 故选：B 4．（22-23高二下·辽宁·期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】判断是以为首项，以公差的等差数列，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以是以为首项，以公差的等差数列， 所以， 则， 故答案为：. 5．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）在等差数列中，，公差，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式直接求解. 【详解】根据等差数列通项公式可知. 故答案为： 6．（25-26高二上·天津·月考）数列中， ， ，则 ． 【答案】 【分析】等式平方得，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】，两边平方得，则， 又因为，则数列是以4为首项，公差为3的等差数列， 则，则. 故答案为：. 7．（23-24高二上·河南濮阳·月考）在数列中，若，则 . 【答案】 【分析】由题设可得，进而得到数列是以3为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得，而， 则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 题型三   等差数列基本量的计算 1．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，，则＝（   ） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 【答案】B 【分析】由等差数列的性质及已知求得，再利用公差的性质求出公差即可求出的值. 【详解】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以． 故选：B． 3．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【详解】因为，所以, 解得 故选：B 4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在公差不为0的等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式即可判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由得，即， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知等差数列的公差为，已知，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，且， 若，则，可得. 故选：A. 6．（25-26高二上·河北邯郸·月考）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】， 公差， 故选：B. 题型四   等差中项 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A. 2．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（21-22高二上·浙江丽水·期末）在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，故. 故选：C. 4．（23-24高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，解得， 对于A选项，； 对于B选项，无法确定的值； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：B. 6．（24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 题型五   等差数列的证明 1．（25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 2．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 3．（2025高二上·全国·专题练习）对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式，结合赋值法进行求解即可； （2）根据递推公式，结合等差数列的定义进行运算证明即可. 【详解】（1）在中，令，得，把代入，得； 在中，令，得，把代入，得； （2）由， 得， 记，则 得，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此可得的通项公式； （2）利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意有， 解得， 所以. （2）由（1）, 所以， 所以， 所以数列为公差为的等差数列. 5．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 题型六   等差数列前n项和基本量的计算 1．（25-26高二上·河南·月考）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以 ． 故选：A． 2．（25-26高二上·重庆江北·月考）等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 【答案】C 【分析】通过通项公式将条件转化为关于首项和公差的等式，化简得到中间项的值，再利用等差数列前项和的性质计算. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， ，，，即. 等差数列前项和，而， 故. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·期末）已知等差数列的前项和为，，则 【答案】-1 【分析】利用等差数列前项和公式表示，联立组成方程组，计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， ，化简得： ， ，化简得：， 联立组成方程组：，解得：. 故答案为：-1 4．（25-26高二上·天津南开·月考）已知为等差数列，为它的前项和，若，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由于为等差数列，为它的前项和，则， 所以,则， 故答案为： 5．（23-24高二下·福建厦门·期中）设数列 的前 项和为 ， 若 . (1)求 ， 并证明: 数列 是等差数列; (2)求 . 【答案】(1)，，证明见解析 (2)420. 【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由可得，作差后得到，即可证明结果. （2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即， 所以. 题型七   含绝对值的等差数列前n项和 1．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知等差数列的前n项和为，且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用与的关系可求； （2）分和两种情况，当时直接用等差数列的求和公式可得；当时，利用可求. 【详解】（1），时 两式相减得：， 又也符合， 所以 （2）① ② 综上： 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式和前项和为； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，进而求得后可得公差，从而求得，然后由前项和公式得结论； （2）确定中项的正负，按正负分类进行求和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，. （2）由（1）知，，， 当，时，；当，时，， 当，时，； 当，时， ， 综上可得，数列的前项和. 题型八   等差数列奇偶项的和 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 2．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 3．（22-23高二上·四川雅安·月考）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 5．（22-23高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2)-50 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项， . 题型一   等差数列的单调性 1．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 2．（20-21高二上·北京·期末）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列， 即“”“数列为单调递增数列”； 若等差数列为单调递增数列，则， 即“”“数列为单调递增数列”. 因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 3．（24-25高二下·河北保定·期末）（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 题型二   等差数列的最大最小项 1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{}的首项a1＝11，公差，当||最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 3．（22-23高二上·福建宁德·月考）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 题型三   等差数列片段和性质 1．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 【答案】C 【分析】根据等差数列片段和的性质有成等差数列，再由等差中项的性质列方程求值. 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 3．（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 4．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 题型四   前n项和与n比值问题 1．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，， 因为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误； 在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误； 故选：A 4．（22-23高二上·新疆·期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 题型五   两个等差数列比值问题 1．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列性质得，且， ，所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4. 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】由等差数列的性质得， 所以， ， 故选：D 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）（多选）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以 ，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 题型一   等差数列前n项和最值问题 1．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列性质与前n项和公式，推导关键项的符号，再分析数列项的正负变化，判断数列的增减性，最后结合前n项和的变化规律，确定最大值即可. 【详解】因为为等差数列， 由，根据性质得， 由，代入前项和公式： ，因此， 所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负， 所以时，的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江·月考）（多选）已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D. 【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确， 对于B选项，因为，所以，即，又， 所以，B正确， 对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0， 且当时，，当时，， 所以的最大值为，C正确， 对于D选项，，所以D错. 故选：ABC. 3．（25-26高二上·吉林长春·期末）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【分析】根据题意得，可判断AB；可判断C；求出，令，数列为递减数列，求得，，可判断D. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 又，所以，故A正确； 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，所以， 令，所以数列为递减数列， ，. 由得 ， 所以数列的前项和最大时，， 即数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·河南洛阳·月考）（多选）已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】由已知结合等差数列的项与和的性质推出，，即得，，由此可判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得，即， 又由，，即， ，且，则， 所以，所以的最小值为，无最大值. 故A，B，C均正确，D错误. 故选：ABC. 5．（24-25高二下·河南驻马店·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 【答案】(1). (2)，当且仅当时，的最大值为. 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，所以的通项公式是. （2）， 当且仅当时，的最大值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $