2026年中考一轮复习函数基础知识巩固专项训练

2026年中考一轮复习函数基础知识巩固专项训练 目录 整体认知 1 攻克难题的通用策略 2 题型一、函数的概念、有意义探究 2 题型二、实际问题中函数图象的分析判断 3 题型三、几何问题中函数图象的分析判断 6 题型四、行程函数性质探究 9 题型五、动点函数探究 14 题型六、新函数性质探究 24 题型七、跨学科、分段函数探究 34 整体认知 问题类型 核心特点 / 考查重点 关键解题技巧与思路 行程与动点 动态过程分析。行程关注时间、速度、距离；动点关注点在几何图形上的运动。 1. 设未知量：行程问题常设时间或速度为变量；动点问题常设运动时间为变量。 2. 抓等量关系：行程利用“路程=速度×时间”建立方程；动点利用几何关系（如勾股定理、相似）建立函数。 3. 画图分析：画出运动过程各阶段示意图，找临界点（如相遇点、转折点）。 新函数探究 给出新定义或新表达式（如含绝对值的函数）探究其图像与性质。 1. 化归转化：将新函数转化为熟悉的函数，如通过分类讨论去绝对值，将其变为分段函数。 2. 描点画图：是探究新函数性质的通用且有效的方法。 3. 类比迁移：运用学习基本函数（一次、二次函数）的经验来研究新函数。 跨学科融合 以函数图像描述物理（运动）等过程。 1. 理解图像：明确坐标轴物理意义。 2. 对应模型：将图像特征与数学模型对应（匀速→一次函数，匀变速→二次函数）。 3. 综合求解：联系学科知识（如速度公式）与函数性质列方程。 分段函数 不同区间对应不同表达式，常结合实际问题。 1. 找分段点：分析实际问题中导致规则变化的“临界点”，如时间、数量、状态的转折。 2. 分段列式：针对每一段区间，依据题意建立独立的函数关系式。 攻克难题的通用策略 1. 从图像和关键点入手： 函数图像能直观揭示运动趋势和变量关系。务必关注图像的起点、终点、转折点、交点，它们是理解题意、建立方程、进行分类讨论的关键。 2. 养成分类讨论的习惯： 当问题涉及不同情况或区间时（如分段点、动点不同位置），必须有条理地逐一分析，确保不重不漏。 3. 打好基础和做好归纳： 熟练绘制和分析一次、二次函数的图像，是解决所有复杂函数问题的基础。同时，准备错题本，定期回顾，分析错误根源，能有效避免重复犯错。 题型一、函数的概念、有意义探究 1．函数y= 中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，得x+1⩾0，解得x⩾−1， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，建立关于x的不等式，解不等式即可。 2．下列命题中正确的是（　　） A．函数y= 的自变量x的取值范围是x>3 B．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 函数y= 的自变量x的取值范围是x≥3，故A不符合题意； B. 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B不符合题意； C. 一组对边平行，另一组对边相等四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故C不符合题意； D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】A.根据二次根式有意义的条件得出x-3≥0，得出自变量x的取值范围是x≥3，即可得出A不符合题意； B.根据菱形的性质得出菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，即可得出B不符合题意； C. 根据平行四边形的判定定理得出一组对边平行，另一组对边相等四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，挤得出C不符合题意； D. 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，即可得出D符合题意. 3．（2024·泸州模拟）函数 的自变量 的取值范围是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：x－1>0， 故x>1. 故答案为：x>1. 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得：x－1>0，据此即可得x的取值范围. 4．（2024九下·长沙期中）函数的自变量x的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴x+2024≠0 解之：x≠-2024. 故答案为：x≠-2024 【分析】观察函数解析式，含自变量的式子是分式，根据分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，即可求出x的取值范围. 题型二、实际问题中函数图象的分析判断 5．（2024八上·龙岗期末）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法： ①乙比甲提前12分钟到达 ②甲平均速度为0.25千米/小时 ③甲、乙相遇时，乙走了6千米 ④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是(　　) A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】【解答】解：由图可得，乙比甲提前：40−28=12分钟到达，故①正确； 甲的平均速度为：10÷=15千米/小时，故②错误； 乙的速度为：10÷=60千米/小时， 设甲、乙相遇时，甲走了x分钟， ， 解得，x=24， 则甲、乙相遇时，乙走了60×=6千米，故③正确； 乙出发24−18=6分钟追上甲，故④正确； 故选C. 【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案. 6．（2025·贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【解析】【解答】解：容器是上窄下宽的形状，单位时间注水量不变即体积变化率不变 ，根据，随着水面上升，逐渐变小，在变化率不变时，的变化率会越来越大，即水面升高速度越来越快. 故答案为：B . 【分析】 结合容器形状，利用体积公式，分析水面面积随高度的变化对水面升高速度（的变化率 ）的影响. 7．如图 是自动测温仪记录的图象， 它反映了某市春季某天的气温 如何随时间 （时） 的变化而变化． 下列从图象中得到的信息正确的是 （　　） A．0 时气温达到最低 B．3 时的温度为零下 3℃ C．0 时到 14 时之间气温持续上升 D．最高气温是 【答案】D 【解析】【解答】解：观察函数图象可知，4时时，气温达到最低，为﹣3℃，故选项A错误； 3时的温度大于零下3℃，故选项B错误； 4时到14时之间气温持续上升，故选项C错误； 最高气温为8℃，故选项D正确. 故答案为：D. 【分析】观察图形，注意两个拐点的意义，以及图象的变化趋势，对每个选项逐一分析判断即可得到答案. 8．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元． 【答案】1800 【解析】【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kt， 把（30，60）代入得30k=60， 解得k=2， ∴日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t， 当0<t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w=at， 把（20，30）代入得20a=30， 解得a=1.5， ∴当0<t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=1.5t， 当20<t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=30， 设日销售利润为m元， 当0<t≤20时，m=1.5t×2t=3t2， 故当t=20时，m取得最大值，此时m=1200， 当20<t≤30时，m=30×2t=60t， 故当t=30时，m取得最大值，此时m=1800， 综上所述，最大日销售利润为1800元. 故答案为：1800. 【分析】首先根据图1，利用待定系数法求出日销售量y与销售天数t之间的函数关系式；然后根据图2，分当0<t≤20时，当20<t≤30时，两种情况求出单件的利润w与t之间的函数关系式；进而设日销售利润为m元，分当0<t≤20时，当20<t≤30时，两种情况求出m关于t的函数关系式，根据所得函数的性质把那个结合自变量的取值范围，分别求出最大函数值，再比大小即可. 题型三、几何问题中函数图象的分析判断 9．（2024·遵义会模拟） 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=28， 点M从A点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B运动，连接MB， AM. △AMB的面积y与点 M的运动时间x(s)的函数关系如图②所示，则四边形ABCD 的面积为（　　） A．404 B．252 C．168 D．126 【答案】B 【解析】【解答】解：当M运动到点D处时，x=15，y=168 ∴AD=15， 设AB与CD之间的距离为h ∵AB=28 ∴，解得：h=12 当M运动到点C处时，x=29 ∴DC=29-15=14 ∴四边形ABCD的面积为： 故答案为：B 【分析】根据函数关系图可得相关长度，再根据梯形面积即可求出答案. 10．（2024·温州模拟）如图，已知函数图象与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】【解答】解：根据函数图象可知： ①当y＜0时，1＜x＜2或x＜-1，故①正确； ②当x＞0时，y有最小值，没有最大值，故②正确； ③当x＞1时，y随x的增大而增大，故③错误； ④如图，结合函数图象可知：若点同时在函数图象上，则m的值有3个，故④正确． 故答案为：B. 【分析】①当y＜0时，函数图象在x轴下方，根据图象写出x的范围；②当x＞0时，观察图象，判断y最值情况；③当x＞1时，观察图象，得出函数的增减性；④结合函数图象，根据点P在函数图象上，求出m的值. 11．如图①，点从等边三角形ABC的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点.设点运动的路程为，图②是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为　 　 . 【答案】6 【解析】【解答】解：由图2知：点P运动的路程分两个阶段，第一个阶段运动的路程是x=，， ∴PB=PC，即第一个阶段点P在BC的垂直平分线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠CAD=30°. 设点P第一个阶段运动终点为D，如图，连接BD，由图2，点P运动到点B时， ∴， 过点D作DH垂直AB， ∴AH=AD=3， ∴ 等边三角形ABC的边长为AB=2AH=3×2=6. 故答案为：6. 【分析】设点P第一个阶段运动终点为D，由函数图象可知AD=BD=2，即点D为AB、BC垂直平分线的交点，过点D作DH⊥AB，可得AH=AD=3，由AB=2AH即可求解. 题型四、行程函数性质探究 12．（2025·拱墅模拟）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【答案】（1）1200，6 （2）解：据图所知， 小聪追上了小刚是在小刚出发8分钟后途中停下的时间段， 小刚此时走的路程为500米， 小聪的速度为1200÷（14-8）=200米/分， 500÷200=2.5（分钟） 8+2.5=10.5（分钟） 答：小刚出发10.5分钟后，小聪追上了小刚. （3）解：小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，不会会迟到， 理由：小刚开始时的速度为500÷8=62.5（米/分）， 小刚到体育场剩余路程按原来走路的速度所用的时间为（1200-500）÷62.5=11.2（分） 所以小刚按原来走路的速度到体育场所需的总时间为13+11.2=24.2（分）， ∵24.2＜25， ∴不会迟到. 【解析】【解答】解：（1）观察图象可知，小刚家到体育场的路程是1200米，小聪到体育场的时间比小刚道体育场的时间少20-14=6分钟， 故答案为：1200，6； 【分析】（1）观察图像可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可得出答案； （2）先根据图象信息求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可得出答案； （3）先求出小刚原来步行速度，再求出但原来速度走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，比较即可得出结论． 13．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系． （1）小亮行走的总路程是________米，他途中休息了________分； （2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度； （3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 【答案】（1）3600，20 （2）解：小亮休息前的速度为：（米分）， 小亮休息后的速度为：（米分）； （3）解：小颖所用时间：（分）， 小亮比小颖迟到（分）， 小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：（米） 【解析】【解答】解：（1）根据图象知：小亮行走的总路程是 3600米，他途中休息了 20分钟． 故答案为 3600，20； 【分析】（1）根据图像即可得到小亮到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米； （2）根据题意图像得到休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走米，进而根据速度=路程÷时间即可求解； （3）先根据题意求出小颖到达缆车终点的时间，进而计算小亮行走路程，从而即可求解。 14．（2024·前郭尔罗斯模拟）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图． （1）哥哥的速度是　 　m/s，哥哥让小明先跑了　 　米，小明后来的速度为　 　m/s． （2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？ （3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？ 【答案】（1）8；14；3 （2）解：设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明． 14+6t＝8t，解得t＝7， ∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明． （3）解：设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）． 将x＝3，y＝24代入y＝kx， 得3k＝24，解得k＝8， ∴y＝8x； 小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式： 当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m）， ∴图象交点坐标为（7，56）． 当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1， 得，解得， ∴y＝6x+14（0≤x＜7）； 哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m）， ∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上． 当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）． 将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2， 得，解得， ∴y＝3x+35（x≥7）； 综上，． 两人相距10米时： 当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5， 解得x＝2或12（不符合题意，舍去）； 当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2， 解得x＝5（不符合题意，舍去）或9； ∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米． 【解析】【解答】（1）根据图象可得：哥哥的速度是24÷3=8m/s；哥哥让小明先跑了14m；在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32-14）÷3=6m/s， 故答案为：8；14；3. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，再利用“速度、时间和路程”的关系列出算式求解即可； （2） 设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明，根据题意列出方程 14+6t＝8t， 再求解即可； （3）利用待定系数法求出小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：，再结合“ 两人相距10米 ”列出方程求解即可. 15．（2025·湖州模拟）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】（1）解：由图可知点，，， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴， ∴小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为， ∴小红的速度为：； 小明出发2小时离开甲地的路程为， ∴小红的速度为：； 小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况： ①当，解得， ②当，解得， ∴小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或． 【解析】【分析】 （1）由题意，用待定系数法求出的解析式即可； （2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列关于t的方程，解方程即可求解． 题型五、动点函数探究 16．（2024九上·福田开学考）如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为　 　． 【答案】（1）；3 （2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为，∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即或， 解得：或（舍去） ∴时，； ②由题意，分两种情况，当时，时， 由题得当时，点在上运动， 若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，， 即且， ，， ， ； 当时， 根据题意，， ， ，， ， ； 当时， ， ； 故的值为或或2。 （3） 【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设直线的解析式为，代入，两点： ，解得：， ∴， ∴，， ∵被平分， ∴的中点， ∵在线段上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴代入可得：， ∴。 【分析】（1）过点作轴于点，根据A和B两点的坐标，求出BH和AH的长，然后再根据勾股定理，求出的值，根据A与D两点的坐标，即可求出AD的值。 （2）①根据题干信息，可求出N点在运动过程中的坐标，进而可推出是直角三角形，根据 ，可得 ，进而可知， ，然后再根据特殊角的三角函数和正弦函数的定义：，代入数据，求出t的值。 ② 分两种情况，当时，时，根据题意，当时，点在上运动，若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，根据且 ，然后再代入数据，求出t的值，当时 和时 三种情况满足条件，根据两点间的距离公式，代入数据即可求解。 （3）设直线的解析式为求 ，将A和B坐标代入，求出直线的解析式，利用解析式设出点的坐标，根据M是AD的中点，根据中点坐标公式，表示出的中点，在线段上，则点纵坐标为，代入即可作答。 17．（2024九上·瑞安开学考）如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设． （1）求的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ． ①当时，求x的值． ②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为______（请直接写出答案）． 【答案】（1）解：，， ∴； （2）解：∵由P，Q两点同时出发，同时到达终点， ∴， ， ， ， ； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴，即是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②作于G， 在中， ， ， ， ， ， ， 由（2）得： ， ， 当，且时，点在的内部， 此时， ， ， 又， ． 【解析】【分析】（1）先根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB的值，再求解； （2）先表示出的长，再根据即可求解； （3）①先根据锐角三角函数表示出和的长，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，再证明是等腰直角三角形，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，然后列方程求解即可； ②作于G，先根据锐角三角函数表示出BG和QG的长，求出PG的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程求出PQ的值，得出，根据三角形内角和定理和等边对等角得出，判断出当，且时，点在的内部此时，根据 题意列出，求解即可． 18．（2024九上·上海市期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． （1）写出的长和的长关于时间t的函数； （2）经过多少时间后，与相似？ （3）在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：，， ∴，. （2）解：当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E，如图所示： ∴，， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【解析】【分析】（1）利用“路程、速度和时间”的关系列出算式求出时间，再分别求出函数解析式即可； （2）分类讨论：①若，则有；②若，则有，再分别利用相似三角形的性质列出比例式和方程求解即可； （3）分类讨论：①当时，过点P、C分别作的垂线；②当时，点P与C重合，即，再分别列出方程求解即可. 19．（2024·广西模拟）如图1，长方形中，宽为4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图2所示． （1）直接写出长方形的长为 ； （2）直接写出 ， ， ； （3）当点P运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 【答案】（1）6 （2）1；4；9 （3）解：由（1）可知，， 当时，如图，，， ； 当时，如图，，， ； 当时，如图，，， ， ； 故答案为：． ​​​​​​ 【解析】【解答】（1）解：当时，的面积不变， 此时：点P在上运动，速度为每秒2个单位， 由题可知，， 当时，的面积为12， ， ， 长方形的长为6． 故答案为：6． （2）当时，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 故答案为：1；4；9． 【分析】（1）先求出AB的长，再结合， 利用三角形的面积公式求出BC的长即可； （2）先结合图象求出a和m的值，再结合利用三角形的面积公式求出b的值即可； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形并利用三角形的面积公式求出函数解析式即可. 题型六、新函数性质探究 20．（2024九上·北京市期中）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【解析】【解答】解：（3）①中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，，时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象信息即可求出答案. 21．（2024九上·南山期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数 y= 的图象与性质。类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是 x与 y的几组对应值，其中 m＝ ▲ ； 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数 y= 的说法，正确的有　 　。 ①函数图象分别位于一、三象限； ②当 x＜0 时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称； ④函数值始终大于0； （3） 已知直线 y=x＋4 与y= 图象的交点坐标为　 　 ，则不等式y=＞x＋4 的解集为　 　。 【答案】（1）解：4； 函数图象如图： （2）③④ （3）（2，6）；x<0或0 <x<2 【解析】【解答】(1)当x=-3时，y=，所以m=4， 故填：4 (2)结合函数图象可知，函数图象分别位于一、四象限；当 x＜0 时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称；函数值始终大于0； 正确的有③④； 故填：③④ (3)绘制函数y=x+4的图象，从图象上可知， 直线 y=x＋4 与y= 图象的交点坐标为 (2，6)； 从图象上看，不等式>x+4的解集为：x<0或0 <x<2， 故填：（2，6）；x<0或0 <x<2. 【分析】(1)m=，描点连线绘制函数图象即可； (2)从函数图象看：①函数图象分别位于一、四象限，故①错误；②当x<0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；函数值始终大于0，故④正确，即可求解； (3)绘制函数y=x+4的图象，从图象看，交点坐标为(2，6)；观察函数图象，写出函数y=在 函数 y=x＋4 图象上方的x的取值范围即可. 22．（2025九上·深圳月考）四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． （2）若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵点是矩形的边的中点， ， 在中，， 在中，， ， 即， ①成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， 即. ②过点作，如图（3）： ∵四边形是矩形， ， ， 在中，， 同理，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理， ， ， ． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，如图4： ， ， 过点P作直线垂直于点，交于点， 当点在直线与之间时， ， 即， 因而与的函数关系式为， 当点在直线上方时，， 即， 则与的函数关系式为， 当点在直线下方时，， 即， 则与的函数关系式为． 综上，与的函数关系式为或或． 【解析】【分析】（1）①根据矩四边形是矩形得，在中，，在中，，可证明. ②过点作，根据四边形是矩形得，在中，，同理，可得，进一步得. （2）根据点的坐标为，点的坐标为得，当点在直线上方时，，而与的函数关系式为，当点在直线上方时，，进一步得与的函数关系式为，当点在直线下方时，，与的函数关系式为，综上，与的函数关系式为或或． 23．（2024九上·北京市期中）阅读理解： 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： … … … … 其中______； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象，回答下列问题： ①当时，则y的取值范围为______． ②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______． 【答案】（1）1​​​​​​​ （2）解：根据表格： … … … … 描点法作出函数的图象如下图所示： （3）①；② 【解析】【解答】解：（1）将代入函数得： ． 故答案为： （3）①根据函数图象可知： 当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②由函数图象知：∵关于x的方程有个互不相等的实数根， ∴b的取值范围是． 故答案为：；． 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出答案. （2）描点、连线即可求出答案. （3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y轴对称；当时，则，即可求出答案. ②根据函数的图象即可得到b的取值范围是. （1）将代入函数得： ． 故答案为： （2）根据表格： … … … … 描点法作出函数的图象如下图所示： （3）①根据函数图象可知： 当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②由函数图象知：∵关于x的方程有个互不相等的实数根， ∴b的取值范围是． 故答案为：；． 24．德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现， 从出生之日起， 人的情绪呈周期性变化， 在前 30 天内， 情绪的部分数据及函数图象如下表： 天数t 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 波动值s 0.3 0 0.3 1 2. 2 3. 8 5.7 7. 8 10 12.3 14.3 （1） 数学活动： ①根据表中数据， 通过描点， 连线 (光滑曲线)的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象， 当 时， 的值为多少？当 的值最大时， 的值为多少？ （2） 数学思考： 请结合函数图象， 写出该函数的两条性质或结论； （3）数学应用： 根据研究， 当 时处于情绪高潮期， 心情愉快； 时处于情绪低潮期，心情烦躁； 时处于临界日， 心情平稳， 若小海从出生到今天的天数为 5501 天， 则今天他心情如何？ 【答案】（1）①补全该函数的图象如解图 ②根据图象知当t=14时，s=10；当s的值最大时，t=7； （2）I解：当0≤t<7时，s随t的增大而增大；当7<t≤21时，s随t的增大而减小；当s的值最大时，t=7；当s的值最小时，t=21；变化周期是28天(答案不唯一，写出两条即可)； （3）解：观察发现，情绪变化周期为28天，5 501÷28=196……13，当=13时，s>10；小海处于情绪高潮期，心情愉快. 【解析】【分析】（1）①经过描点、连线可得图象； ②根据图象可得结果； （2）根据图象可得结果； （3）根据循环可得小孩的心情. 题型七、跨学科、分段函数探究 25．（2024·浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）解：根据题意，得点A对应状态②，点B对应状态④， ∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ∴，， 故答案为：②，④，10，5； （2）解：设直线的解析式为， 由（1）得， 将A，B坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵ 弹簧测力计在状态③时显示的读数为 ， ∴将代入解析式，得， 解得：， ∴， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 【解析】【分析】（1）根据题意，结合图像可知当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由开始减小，当圆柱体刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至并保持不变，据此即可求解； （2）由（1）得点A，B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，将代入解析式得，然后作差即可求出圆柱浸入水中的高度. 26．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，在函数图象上，求，的值 （2）当函数值时，自变量的值为　 　． （3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 【答案】（1）∵ 点，在函数图象上， ∴，-2x=6， ∴x=－3. 故x=－3， （2）x=－1或1 （3）解：观察图象可知，当b>2或b=0时，方程有1个解； 当b=2时，方程恰有2个解； 当0<b<2时，方程有3个解； 当b<0时，方程无解. 【解析】【解答】解：观察表格可知，当y=2时，x=－1或1. 故答案为：x=－1或1. 【分析】（1）对于A，根据x=3得点A在上，代入即可求得y值；对于B，由y=6可得，x<0，故代入y=﹣2x，可求x的值. （2）观察表格，即可得到答案. （3） 观察图象，分b>2或b=0时，b=2时，0<b<2时，b<0时，四种情况分别讨论方程的解即可. 27．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）图2中a＝　 　；当t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式； （3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝　 　；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为　 　． 【答案】（1）24；9 （2）解：i)当 时， ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为 设解析式为 ， 图象经过 抛物线的解析式为： 综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为 （3）8； 【解析】【解答】解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9； (3)如图所示， 当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8； 当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16， 同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ， 解得t3=， 代入函数解析式得S= 【分析】(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积； (2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式； (3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积. 28．（2024九上·青羊期末）函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； （2）在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； （3）将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标． 【答案】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， 当时，， 令，可得：， 解得：， 图象与轴交点， 令时，可得：， 图象与轴交点为， 当时，， 令时，可得：， 解得：， 图象与轴交点为， ∵当x=2时，y=-3 ∴图象必过点D（2，-3） ∴ 作出函数图象 ，并标记图象与坐标轴交点的坐标如下； （2）解：设，， 若即时， 此时，在函数上，函数值随增大而减小， 当时，函数最大值为， 函数最小值为， 函数最大值与最小值差； 当时， 此时，在函数上，函数值随增大而增大， 当时， 函数最大值为， 函数最小值为， ∴函数最大值与最小值差； 若时， 分别在函数和上， 当， 当时函数在点处取最小值， 此时，函数最大值为为或， 若即时，， 最大值与最小值差， 当或时，与中较大的值大于， 此时，函数最大值与最小值差， 综上所述：； （3）解：函数过定点， 由知函数最小值为， 如图将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点， 当时，与轴交点为， 当时，，为图象上一点； 显然图象关于直线对称， 以，，为顶点的三角形与相似， 若， 由对称性可知， 为等腰直角三角形， ， ， 当轴时，， ， 满足， ， ， 解得：， ； 若， 由对称性可知， 在中， ， 当时，满足， ， ， ，， 解得， 当时， 可得：， ， ， 满足， ，， 解得， 综上所述，P点坐标为：或或． 【解析】【分析】把代入函数，可得函数解析式为，当时，，当时，，分类讨论找出图象与x轴、y轴的交点，再找出图象的最低点，再连线即可； 设，分类讨论，分三种情况进行讨论：当即时；当时；当时；先分别根据函数的增减性找出各种情况下的m，n的值，再作差求解即可； 先得出函数过定点，将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点，易得函数关于直线对称，再以以，，为顶点的三角形与相似，根据相似三角形的对应角相等再分类讨论，画出符合题意的图形求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一轮复习函数基础知识巩固专项训练 目录 整体认知 1 攻克难题的通用策略 2 题型一、函数的概念、有意义探究 2 题型二、实际问题中函数图象的分析判断 2 题型三、几何问题中函数图象的分析判断 4 题型四、行程函数性质探究 5 题型五、动点函数性质探究 7 题型六、新函数性质探究 9 题型七、跨学科、分段函数探究 14 整体认知 问题类型 核心特点 / 考查重点 关键解题技巧与思路 行程与动点 动态过程分析。行程关注时间、速度、距离；动点关注点在几何图形上的运动。 1. 设未知量：行程问题常设时间或速度为变量；动点问题常设运动时间为变量。 2. 抓等量关系：行程利用“路程=速度×时间”建立方程；动点利用几何关系（如勾股定理、相似）建立函数。 3. 画图分析：画出运动过程各阶段示意图，找临界点（如相遇点、转折点）。 新函数探究 给出新定义或新表达式（如含绝对值的函数）探究其图像与性质。 1. 化归转化：将新函数转化为熟悉的函数，如通过分类讨论去绝对值，将其变为分段函数。 2. 描点画图：是探究新函数性质的通用且有效的方法。 3. 类比迁移：运用学习基本函数（一次、二次函数）的经验来研究新函数。 跨学科融合 以函数图像描述物理（运动）等过程。 1. 理解图像：明确坐标轴物理意义。 2. 对应模型：将图像特征与数学模型对应（匀速→一次函数，匀变速→二次函数）。 3. 综合求解：联系学科知识（如速度公式）与函数性质列方程。 分段函数 不同区间对应不同表达式，常结合实际问题。 1. 找分段点：分析实际问题中导致规则变化的“临界点”，如时间、数量、状态的转折。 2. 分段列式：针对每一段区间，依据题意建立独立的函数关系式。 攻克难题的通用策略 1. 从图像和关键点入手： 函数图像能直观揭示运动趋势和变量关系。务必关注图像的起点、终点、转折点、交点，它们是理解题意、建立方程、进行分类讨论的关键。 2. 养成分类讨论的习惯： 当问题涉及不同情况或区间时（如分段点、动点不同位置），必须有条理地逐一分析，确保不重不漏。 3. 打好基础和做好归纳： 熟练绘制和分析一次、二次函数的图像，是解决所有复杂函数问题的基础。同时，准备错题本，定期回顾，分析错误根源，能有效避免重复犯错。 题型一、函数的概念、有意义探究 1．（2019·莲湖模拟）函数y= 中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的是（　　） A．函数y= 的自变量x的取值范围是x>3 B．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 3．（2024·泸州模拟）函数 的自变量 的取值范围是　 　 4．（2024九下·长沙期中）函数的自变量x的取值范围是　 　．一、单选题 题型二、实际问题中函数图象的分析判断 5．（2024八上·龙岗期末）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法： ①乙比甲提前12分钟到达 ②甲平均速度为0.25千米/小时 ③甲、乙相遇时，乙走了6千米 ④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是(　　) A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 6．（2025·贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 7．如图 是自动测温仪记录的图象， 它反映了某市春季某天的气温 如何随时间 （时） 的变化而变化． 下列从图象中得到的信息正确的是 （　　） A．0 时气温达到最低 B．3 时的温度为零下 3℃ C．0 时到 14 时之间气温持续上升 D．最高气温是 8．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元． 题型三、几何问题中函数图象的分析判断 9．（2024·遵义会模拟） 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=28， 点M从A点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B运动，连接MB， AM. △AMB的面积y与点 M的运动时间x(s)的函数关系如图②所示，则四边形ABCD 的面积为（　　） A．404 B．252 C．168 D．126 10．（2024·温州模拟）如图，已知函数图象与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．如图①，点从等边三角形ABC的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点.设点运动的路程为，图②是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为　 　 . 题型四、行程函数性质探究 12．（2025·拱墅模拟）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 13．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系． （1）小亮行走的总路程是________米，他途中休息了________分； （2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度； （3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 14．（2024·前郭尔罗斯模拟）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图． （1）哥哥的速度是　 　m/s，哥哥让小明先跑了　 　米，小明后来的速度为　 　m/s． （2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？ （3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？ 15．（2025·湖州模拟）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 题型五、动点函数性质探究 16．（2024九上·福田开学考）如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为　 　． 17．（2024九上·瑞安开学考）如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设． （1）求的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ． ①当时，求x的值． ②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为______（请直接写出答案）． 18．（2024九上·上海市期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． （1）写出的长和的长关于时间t的函数； （2）经过多少时间后，与相似？ （3）在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 19．（2024·广西模拟）如图1，长方形中，宽为4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图2所示． （1）直接写出长方形的长为 ； （2）直接写出 ， ， ； （3）当点P运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 题型六、新函数性质探究 20．（2024九上·北京市期中）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 21．（2024九上·南山期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数 y= 的图象与性质。类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是 x与 y的几组对应值，其中 m＝ ▲ ； 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数 y= 的说法，正确的有　 　。 ①函数图象分别位于一、三象限； ②当 x＜0 时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称； ④函数值始终大于0； （3） 已知直线 y=x＋4 与y= 图象的交点坐标为　 　 ，则不等式y=＞x＋4 的解集为　 　。 22．（2025九上·深圳月考）四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． （2）若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 23．（2024九上·北京市期中）阅读理解： 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： … … … … 其中______； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象，回答下列问题： ①当时，则y的取值范围为______． ②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______． 24．德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现， 从出生之日起， 人的情绪呈周期性变化， 在前 30 天内， 情绪的部分数据及函数图象如下表： 天数t 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 波动值s 0.3 0 0.3 1 2. 2 3. 8 5.7 7. 8 10 12.3 14.3 （1） 数学活动： ①根据表中数据， 通过描点， 连线 (光滑曲线)的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象， 当 时， 的值为多少？当 的值最大时， 的值为多少？ （2） 数学思考： 请结合函数图象， 写出该函数的两条性质或结论； （3）数学应用： 根据研究， 当 时处于情绪高潮期， 心情愉快； 时处于情绪低潮期，心情烦躁； 时处于临界日， 心情平稳， 若小海从出生到今天的天数为 5501 天， 则今天他心情如何？ 题型七、跨学科、分段函数探究 25．（2024·浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 26．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，在函数图象上，求，的值 （2）当函数值时，自变量的值为　 　． （3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 27．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）图2中a＝　 　；当t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式； （3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝　 　；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为　 　． 28．（2024九上·青羊期末）函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； （2）在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； （3）将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $