第10章 分式全章重难点题型汇总（12大题型）数学新教材苏科版八年级下册

重难点专题10 分式章节重难点复习 直击考点 重难点一 分式及最简分式的概念 1）分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2）最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 例1.有理式中，分式有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】在代数式，，，中，分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在分式，，，，中，最简分式有　　个． 重难点二 分式有意义或无意义的条件 分式有意义的条件：分母不等于0；分式无意义的条件：分母等于0.解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可. 例2.使分式有意义的m的取值范围是______________． 【变式2-1】要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．x≠1或x≠2 【变式2-2】已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝____． 重难点三 分式值为0的条件 分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B≠0，且A=0。解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去. 例3.若分式的值为0，则的值是（ ） A．1 B．2 C．0 D．-1 【变式3-1】分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．不存在这样的x 【变式3-2】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_______． 重难点四 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 例4.下列变形从左到右一定正确是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（ ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【变式4-2】若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 重难点五 利用分数的基本性质求值 1）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值； 2）对于未给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值. 例5.已知，求＝__________． 【变式5-1】已知y＝3xy+x，求代数式的值． 【变式5-2】已知：，求代数式的值． 重难点六 分式的化简求值 对于直接给出字母取值的，先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分式，再代入字母的值计算；对于给出不等式的，先化简，再把不等式解出找出合适的值代入求值. 例6.先化简，再求值：，其中． 【变式6-1】先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣1． 【变式6-2】先化简，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整数解． 重难点七 解分式方程 分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例7.解分式方程：（1）； （2）． 【变式7-1】解方程：（1） （2） 【变式7-2】解下列分式方程：（1） （2） 重难点八 分式方程有增根或无解 1）方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，再根据题意求解出其他字母的值。 2）当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 例8.若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____． 【变式8-2】已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 重难点九 根据分式方程解正负性求参 1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程的根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； 2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程的根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围. 例9.若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A． B． C．且 D．且 【变式9-1】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 【变式9-2】已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．15 C．12 D．7 重难点十 分式方程整数解 分式方程整数解，关键是先解出不等式组的解集，再解出分式方程的解，根据解出的不等式组的解集确定分式方程的整数解. 例10.使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 【变式10-1】若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．2 B．5 C．7 D．10 【变式10-2】关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12 重难点十一 分式方程的应用之工程问题 分式方程的应用之工程问题，关键是根据题意利用公式：工作时间＝列出分式方程，解出分式方程，然后检验（一验分式方程，二验实际问题），最后答即可. 例11.宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？ 【变式11-2】在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 重难点十二 分式方程的应用之利润问题 分式方程的应用之工程问题，关键是根据题意利用公式：数量=总价÷单价列出分式方程，解出分式方程，然后检验（一验分式方程，二验实际问题），最后答即可. 例12.春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． （1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元； （2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【变式12-1】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就4000元购进一批这种衬衫，这种衬衫面市后果然供不应求，商家又8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元． （1）该商家购进的两批衬衫数量分别是多少件？ （2）商家销售这种衬衫时每件定价都是60元，经过一段时间后，根据市场销售情况，商家决定对最后剩余的20件衬衫进行打折出售，要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，则最后剩余的20件衬衫出售至多可打几折？ 【变式12-2】某超市用5000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ （3）如果这两批干果每千克售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每千克干果的售价至少是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题10 分式章节重难点复习 直击考点 重难点一 分式及最简分式的概念 1）分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2）最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 例1.有理式中，分式有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分式的定义，即形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子，进行判断即可． 【详解】分式有：，，共2个．故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键． 【变式1-1】在代数式，，，中，分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式．故选B． 【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键． 【变式1-2】在分式，，，，中，最简分式有　1　个． 【解题思路】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【解答过程】解：， 是最简分式， m﹣n， ， 1， 所以最简分式只有1个， 故答案为：1． 重难点二 分式有意义或无意义的条件 分式有意义的条件：分母不等于0；分式无意义的条件：分母等于0.解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可. 例2.使分式有意义的m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据分母不为0，列出不等式即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则，解得，且，故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件为分母不为0，列出不等式并准确求解． 【变式2-1】要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．x≠1或x≠2 【答案】C 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，（x-1）（x-2）≠0，解得x≠1且x≠2．故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【变式2-2】已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝____． 【答案】6 【解析】试题解析：当时，分式为：， 又分式无意义，故a-6=0所以，a=6. 考点：分式无意义满足的条件. 重难点三 分式值为0的条件 分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B≠0，且A=0。解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去. 例3.若分式的值为0，则的值是（ ） A．1 B．2 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不为0，列出方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，解得：x＝1，此时分式有意义．故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式的值为0的条件，正确把握当分子为0，分母不为0时，分式的值为0是解题关键． 【变式3-1】分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．不存在这样的x 【答案】A 【分析】分式，即且． 【详解】解：，即且，故选：A． 【点睛】本题考查分式的值为0，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-2】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_______． 【答案】 【分析】根据分式有无意义的条件和分式的解求出m，n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时，没有意义，∴，解得． ∵当时，的值为0，∴，解得． ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式为0的条件，以及代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 重难点四 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 例4.下列变形从左到右一定正确是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：A、分式的分子分母不是都乘同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意； B、分式的分子分母不是都乘或除以同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意； C、分式的分子分母都除以同一个不为零的整式，原变形正确，故此选项符合题意； D、分式的分子分母不是都乘或除以同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式4-1】若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（ ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：中的x、y都扩大为原来的2倍，得， ∴这个代数式的值没有发生变化故选B． 【点睛】本题考查了分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变，利用分式的性质是解题关键． 【变式4-2】若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A、变化为，分式的值改变，故此选项不符合题意； B、＝，分式的值保持不变，故此选项符合题意； C、＝，分式的值改变，故此选项不符合题意； D、＝，分式的值改变，故此选项不符合题意．故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 重难点五 利用分数的基本性质求值 1）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值； 2）对于未给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值. 例5.已知，求＝__________． 【答案】-8 【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案. 【详解】解：由题意可知，即， 则有.故答案为：. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键. 【变式5-1】已知y＝3xy+x，求代数式的值． 【解题思路】根据已知条件y＝3xy+x，求出x﹣y与xy的关系，再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式，进行整体代入求解． 【解答过程】解：因为y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，当x﹣y＝﹣3xy时，． 【变式5-2】已知：，求代数式的值． 【分析】设t＝，则x、y、z可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可． 【答案】解：设t＝，则 x＝2t① y＝3t② z＝4t③ 将①②③代入代数式，得 ＝＝， 所以，代数式的值是． 【点睛】本题体现了转化思想，将未知数x、y、z转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可． 重难点六 分式的化简求值 对于直接给出字母取值的，先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分式，再代入字母的值计算；对于给出不等式的，先化简，再把不等式解出找出合适的值代入求值. 例6.先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可． 【详解】解： ；当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【变式6-1】先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣1． 【答案】，-1 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算除法，最后将a=-1代入计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【变式6-2】先化简，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整数解． 【解题思路】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的x的最小整数解代入进行计算即可． 【解答过程】解：原式＝[]÷（） ＝[] • ， 解不等式x﹣3，得：x≥4， 则不等式得最小整数解为x＝4， 当x＝4时，分式无意义， 所以符合条件的x的最小整数解为x＝5， 则原式． 重难点七 解分式方程 分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例7.解分式方程：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1） 方程两边都乘，得，解这个方程，得， 检验，当时，，所以是原方程的根，即原方程的解是； （2），， 方程两边都乘，得，解这个方程，得， 经检验，是原方程的增根，所以原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解． 【变式7-1】解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）x=2是增根，原方程无解 【分析】（1）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解即可；（2）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解即可． 【详解】解：（1） 方程的两边都乘以（x+1）（x﹣1），得 2（x+1）＝5 ∴x＝ 检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝， ∴原方程的解为：x＝． （2） 方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2），得 x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 整理，得2x＝4 ∴x＝2 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项． 【变式7-2】解下列分式方程： （1） （2） 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【答案】解：（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣（x+1）＝4， 去括号得：2x﹣2﹣x﹣1＝4， 解得：x＝7， 检验：当x＝7时，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x＝7是原方程的解； （2）方程两边同乘3（x﹣3）得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3） 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，3（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根∴原方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 重难点八 分式方程有增根或无解 1）方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，再根据题意求解出其他字母的值。 2）当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 例8.若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：由题意，得可知，∴ 由题可知此题中x=1为方程增根即，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握分式方程有增根的条件． 【变式8-1】若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____． 【答案】﹣1． 【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可 【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3， 由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键． 【变式8-2】已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【解题思路】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值； （3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可． 【解答过程】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 重难点九 根据分式方程解正负性求参 1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程的根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； 2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程的根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围. 例9.若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解分式方程求解，根据方程的解为正数，求出a的范围，然后将方程的增根代入求出，所以a的取值范围是且． 【详解】解：解方程，得，∴，∴， ∵是方程的增根，当时，解得， 即当时，分式方程有增根，∴，∴a的取值范围是且．故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练解分式方程是解题的关键． 【变式9-1】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先由题意求出分式方程的解，再由解是非负数和分母不为0，列出不等式组，解出即可得到答案． 【详解】解：，去分母得：，， ，解得：且，故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程中参数的取值范围，解题的关键是除了题干中明确要求的条件外，要注意分母不能为0的隐含条件． 【变式9-2】已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．15 C．12 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论. 【详解】解： 去分母得: 移项得: ∴ ∵分式方程的解为非负数，∴∴，且a≠3 ∵三角形的三边为:5，7，a，∴∴， 又∵a≠3，且为整数，∴a可取4，5，6，和为15.故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解. 重难点十 分式方程整数解 分式方程整数解，关键是先解出不等式组的解集，再解出分式方程的解，根据解出的不等式组的解集确定分式方程的整数解. 例10.使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和． 【解析】∵关于x的不等式组有解， ∴1﹣2m＞m﹣2， 解得m＜1， 由得x， ∵分式方程有非负整数解， ∴x是非负整数， ∵m＜1， ∴m＝﹣5，﹣2， ∴﹣5﹣2＝﹣7， 故选：C． 【变式10-1】若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．2 B．5 C．7 D．10 【解题思路】根据不等式的性质，由得x，x≤3．由于关于x的不等式组恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出01，即1＜a≤5．由3，得y．又因为关于y的分式方程3的解为整数，得是整数且．，故a＝5． 【解答过程】解：解3﹣2x≥a﹣2（3x﹣1）得3﹣2x≥a﹣6x+2． ∴x． 解2﹣x得4﹣2x≥1﹣x． ∴x≤3． ∵数a使关于x的不等式组恰有3个整数解， ∴01． ∴1＜a≤5． ∵3， ∴2﹣a＝3（y﹣1）． ∴y． ∵关于y的分式方程3的解为整数， ∴是整数且． 若a为整数，则a可能取值为5． 故选：B． 【变式10-2】关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12 【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题． 【解答】解：∵， ∴3x﹣4+6＜2（x+2）． ∴3x+2＜2x+4． ∴3x﹣2x＜4﹣2． ∴x＜2． ∵， ∴x﹣2a≥2﹣x﹣2． ∴x+x≥2a+2﹣2． ∴2x≥2a． ∴x≥a． ∴a≤x＜2． ∵关于x的不等式组有解且最多5个整数解， ∴﹣4＜a＜2． ∵， ∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y． ∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y． ∴ay+2y+2y＝3+6﹣3． ∴（a+4）y＝6． ∴y． ∵关于y的分式方程的解为正整数， ∴a+4＝1或6或2或3． ∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．（a=-2方程无意义舍去） ∵﹣4＜a＜2， ∴a＝﹣3或﹣1． ∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣1）＝3． 故选：A． 重难点十一 分式方程的应用之工程问题 分式方程的应用之工程问题，关键是根据题意利用公式：工作时间＝列出分式方程，解出分式方程，然后检验（一验分式方程，二验实际问题），最后答即可. 例11.宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天铺设管道的长度为千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为千米， 则可列方程为．故选择B． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系是解题关键． 【变式11-1】某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？ 【解题思路】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【解答过程】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米， 依题意，得：3， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝60． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米． （2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天， 依题意，得：700m+50014500， 解得：m≥10． 所以m最小值是10． 答：至少应安排甲队工作10天． 【变式11-2】在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出结论； （2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分别求出甲队单独完成以及甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用，比较后即可得出结论． 【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天， 依题意，得：+＝1， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要45天． （2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程， 依题意，得：+＝1， 解得：y＝18． 甲队单独完成该工程所需费用为3.5×30＝105（万元）； ∵乙队单独完成该工程需要45天，超过35天的工期， ∴不能由乙队单独完成该项工程； 甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用为（3.5+2）×18＝99（万元）． ∵105＞99， ∴在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 重难点十二 分式方程的应用之利润问题 分式方程的应用之工程问题，关键是根据题意利用公式：数量=总价÷单价列出分式方程，解出分式方程，然后检验（一验分式方程，二验实际问题），最后答即可. 例12.春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． （1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元； （2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【解题思路】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的倍，列方程求解； （2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可． 【解答过程】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元， 根据题意，得 解得：x＝200 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元． （2）设每箱饮料的标价为y元， 根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800） 解得：y≥296 答：至少标价296元． 【变式12-1】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就4000元购进一批这种衬衫，这种衬衫面市后果然供不应求，商家又8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元． （1）该商家购进的两批衬衫数量分别是多少件？ （2）商家销售这种衬衫时每件定价都是60元，经过一段时间后，根据市场销售情况，商家决定对最后剩余的20件衬衫进行打折出售，要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，则最后剩余的20件衬衫出售至多可打几折？ 【答案】（1）该商家第一批购进这种衬衫100件，第二批购进这种衬衫200件; （2）八折 【分析】（1）设该商家第一批购进这种衬衫x件，则第二批购进这种衬衫2x件，利用单价＝总价÷数量，结合第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出第一批购进这种衬衫的数量，再将其代入2x中即可求出第二批购进这种衬衫的数量； （2）设最后剩余的20件衬衫打m折出售，利用总利润＝销售总价−进货成本，结合要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出最后剩余的20件衬衫出售至多可打八折． 【详解】解：（1）设该商家第一批购进这种衬衫x件，则第二批购进这种衬衫2x件， 依题意得：，解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴2x＝2×100＝200． 答：该商家第一批购进这种衬衫100件，第二批购进这种衬衫200件． （2）设最后剩余的20件衬衫打m折出售， 依题意得：60×（100＋200−20）＋60××20−4000−8800≥4960，解得：m≥8． 答：最后剩余的20件衬衫出售至多可打八折． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式12-2】某超市用5000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ （3）如果这两批干果每千克售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每千克干果的售价至少是多少元？ 【分析】（1）设第一次该干果的进货价是每千克x元，则第二次购进干果的进货价是每千克（x+5）元，根据数量＝总价÷单价，再结合第一次购进干果数量是试销时的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据数量＝总价÷单价，可求出两次购进干果的数量，再由利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论； （3）设每千克干果售价y元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【答案】解：（1）设第一次该干果的进货价是每千克x元，则第二次购进干果的进货价是每千克（x+5）元， 根据题意得：×1.5＝， 解得：x＝25 经检验，x＝25是所列方程的解． 答：该种干果的第一次进价是每千克25元． （2）第一次购进该干果的数量是5000÷25＝200（千克）， 再次购进该干果的数量是200×1.5＝300（千克）， 获得的利润为（200+300﹣100）×40+100×40×0.6﹣5000﹣9000＝4400（元）． 答：超市销售这种干果共盈利4400元； （3）设每千克干果售价y元， 根据题意得：500y﹣5000﹣9000≥（5000+9000）×25%， 解得：y≥35． 答：每千克干果的售价至少是35元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于y的一元一次不等式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $