17.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 知识讲解 填写下表，然后观察根与系数的关系： 方程 x2+2x-15=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 x1 x2 x1+x2 x1x2 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b之间关系 a与c之间关系 b a - c a 3 -5 -2 -15 -2 -15 1 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 -2 1 2 3 2 - -1 3 2 - -1 根据你的观察，猜想：如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根是x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=. 你能证明这个猜想吗？ 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式.由此可知，方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q。 1.二次项系数为1，能因式分解的一元二次方程 知识讲解 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为： x1=,x2=. 观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2) x1x2. x1x2 知识讲解 如果()的两个根为x1，x2，那么 x1x2，x1x2 这个关系通常称为韦达定理. 由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系： 当一元二次方程二次项系数为1时，它的一般形式为.设它的两个根为，，这时有,. 知识讲解 例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值. 教材例题 解：设方程的另一个根是，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为，的值为7. 例2 方程的两个根记作，求的值. 解：由韦达定理，得. ()²()²4²×. 所以. 如果()的两个根为那么 教材例题 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6. 例题解读 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (2)2x2－3x－2＝0. 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值. 思路：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值. 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值. 例题解读 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系： 2.与一元二次方程的两个根x1,x2有关的代数式的常见变形： 课堂小结 3.一元二次方程的根与系数的关系的应用： （1）判定两根的符号； （2）已知一根求另一根及字母的值； （3）求涉根代数式的值； （4）构建以两已知数为根的一元二次方程. 课堂小结 1. 方程x2＋3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2的值为 （　C　） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 C 随堂练习 2. 已知一元二次方程x2＋4x－1＝0的两个根分别为m，n，则 的值是（　D　） A. －4 B. －1 C. D. 4 D 3. （2025·合肥蜀山区期末）已知一元二次方程x2－3x－6＝0 的两个根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值为（　D　） A. 3 B. －3 C. 9 D. －9 D 4. 不解方程，方程x2＋1 011x－2 026＝0的两个根为 （　C　） A. x1＝－1，x2＝－2 026 B. x1＝1，x2＝－2 026 C. x1＝2，x2＝－1 013 D. x1＝－2，x2＝－1 013 [变式] 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1＝－3，x2 ＝－1，则p＝ ，q＝ ⁠. C 4　 3　 5. 【一题多解】已知关于x的方程x2＋2x＋2m－3＝0有两个 不相等实数根.若x＝－2是该方程的一个根，求m的值及该方 程的另一个根. 解：解法1：设关于x的方程x2＋2x＋2m－3＝0的另一个根为 x2. 由根与系数的关系，得 解得 解法2：∵x＝－2是关于x的方程x2＋2x＋2m－3＝0的一个 根， ∴4－4＋2m－3＝0，解得m＝ ， ∴原方程为x2＋2x＝0，解得x1＝－2，x2＝0， ∴原方程的另一个根是x＝0. 6. 已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1，x2，则 ＋ 的值为（　D　） A. 2 B. －1 C. － D. －2 [变式] 若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，且 ＋ ＝ ，则m的值为（　D　） A. －2 B. －3 C. 2 D. 3 D D 7. （2024·合肥包河区期中）已知一元二次方程x2－3x＋1＝0 的两个根分别是x1，x2，则 x2＋x1 的值是（　A　） A. 3 B. －3 C. D. － A 8. （2024·安庆期中）若x1，x2是一元二次方程x2－7x＋5＝0 的两个根，则（x1－2）（x2－2）的值为 ⁠. －5　 9. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个 实数根. （1）求m的取值范围； 解：（1）根据题意，得Δ＝（2m－1）2－4m2≥0，即－4m＋ 1≥0， ∴m≤ . （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且 ＋ ＝7，求m 的值. 解：（2）由根与系数的关系，得x1＋x2＝－（2m－1）， x1x2＝m2. ∵ ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝7， ∴[－（2m－1）]2－2m2＝7，即m2－2m－3＝0， 解得m1＝3，m2＝－1. 由（1），得m≤ ，∴m的值为－1. 10. 若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两个根为x1， x2，且x1＝3x2，则m的值为（　C　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 C 11. 若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的实数 根，则α2－3β的值是（　A　） A. 15 B. 3 C. －3 D. －15 A 12. （易错）（2025·合肥蜀山区期中）已知关于x的一元二次 方程x2＋（m2－9）x＋m＋1＝0的两个实数根互为相反数，则 m的值是 ⁠. 【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋（m2－9）x＋m＋1＝0 的两个实数根互为相反数， ∴x1＋x2＝m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3. 当m＝3时，原方程无实数根，故舍去，∴m＝－3. 故答案为－3. －3　 13. 【转化思想】若实数a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－ 3b＋2＝0，且a≠b，则 ＋ ＝ 　 　. 　 14. （2025·合肥包河区期中）已知关于x的一元二次方程（x －3）（x－2）＝p（p＋1）. （1）求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根； 解：（1）证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0. ∵Δ＝（－5）2－4（6－p2－p）＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋ 4p＋1＝（2p＋1）2≥0， ∴无论p取何值，此方程总有两个实数根. （2）若原方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1， 求p的值. 解：（2）原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0. ∵原方程的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p. 又∵ ＋ －x1x2＝3p2＋1， ∴（x1＋x2）2－3x1x2＝3p2＋1， ∴52－3（6－p2－p）＝3p2＋1， ∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1，∴3p＝－6，∴p＝－2. $