专题8.1平方根题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题8.1平方根题型突破讲义 一、 重点抢分点（吃透稳拿基础分） 1.概念双胞胎：认准平方根和算术平方根这对 “兄弟”—— 算术平方根是 “非负老大”，平方根是 “正负兄弟俩”，记准定义就不混。 2.符号速记法： 是算术平方根（结果必非负），±是平方根（一对相反数），被开方数a必须≥0，负数可没有平方根哦。 3.计算小妙招：整数、分数、小数开平方，先想 “哪个数的平方等于它”，正数直接写一对，0 的平方根还是 0。 4.性质口诀歌：正数平方根有两个，互为相反数错不了；0 的平方根是自己，负数想都别想了。 二、 难点闯关点（避开坑才能拿高分） 1.概念辨真假：易错点是把 “算术平方根” 当 “平方根”—— 比如求 4 的平方根，千万别只写 2，要写±2；求 4 的算术平方根，才只写 2。 2.符号玩转转：本身就是非负数，别额外加负号；遇到+=0，直接秒懂a=0且b=0，这是 “双重非负” 的隐藏大招。 3.实际变身术：看到正方形面积求边长，其实就是求面积的算术平方根（边长不能为负），别傻乎乎写正负两个数。 4.估算小技巧：遇到这种开不尽的数，先找相邻的平方数（32=9，42=16），就能快速判断它在 3 和 4 之间。 基础 过关题 1.平方根概念理解 2.求一个数的平方根 3.求代数式的平方根 4.利用平方根解方程 5.求一个数的算术平方根 能力 提升题 6.已知一个数的平方根,求这个数 7.算术平方根的非负性应用 8.估计算术平方根的取值范围 拓展 拔高题 9.算术平方根相关的规律探索题 10.算术平方根的实际应用 【题型1.平方根概念理解】 1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 2．学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根及平方根的定义逐个判断，然后再统计即可． 【详解】解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解，即可得这个正数的平方根，将其中一个平方根平方，即可得出． 【详解】解：由题意，得 ， 化简得 ， 解得 ， 则一个平方根为 ，另一个平方根为 ， 故这个正数为 ． 故答案为：． 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 5．一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 【题型2.求一个数的平方根】 6．81的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴81的平方根是， 故答案为：． 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 8．若m、n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根以及平方根的定义，根据非负数的性质求出m，n的值，然后求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 故答案为：． 9．已知均为自然数，整式，且满足，设，例如：当时，．根据题意，对于下列说法：①当时，若，则有6个不同取值；②当，则使得整式的值为4的平方根的负数值有7个；③若是一列从1开始的连续奇数，则；④所有使得成立的整式之和为．其中正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减、平方根以及新定义等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减、平方根以及新定义逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，由得且为自然数，故可取0，1，2，3，4，5，共6个值，即①正确； ②当，时，方程的解为．因且为自然数，，对应5个不同的x值，而非7个，即②错误； ③若是从1开始的连续奇数，，从1开始连续奇数求和，是首项，末项,则 ，而不是625，故③错误； ④所有满足的整式包括： 当时，为5； 当时，为； 当时，为； 相加得，即④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选C． 解答题 10．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 【题型3.求代数式的平方根】 11．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 12．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 13．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 14．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 15．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键． 【题型4.利用平方根解方程】 16．已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 17．如图是一个数值转换机，若输出的值为3，则输入正数a的值应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序图，利用平方根解方程．根据题意确定等式方程是解题的关键． 由题意知，，且，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，且， 解得，或（舍去）， 故答案为：3． 18．将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为，根据橡皮泥的体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设长方体的底面边长为， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即长方体的底面边长为， 故选：B 19．已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ． 【答案】±1 【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴ ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 解答题 20．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 【题型5.求一个数的算术平方根】 21．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 22．已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，求解和，再代入表达式求值． 本题主要考查了算术平方根的相关定义，熟练掌握并能够运用是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ∵， ∴，代入， 得，即， 解得 则 故答案为：． 23．如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 24．按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 解答题 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)6，27 (2) (3) 【分析】本题考查的是与算术平方根有关的数字规律问题，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号)，结果是(序号)； （3）直接利用上述规律计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； ； （2）解：由题意得：； （3）解：原式 ． 【题型6.已知一个数的平方根.求这个数】 26．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 27．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出a的值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为：9． 28．一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（      ） A．5 B．25 C．121 D．121或 【答案】C 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程计算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 29．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 解答题 30．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 【题型7.算术平方根的非负性应用】 31．若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 32．已知与互为相反数，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义，求一个数的平方根． 根据相反数的定义得到，根据平方的非负性、算术平方根的非负性求出、的值，进而求出的值，最后求的平方根即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 33．若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【分析】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【详解】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 34．已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 根据算术平方根有意义，求出的范围，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ， ， 可得， ， ， ． 故选：D． 解答题 35．已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【题型8.估计算术平方根的取值范围】 36．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 37．已知在两个连续的整数a和b之间，那么a＋b＝ ． 【答案】7 【分析】结合9＜10＜16，由此可以估计的近似值，然后就可以得出a，b的值． 【详解】解：∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴a＝3，b＝4． ∴a+b＝7． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握无理数估算的方法，从而完成求解． 38．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 39．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 【题型9.算术平方根相关规律探索题】 40．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 41．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 42．观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝ ； （2）的值为 ． 【答案】 n 46 【分析】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳出该类问题的运算规律． （1）利用以上所得规律可得； （2）将变形为然后根据解析（1）中得出的结论进行求解即可． 【详解】解：（1） ∵ n为正整数 ∴ 故答案为：； （2） 故答案为：46. 43．已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，结合，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，被开方数小数点向右移动2位，则所得算术平方根小数点向右移动1位， ∴， 故答案为： 解答题 44．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型10.算术平方根的实际应用】 45．下列关于的描述正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．8的平方根 C．体积为8的正方体的棱长 D．面积为8的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查平方根、有理数及几何应用．需逐一分析选项，结合相关定义和公式判断正误即可． 【详解】解：A.化简为，而是无理数，故也是无理数，不是有理数，A错误； B.8的平方根是，但仅表示算术平方根（正根），B未明确“平方根”包含正负，描述不准确，B错误； C.正方体体积公式为，解得棱长，而，C错误； D.正方形面积公式为，解得边长，D正确； 故选：D． 46．把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出正方形的边长，再根据周长为边长的4倍，即可得出结果． 【详解】解：∵面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的周长是， 故选C． 47．当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ． 【答案】11.2 【分析】本题考查代数式求值，算术平方根的应用，把字母的值代入，再求出算术平方根即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：11.2． 48．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故，， ∴， ∴b可能为， 故答案为： （答案不唯一）． 解答题 49．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题8.1平方根题型突破讲义 01 重难点 重点抢分点（吃透稳拿基础分） 1.概念双胞胎：认准平方根和算术平方根这对“兄弟”一算术平方根是“非负老大” 平方根是“正负兄弟俩”，记准定义就不混。 2.符号速记法：√是算术平方根（结果必非负），是平方根（一对相反数）， 被开方数a必须0，负数可没有平方根哦。 3.计算小妙招：整数、分数、小数开平方，先想“哪个数的平方等于它”，正数直接写 一对，0的平方根还是0。 4.性质口诀歌：正数平方根有两个，互为相反数错不了；0的平方根是自己，负数想 都别想了。 二、难点闯关点（避开坑才能拿高分） 1概念辨真假：易错点是把“算术平方根”当“平方根”一比如求4的平方根，千 万别只写2，要写±2；求4的算术平方根，才只写2。 2.符号玩转转：√日本身就是非负数，别额外加负号；遇到√+V6-0,直接秒懂a0 且b0,这是“双重非负”的隐藏大招。 3.实际变身术：看到正方形面积求边长，其实就是求面积的算术平方根（边长不能为 负)，别傻乎乎写正负两个数。 4.估算小技巧：遇到√10这种开不尽的数，先找相邻的平方数(32=9,42=16)，就能 快速判断它在3和4之间。 02 题型梳理 1.平方根概念理解 2.求一个数的平方根 基础 3.求代数式的平方根 4.利用平方根解方程 过关题 5.求一个数的算术平方根 试卷第1页，共3页 能力 6.已知一个数的平方根，求这个数 7.算术平方根的非负性应用 提升题 8.估计算术平方根的取值范围 拓展 9.算术平方根相关的规律探索题 10.算术平方根的实际应用 拔高题 基础过关题 【题型1.平方根概念理解】 1.下列说法错误的是() A.4是16的一个平方根 B.81的平方根是±9 C.一7是49的一个平方根 D.49的平方根是7 2.学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16 的平方根是±4；③9的算术平方根是3；④√25的平方根是±5.嘉嘉做对了几道题() A.1道 B.2道 C.3道 D.4道 3.若一个正数的两个不同的平方根分别是2a-1和-a+2,则这个正数是 4.己知一个正数的两个平方根分别是5-a和2a-1,那么a的值为」 5.一个正数x的平方根分别是3a-4和1-6a,则x的值是」 【题型2.求一个数的平方根】 6.81的平方根是 7.下列各式中，正确的是() A.V22=2 B.±V81=9 C.16=8 D.-V(-3)2=3 8.若m、n满足(m-2)2+√n-14=0,则√m+n的平方根是」 9.已知n,an,am-,…,a1,a0均为自然数，整式Pn=a,x”+a,-x"-+…+a,x+a。,且满足 4n>am-1>…>41>a,设Gn=an+am-1+…+a1+a0,例如：当n=2时， 卫，=a,x2+a,x+a,G,=a+a,+a·根据题意，对于下列说法：①当n=0时，若√P2≤5， 试卷第1页，共3页 则a有6个不同取值；②当n=1,a,=5,则使得整式Pn的值为4的平方根的负数x值有7个； ③若a,a,,a-,a,是一列从1开始的连续奇数，则Gs=625;④所有使得Gn=5成立的整 式，之和为7x2+15x+8.其中正确说法的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 解答题 10.已知2a-8的平方根为它本身，b+6的算术平方根是3. (1)求a,b的值； (2)求2a+b的平方根. 【题型3.求代数式的平方根】 11.一个自然数的一个平方根是α，则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.±Va+l B.a+1 C.a2+1 D.±Va2+1 12.关于x的多项式7x3-11mx2-15x+9与多项式22x2-5x-7相加后不含x的二次和一次 项，则-(mn+n)平方根为() A.3 B.-3 C.3 D.±5 13.已知正实数x的平方根分别是n和n+a(a>0).若n2+(n+a2=8,则n+a的平方根 为 14.若x,y为实数，且2(x-3)2与V3y-12互为相反数，则x2+y2的平方根为 15.实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图，化简|a+b-Vb2-V(a-b)2=」 B A 6 0a 【题型4.利用平方根解方程】 16.已知(x-1)2=9,则x的值为() A.4 B.2或-4 C.-2或4 D.-4 17.如图是一个数值转换机，若输出的值为3，则输入正数α的值应是 输入N 输出 试卷第1页，共3页 18.将9个棱长为4cm的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为8cm,底面为正 方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为() A.3cm B.6cm C.8cm D.36cm 19.已知2x-1的算术平方根为3,4x+3y-1的平方根为±5，x-2y的平方根是 解答题 20.解方程： (1)(x-1)2-4=0. (2)4(3x+1)2-1=0. 【题型5.求一个数的算术平方根】 21.下列各式中，正确的是() A.V-3)2=-3B.-3=-3 C.V±32=t3 D.3=3 22.已知2a-7的算术平方根是5,2a+b-1的算术平方根是4，则-√a+b的值 为」 23.如果√2x-6与V2+y互为相反数，那么x2+y的算术平方根是 24.按一定规律排列的单项式：a,√2a3,√5a,√4a,√5a,…;第n个单项式为() A.√na B.√n+1a2m- C.√na2m-l D.na2m+ 解答题 25.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①1x3+1=√4=2， ②2×4+1=9=3， ③3×5+1=V16=4, ④√4×6+1=√25=5. (1)观察算式规律，计算√5x7+1=；√26x28+1= (②)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律： (3)计算： 试卷第1页，共3页 √3×5+1-V5×7+1+√7×9+1-V9×11+1+…+√2023×2025+1-V2025×2027+1. 能力提升题 【题型6.已知一个数的平方根.求这个数】 26.一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5,则这个数是() A.9 B.-9 C.2 D.-2 27.若一个正数的两个平方根是2a-5和a-7,则这个正数是 28.一个正数的两个平方根是2a+1和4-3a,则这个正数是() A.5 B.25 C.121 D.121或2 5 29.已知2a-1的平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4，那么a-2b的平方根 是」 解答题 30.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-3和5-a. (1)求a和x的值. (2)求x+12a的算术平方根. 【题型7.算术平方根的非负性应用】 31.若a,b满足(a-1)2+√b+2=0,则a-b的值是() A.-1 B.1 C.3 D.-3 32.已知(b-2)2与√a-8互为相反数，则ab的平方根是 33.若实数x,y,z满足√+y-1川+√2-2=0，则(x-z)2的平方根为 34.已知实数a满足2025-d+√a-2026=a,那么a-20252+1的值为() A.1 B.2025 C.2026 D.2027 解答题 35.已知Va-17+17-a=b+8. (1)求a的值； (2)求a-b的平方根 【题型8.估计算术平方根的取值范围】 试卷第1页，共3页 36.下列整数中，最接近√19的是() A.2 B.3 C.4 D.5 37.已知V10在两个连续的整数a和b之间，那么a十b= 38.如果一个正方形的面积为40，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间() A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 39.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长 分别为a,b,c,记p=a+b+c,那么其面积S=Np川p-ap-b1(p-G.如果某个三角 2 形的三边长分别为2,4,4，其面积S介于整数n和n+1之间，那么的值是 拓展拔高题 【题型9.算术平方根相关规律探索题】 40.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第 4个数是() 1 2√3 2√56 √722310 A.213 B.4V15 C.55 D.59 41.以下是一组按规律排列的单项式：a,√2a2,5a3,2a,5a,…,其中第n个单项式是() A.√na- B.na" C.√n-la" D.√n-la 42.观察下列各式：√=1,1+3=2，√1+3+5=3，√1+3+5+7=4， V1+3+5+7+9=5: (1)已知n为正整数，V1+3+5+7+9+11+…+(2n-1)=一 (2)√4+12+20+28+36+44+…+180的值为 43.已知：√2.024≈1.422，√20.24≈4.499，则V0.02024≈ 解答题 44.先填写表，通过观察后再回答问题 试卷第1页，共3页 a 0.0004 0.04 A 400 40000 a … 0.02 X 20 (1)表格中x= y= (2)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知√万≈2.65，√70≈8.37，则√700≈； ②已知√m=12.34,√n=1.234,用含m的代数式表示n,则m= 【题型10.算术平方根的实际应用】 45.下列关于√⑧的描述正确的是() A.它是一个有理数 B.8的平方根 C.体积为8的正方体的棱长 D.面积为8的正方形的边长 46.把两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形.如图所示：则这个大 正方形的周长是()dm ☑ A.√2 B.2 C.4W2 D.2-√2 47.当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位：ms)时，它就会克服地球 引力，永远离开地球，飞向火星.已知v的大小满足2=2gR,其中g是地球表面的重力加 速度，g约等于9.8（单位：m/s2),R是地球半径，R约等于6.4x10(单位：m),那么 第二宇宙速度约为km/s. 48.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1， 则正方形ABCD的边长可能是 D B 试卷第1页，共3页 解答题 49.【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个 边长为√2的大正方形，如图1所示. ④ ③ ⑤ ⑤ ② ④ ② ④ ② ④ ① ① ③ ⑤ ① ③ ② 图1 图2 图3 【类比迁移】(1)如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪 拼成一个大正方形（图3）·图3中拼成的大正方形的面积是，边长是-· 【猜想验证】(2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.己知如图 4放置的两个正方形，其边长分别为a,b,请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4 中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用α，b表示），画出裁剪线，标出各裁 剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）. 图4 图5 试卷第1页，共3页