精品解析：浙江省台州市椒江区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025学年第一学期九年级期末教学评价试题 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试!请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 地球绕太阳转 B. 自然状态下的水从低处向高处流 C. 买一张彩票，中奖 D. 明天太阳从东方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A.地球绕太阳转是必然事件，不符合题意； B.自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件，不符合题意； C.买一张彩票，中奖，为随机事件，符合题意； D.明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意． 故选：C． 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据抛物线顶点式 的顶点为解答即可． 【详解】∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选：A． 4. 如图，四边形内接于，点在延长线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，同角的补角相等，根据圆内接四边形得，又，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像在二、四象限 B. 图像是轴对称图形 C. 随增大而减小 D. 图像经过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的性质，图像位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小，图像关于原点中心对称且关于直线和轴对称，并可通过代入点验证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵函数是反比例函数，， ∴图像位于第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； 、∵图像关于直线和轴对称， ∴是轴对称图形，该选项正确，符合题意； 、∵在每个象限内随增大而减小，故该选项错误，不符合题意； 、∵当时，， ∴图像不经过点，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 6. 如图，平面直角坐标系中，点．若与是以坐标原点为位似中心的位似图形，是的对应边，且，则的坐标是（ ） A B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换；根据位似图形的性质，将点的横纵坐标乘以或即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，是的对应边，且， ∴相似比为，把缩小，点A的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 7. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴． 故选：C． 8. 浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”）城市争霸赛的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同．按照比赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A、B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛?设共有支队伍参赛，根据题意所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据分成两组，则每组队伍数量为，每两队之间都赛两场，每小组比赛场次为，根据题意列方程即可解题． 【详解】解：设共有支队伍参赛，每组队伍数量为，每小组比赛场次为， 列方程为，即， 故选：D． 9. 已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，解题的关键是通过假设发现矛盾，确定二次函数上的必有点，再代入求解参数． 先假设B，C两点同时在二次函数上，代入后得到矛盾等式，从而确定B，C不能同时在二次函数上；根据题意恰有一点在反比例函数上，可得A，D必在二次函数上，代入A，D坐标求出b，c的值；再验证满足二次函数、不满足，从而确定A，B，D在二次函数上，在反比例函数上；最后求出的值并计算． 【详解】解：假设均在二次函数上． 将代入得：，即①； 将代入得：，即② ∴①②两式矛盾，故B，C不能同时在二次函数图象上． 根据题意，恰有一点在反比例函数上，因此Ａ，D两点必在二次函数上． 将代入，得， 解得，， 将，代入①验证：，满足； 将，代入②验证不满足； ∴Ａ、Ｂ、Ｄ三点同时在二次函数上， ∴在上，得． 计算， 故选：B． 10. 如图，矩形纸片的对角线相交于点，如果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点，并将它从虚线位置开始绕点逆时针旋转，那么在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积（ ） A. 不变 B. 先变小再变大再变小 C. 先变小再变大 D. 变小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，设两矩形旋转过程中交于点E，F两点，过点O作于点，作于点，则是矩形，证明，即可得到，然后分为和两种情况，表示四边形的面积，根据函数的性质解答即可. 【详解】解：设两矩形旋转过程中交于点E，F两点，过点O作于点，作于点，则是矩形， ∵是矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而逐渐减小， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而逐渐减小， 综上所述，在旋转过程中逐渐减小， 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 在分别写有数字1，4，6的三张卡片中（除数字外其余都相同）随机抽取一张，抽到数字为奇数的卡片的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式计算即可． 【详解】解：抽取卡片上的数字有3种等可能结果，数字为奇数的结果只有1种， ∴抽到数字为奇数的卡片的概率为， 故答案为：． 13. 若是方程的根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆心角和弧之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识．设大圆与小圆相交于点,连接，根据大圆将小圆截成弧长相等的两部分得到是小圆的直径，由大圆半径是小圆半径的两倍得到，则是等边三角形，得到，即可根据同圆中圆心角的度数和弧长之间的关系求出答案． 【详解】解：如图，设大圆与小圆相交于点,连接， ∵大圆将小圆截成弧长相等的两部分， ∴是小圆的直径， ∵大圆半径是小圆半径的两倍， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的度数比为， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为． 故答案为： 15. 已知二次函数，函数值和自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 … 则关于的一元二次方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， ∴点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是， 即关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，若平行于的直线交四边形两边于点，且将四边形分割成面积相等的两部分，则长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，得到点的位置是解题的关键． 延长，交于点G，过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出长，进而计算，，再过点A作交于点M，求出判断点E在上，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：如图，延长，交于点G，过点C作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点A作交于点M， 则， ∴，即， ∴， ∴点E在上，且， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转作图，求弧长，勾股定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可得到； （2）利用勾股定理求出，根据旋转角为，利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：， ． 19. 如图，是的半径，弦，垂足为延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理等知识，证明是的切线是解题的关键． （1）证明，再根据是的半径即可证明是的切线； （2）根据垂径定理得到，再根据勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解： ． 设， 在中， 20. 小明、小强、小华三人参加传球游戏，游戏规则为：每人都可以随机向其他两人传球，球从一人传到另一人记为传球一次．游戏从小强传球开始，请完成以下各题： （1）经过一次传球，球传到小华处的概率是多少？ （2）经过两次传球，球传回到小强处的概率是多少？请用树状图或列表说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式和列表法或树状图求概率； （1）根据概率公式计算即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和球传到小强处的情况数，再根据概率公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵游戏从小强传球开始，小强可以随机向小明和小华两人传球， ∴经过一次传球，所有等可能的传球情况有种，球传到小华处的情况有种。 ∴经过一次传球，球传到小华处的概率为 ． 【小问2详解】 解：树状图如下： ∵从树状图可以看出，经过两次传球，所有等可能的传球情况有种，球传回到小强处的情况有种， ∴经过两次传球，球传回到小强处的概率为． 21. 浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 （1）__________，__________； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】（1）0.8，1.4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数． ∴设反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 反比例函数解析式为 ∴当时，， 当时，， 故答案为：0.8，1.4 【小问2详解】 解；当时，； 当时， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴ 22. 如图，中，，边上有两点，满足是等边三角形． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形和等边三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 等边三角形， ． ． ， ． ， ． ． 【小问2详解】 ， ． 是等边三角形， ． ． ∴ 23. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上有两点，若，求的取值范围； （3）当时，抛物线上有两点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式计算即可； （2）根据二次函数的对称性得到时，，然后根据二次函数的开口向上和离对称轴远的点的函数值大，确定的取值范围即可； （3）把两点坐标代入，得到关于的二次函数，配方为顶点式，根据最值解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 由对称性可得，当时， 即时，， ，开口向上， ∴离对称轴远的点的函数值大， 即当时，； 【小问3详解】 解：把代入函数解析式得 ， ∴， ，开口向下， ∴当时，的值最大为， 即． 24. 如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，当是中点时，请直接写出的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质与圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质得到，即可证明结论成立； （2）证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）证明，过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， 得到根据垂径定理得到，，进一步即可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当是中点时，则， 由（2）可知，， ∴， 过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， ∴ 根据垂径定理得到，， ∴, 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末教学评价试题 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试!请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为随机事件是（ ） A. 地球绕太阳转 B. 自然状态下的水从低处向高处流 C. 买一张彩票，中奖 D. 明天太阳从东方升起 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，点延长线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像在二、四象限 B. 图像是轴对称图形 C. 随增大而减小 D. 图像经过点 6. 如图，平面直角坐标系中，点．若与是以坐标原点为位似中心的位似图形，是的对应边，且，则的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”）城市争霸赛的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同．按照比赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A、B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛?设共有支队伍参赛，根据题意所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A. B. C. D. 10. 如图，矩形纸片的对角线相交于点，如果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点，并将它从虚线位置开始绕点逆时针旋转，那么在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积（ ） A. 不变 B. 先变小再变大再变小 C. 先变小再变大 D. 变小 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 在分别写有数字1，4，6的三张卡片中（除数字外其余都相同）随机抽取一张，抽到数字为奇数的卡片的概率为__________． 13. 若是方程的根，则的值为__________． 14. 如图，大圆半径是小圆半径两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为__________． 15. 已知二次函数，函数值和自变量部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 … 则关于的一元二次方程的解是_____． 16. 如图，在四边形中，，若平行于的直线交四边形两边于点，且将四边形分割成面积相等的两部分，则长为_____． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 19. 如图，是的半径，弦，垂足为延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 小明、小强、小华三人参加传球游戏，游戏规则为：每人都可以随机向其他两人传球，球从一人传到另一人记为传球一次．游戏从小强传球开始，请完成以下各题： （1）经过一次传球，球传到小华处的概率是多少？ （2）经过两次传球，球传回到小强处的概率是多少？请用树状图或列表说明． 21. 浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 （1）__________，__________； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 22. 如图，中，，边上有两点，满足是等边三角形． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上有两点，若，求取值范围； （3）当时，抛物线上有两点，求证：． 24. 如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，当是中点时，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $