3.1.1 椭圆及其标准方程 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

包头市景泰高级中学 高二数学 教案本 包头市景泰高级中学教务处 2025 包头市景泰高级中学 数学 教案 课题 3.1椭圆的标准方程 主备教师 张海军 备课教师 数学教研组 授课时间 11.12 课时安排 3课时 教学目标 1.通过实践探究理解椭圆的定义；理解椭圆的标准方程的推导思路，能够应用椭圆的定义判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，能够应用定义法和待定系数法求出椭圆的标准方程。 2. 从生活实际出发，引入椭圆，揭示学习数学的意义；通过动手实践、思考、总结，培养学生的动手能力和数学抽象的学科素养。 教学重难点 1.教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程. 2.教学难点：椭圆定义的应用及标准方程的推导. 教学过程 任务（教师） 活动（学生） 教学反思 （一）在前面直观感知椭圆的基础上，将学生分组，设置要求让学生动手实践，作出椭圆，思考、分析、归纳、总结椭圆的特征。 （二）回顾用坐标法求曲线方程的步骤，结合椭圆的形状特点，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？你能根据所建的坐标系求出椭圆的方程吗？ （三）通过椭圆的定义和椭圆的标准方程可以得到椭圆的焦点坐标和顶点坐标。 学生实践：将丝带的两端分别固定在两个定点,。用粉笔勾直丝带，使粉笔移动。 实践1 ：当粉笔头到两个定点的距离之和（丝带长度）大于两定点之间的距离时，粉笔尖的轨迹是什么？ 实践2：当粉笔头到两个定点的距离之和等于两定点之间的距离时，粉笔尖的轨迹是什么？ 思考探究：当粉笔头到两个定点的距离之和小于两定点之间的距离时，又是怎样的一种情况？ 一、椭圆的定义：平面内到两定点,的距离之和为常数(2a>2c)的点的集合叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两定点之间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长） 当时，此时的图形形状为线段。 当时，图形不存在。 小试牛刀： 1.平面直角坐标系中，(－1，0)，(1，0),动点P满足||＋||＝3，则动点P的集合是(　　) A．线段　　　　　　 B．直线 C．以为直径的圆 D．以为焦点的椭圆 分析：利用椭圆的定义，得D。 变式拓展： 命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且为常数)，命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析：利用椭圆的定义，得B。 二、椭圆的标准方程： 探讨建立平面直角坐标系的方案x y M O x y M O 1）将各组学生的讨论方案归纳起来评议，坐标系的建立选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点和列式，为了方便，设。(这里根据学生具体的讨论结果而定） 2）化简的过程根据实际情况来决定是教师用教学工具带领学生共同完成，还是由小组合作完成。 3）教师巡视并引导学生“怎么化简带根式的式子”，是直接平方或移式再平方？学生小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点，发现这种方法都需要二次平方，但是移式再平方计算较简单，并追问： ①怎么能让方程更简洁？ ②怎么能让方程看起来更简洁 得到椭圆方程：+=1（），其中b2 = a2－c2 ( b > 0 )； 由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。 教师指出：我们所得的两个方程+=1（）是椭圆的标准方程，其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.并引导学生对这两个方程作区分。 追问1：椭圆的标准方程有何特点？ 追问2：根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 探究2：观察各小组所建立的坐标系及椭圆，你能从中找出表示的 线段吗？从这个问题中师生总结得出的几何意义，再从图形中直观体会。 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 方程 定义表达式 到两定点的距离之和等于常数2，即（）。 顶点 、、 、。 、、 、。 轴长 长轴的长，短轴的长 。 焦点 、 、 例题分析： 1 椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 【答案】D 【详解】由椭圆可得，得，所以到的左､右焦点的距离之和为，选D。 2 动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【详解】以，因为表示点到的距离，表示点到的距离，又动点满足，又，即，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆．得，所以椭圆的标准方程为。 限时作业 1求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 2若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 3已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（   ） A． B． C． D． 课程总结 1本节课我们是如何得到椭圆的定义中，椭圆的定义是什么？ 2坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，椭圆方程有什么特点. 3 椭圆的两个方程和椭圆的焦点坐标和顶点坐标。 板书设计 1 学生讨论画图得到椭圆的图形 4 椭圆的顶点和焦点坐标 2 椭圆的定义分析 5 例题1分析 3 椭圆的方程推导 6 例题2分析 学科网（北京）股份有限公司 $