精品解析：河南信阳部分学校2025-2026学年上学期七年级数学期末试卷

2025-2026学年信阳市七年级上学期期末 一、选择题（共10小题） 1. 中国人很早就开始使用负数，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》，在算筹中规定“正算赤，负算黑”．那么的相反数是（　　） A. B. 2023 C. D. 2. 2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“落”相对的字是（ ） A. 双 B. 减 C. 全 D. 面 4. 下列结论中正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是4 B. 单项式的系数是，次数是4 C. 单项式m的次数是1，没有系数 D. 多项式二次三项式 5. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 6. 北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西方向，北京南站在天安门的南偏西方向．则的角度是（ ） A. B. C. D. 7. “河南苍穹”是位于漯河市郾城区的一处天然景观，以其独特的云海、日出和夜景等自然美景而闻名，小明决定从家骑车去参观，小明计划骑车以10千米/时的速度从家出发，在预计时间就能到达，但他因事比原计划晚出发15分钟，只好以15千米/时的速度前进，结果比预计时间早到6分钟，若设小明家到目的地的距离为千米，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长度是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 9. 规定：表示，两个数中较小的一个，表示，两个数中较大的一个．例如，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（ ） A. 35 B. 82 C. 83 D. 135 二、填空题（共5小题） 11. 若是关于的一元一次方程，则的值为______． 12. 一商家元旦期间对某商品实行买3送1的活动，100元买3件送同款商品1件，这4件商品每件仍能取得25%的利润，则每件商品的进价为______元． 13. 如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则______． 14. 一商标图案如图阴影部分，长方形ABCD中AB＝6cm，BC＝3cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积为________．（结果保留） 15. 若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，当时，运动时间为______秒． 三、解答题（共8小题） 16. 计算题． （1）计算：（1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在同一平面内有四个点、、、，根据下面的问题画图． （1）画线段，直线； （2）用尺规在直线上作点，使点是的中点； （3）在平面内画出点，使点到、、、四点的距离和最短． 20. 探寻神奇的幻方 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． （1）图2是一个未完成的三阶幻方，求a的值； （2）研究发现：三阶幻方最中间的数字与9个数字的和有确定的数量关系．如果设三阶幻方最中间的数字为n，9个数字和为s，请直接用含n的代数式表示s． （3）图3是一个未完成的三阶幻方，求b的值． 21. 2024年赛季收官战总决赛于11月24日圆满落幕，届时男女单打各16名球员和混双8对组合将展开精彩的乒乓球对决．某单位要观看比赛．设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为每张60元（总费用=广告赞助费+门票费）； 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为_____，方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____； （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次总决赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 22. 【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 （1）如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） （2）若平分，且为的“分余线”，求的度数； （3）如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 23. 利用数轴可以将“数与形”完美地结合，已知为数轴上的三点，若点到点的距离是点到点的距离的倍，我们就称点是的“优点”． （1）例如，如图1，数轴上点三点所表示的数分别为，，，点到点的距离______，点到点的距离是______，因为是的两倍，所以称点是的“优点”． （2）如图2，为数轴上三点，点所表示的数为0，点所表示的数为3，当点是的“优点”时，求此时点表示的数是多少？ （3）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为90．现有一电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，到达点停止．当运动时间为何值时，三个点中，恰有一个点为其余两点的“优点”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年信阳市七年级上学期期末 一、选择题（共10小题） 1. 中国人很早就开始使用负数，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》，在算筹中规定“正算赤，负算黑”．那么的相反数是（　　） A. B. 2023 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2023, 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，根据小数点移动的位数确定的值即可． 【详解】解：421.1万＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定的值以及的值． 3. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“落”相对的字是（ ） A. 双 B. 减 C. 全 D. 面 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“全”与面“减”相对，面“面”与面“实”相对，“落”与面“双”相对． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 4. 下列结论中正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是4 B. 单项式的系数是，次数是4 C. 单项式m的次数是1，没有系数 D. 多项式二次三项式 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式和多项式，根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意； 、单项式的系数是，次数是，该选项结论正确，符合题意； 、单项式的次数是，系数是，该选项结论错误，不合题意； 、多项式是三次三项式，该选项结论错误，不合题意； 故选：B． 5. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是关键．根据等式的性质，等式两边同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立． 【详解】解：A：由得或，不能确定，故A错误； B：由得，不能确定，故B错误； C：由得，不能确定，故C错误； D：由得，故D正确； 故选：D． 6. 北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西方向，北京南站在天安门的南偏西方向．则的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方向角的计算，根据题意可得，计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵北京西站在天安门的南偏西方向，北京南站在天安门的南偏西方向， ∴， 故选：B． 7. “河南苍穹”是位于漯河市郾城区的一处天然景观，以其独特的云海、日出和夜景等自然美景而闻名，小明决定从家骑车去参观，小明计划骑车以10千米/时的速度从家出发，在预计时间就能到达，但他因事比原计划晚出发15分钟，只好以15千米/时的速度前进，结果比预计时间早到6分钟，若设小明家到目的地的距离为千米，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，由 “比规定的时间早6分钟到达地”，由此可得出，原计划用的时间=实际用的时间分钟分钟，进而列方程即可得解，能准确地找出等量关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵设小明家到目的地的距离为千米， ∴， 故选：B． 8. 如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长度是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，结合图形计算即可． 【详解】∵AB=18，C为AB的中点， ∴AC=BC=AB=9， ∵AD：CB=1：3， ∴AD=3， ∴DC=AC-AD=6， ∴DB=DC+BC=15cm， 故选：D． 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 9. 规定：表示，两个数中较小的一个，表示，两个数中较大的一个．例如，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，根据题中所给新定义运算进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 10. 在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（ ） A. 35 B. 82 C. 83 D. 135 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列式计算即可． 【详解】解：化为 ， 则， 那么等于八进制中的数为135， 故选：D． 二、填空题（共5小题） 11. 若是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，绝对值的意义，由题意得出且，求解即可，解题关键是熟记一元一次方程的未知数的次数是1． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：或，且， ∴， 故答案为：． 12. 一商家元旦期间对某商品实行买3送1的活动，100元买3件送同款商品1件，这4件商品每件仍能取得25%的利润，则每件商品的进价为______元． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设进价为x元，根据利润相等列出方程，再求出解即可． 【详解】解：设每件商品的进价为x元，根据题意，得 ， 解得． 所以每件商品的进价为20元． 故答案为：20． 13. 如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．如图可以看出，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解． 【详解】解：, 故答案为：. 14. 一商标图案如图阴影部分，长方形ABCD中AB＝6cm，BC＝3cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】解：商标图案的面积=（圆的面积+长方形ABCD的面积）-△FBC的面积． = 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的面积；长方形的面积；直角三角形的面积． 15. 若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，当时，运动时间为______秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，利用可列出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 根据题意，得，， ∵， ∴， 即或， 解得：或， ∴当为或时，， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题） 16. 计算题． （1）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，同时计算括号内的，再算乘除，最后算加减即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1可解； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解：去括号得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：去分母得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 如图，在同一平面内有四个点、、、，根据下面的问题画图． （1）画线段，直线； （2）用尺规在直线上作点，使点是的中点； （3）在平面内画出点，使点到、、、四点的距离和最短． 【答案】（1） 如图所示； （2） 如图所示； （3） 如图： 【解析】 【分析】本题考查画直线，线段，掌握尺规作线段是解题的关键． （1）根据线段，直线的定义，作图即可； （2）以B为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，即可； （3）根据两点之间，线段最短，连接，，，的交点即为点． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 20. 探寻神奇的幻方 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． （1）图2是一个未完成的三阶幻方，求a的值； （2）研究发现：三阶幻方最中间的数字与9个数字的和有确定的数量关系．如果设三阶幻方最中间的数字为n，9个数字和为s，请直接用含n的代数式表示s． （3）图3是一个未完成的三阶幻方，求b的值． 【答案】（1） （2） （3）b的值为10 【解析】 【分析】本题考查的是三阶幻方的特点，一元一次方程的应用，解题的关键是理解幻方的特点． （1）利用三阶幻方的每行，每列，每条对角线的三个数字的和相等，可得答案； （2）设第一行，第一列数字为x，第二列数字为y，其余用字母表示，利用三阶幻方的每行，每列，每条对角线的三个数字的和都相等，求出，即可得答案； （3）如图3，由每一横行，每一坚列，每条对角线的数字和相等，先求左下角表示的数为2，可得每条对角线的数字和为，求解右列中间数为0，可得左上角表示的数为，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，设第一行，第一列数字为x，第二列数字为y，其余用字母表示， 三阶幻方的每行，每列，每条对角线的三个数字的和都相等， 设每行，每列，每条对角线的三个数字的和为t，则， 即， ， ∴， 即， ， ， ∴； 【小问3详解】 如图3，∵每一横行，每一坚列，每条对角线的数字和相等， ∴左下角表示的数为， ∵每条对角线的数字和为， ∴右列中间数为， ∴左上角表示的数为， ∴， 解得， ∴b的值为10． 21. 2024年赛季收官战总决赛于11月24日圆满落幕，届时男女单打各16名球员和混双8对组合将展开精彩的乒乓球对决．某单位要观看比赛．设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为每张60元（总费用=广告赞助费+门票费）； 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为_____，方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____； （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次总决赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】（1）元，元，元 （2）甲单位购买了500张，乙单位购买了200张 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． （1）根据题意可直接写出用x表示的总费用代数式． （2）设乙单位购买了m张，则甲单位购买了张，分两种情况：当时，当时，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知， 方案一中的总费用为：元； 方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，总费用为元；当购买的门票数x超过100张时，总费用为：元． 故答案为：元，元，元． 【小问2详解】 解：设乙单位购买了m张，则甲单位购买了张， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 则， 所以甲单位购买了500张，乙单位购买了200张． 22. 【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 （1）如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） （2）若平分，且为的“分余线”，求的度数； （3）如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】（1）是 （2） （3）60或105 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 23. 利用数轴可以将“数与形”完美地结合，已知为数轴上的三点，若点到点的距离是点到点的距离的倍，我们就称点是的“优点”． （1）例如，如图1，数轴上点三点所表示的数分别为，，，点到点的距离______，点到点的距离是______，因为是的两倍，所以称点是的“优点”． （2）如图2，为数轴上三点，点所表示的数为0，点所表示的数为3，当点是的“优点”时，求此时点表示的数是多少？ （3）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为90．现有一电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，到达点停止．当运动时间为何值时，三个点中，恰有一个点为其余两点的“优点”？ 【答案】（1）， （2）点表示的数是或 （3），时，三个点中，恰有一个点为其余两点的“优点” 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴； （1）根据数轴上两点距离，即可求解． （2）设所求数为，根据优点的定义列出方程，解方程，即可求解； （3）分四种情况讨论，由优点定义可列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵数轴上点三点所表示的数分别为，，， ∴点到点的距离2，点到点的距离是1， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设点表示的数是， ∵点所表示的数为0，点所表示的数为3， ∴， ∵点是的“优点”， ∴， ∴ 则或， 解得：或； 【小问3详解】 解：依题意，点表示的数为， 则， 分四种情况： ①是，的优点． 由题意，得 解得： ②是，的优点． 由题意，得 ， 解得：； ③是，的优点． 由题意，得 ， 解得：； ④为，的优点， 由题意，得， 解得：； 综上所述：，时，三个点中，恰有一个点为其余两点的“优点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $