专题五 抛物线方程及其几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲五 第三章 抛物线方程及其几何性质 内 容 概 括 抛物线方程及其几何性质 题型二：抛物线定义及应用 知识要点 题型三：与抛物线有关距离的最值问题 1.抛物线的概念 题型四：抛物线的焦点弦问题 2.抛物线的标准方程与几何性质 题型五：抛物线的中点弦问题 【常用结论】 题型六：直线与抛物线的位置关系 典型例题 题型七：与抛物线有关的综合应用 题型一：抛物线的定义与方程 知识点一、抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)的距离相等的点的集合叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 知识点二、抛物线的标准方程与几何性质 标 准 方 程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图 形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范 围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 【常用结论】 1.与抛物线有关的结论 (1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． (2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. (3)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 2. 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角， 则：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝； (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝； (4)＋＝； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切． （6）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 题型一：抛物线的定义与方程 例1-1.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（    ） A．±1 B． C． D．±2 例1-2.设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 例1-3.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 例1-4.已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 例1-5.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（    ） A．±1 B． C． D．±2 例1-6.设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【方法归纳】 求抛物线标准方程的方法 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 3、抛物线的标准方程求法 （1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． （2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论． 题型二：抛物线定义及应用 例2-1.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________； 例2-2.已知点P是抛物线x2＝8y上的一个动点，则点P到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为________． 变式2-1．动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 变式2-2．点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________． 【方法归纳】 1．利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线； (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．　 2．抛物线定义的应用规律 题型三：与抛物线有关距离的最值问题 例3-1.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例3-2.已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3-3.在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【方法归纳】抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线 1.当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线） 2.当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点） 题型四：抛物线的焦点弦问题 例4-1.设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 例4-2.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 题型五：抛物线的中点弦问题 【方法归纳】设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 例5-1.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 例5-2.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 例5-3.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例5-4.若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与抛物线的位置关系 例6-1．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　 D．2 例6-2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F在抛物线y2＝8x的准线上，且椭圆C经过点A(，1)． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋t与直线l1，l2分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆经过定点F． 【方法归纳】 1．求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用． 2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．　 例6-3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，半焦距c＝2，点F到右准线x＝的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N． (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 例6-4.抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点A、B，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 【方法归纳】直线过定点问题的解题模型 　 例6-5.已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点， 且·＝－3． (1)求抛物线C的方程； (2)过点M作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2， 证明：＋为定值． 【方法归纳】参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤 　 题型七：与抛物线有关的综合应用 例7-1.已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法： ①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为； ②；③直线PM与抛物线C相切． 则上述说法正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 例7-2.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且， （i）求证直线过定点； （ii）求与面积之和的最小值． 【方法归纳】直线与抛物线的综合问题 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲五 第三章 抛物线方程及其几何性质【解析】 内 容 概 括 抛物线方程及其几何性质 题型二：抛物线定义及应用 知识要点 题型三：与抛物线有关距离的最值问题 1.抛物线的概念 题型四：抛物线的焦点弦问题 2.抛物线的标准方程与几何性质 题型五：抛物线的中点弦问题 【常用结论】 题型六：直线与抛物线的位置关系 典型例题 题型七：与抛物线有关的综合应用 题型一：抛物线的定义与方程 知识点一、抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)的距离相等的点的集合叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 知识点二、抛物线的标准方程与几何性质 标 准 方 程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图 形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范 围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 【常用结论】 1.与抛物线有关的结论 (1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． (2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. (3)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 2. 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角， 则：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝； (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝； (4)＋＝； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切． （6）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 题型一：抛物线的定义与方程 例1-1.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（    ） A．±1 B． C． D．±2 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可 【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H． 设，，则． 而，所以， l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则， 可求得，可求得l斜率为， 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 故选：D 例1-2.设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点， 设直线的方程为，，， 联立，可得，所以，， 则．因为，，所以，， 则，解得或． 因为，所以． 故选：B 例1-3.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可． 【详解】已知拋物线的方程为，可得． 所以焦点为，准线为：． 抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 即， 又∵A到x轴的距离为， 由已知得，解得． 故选：D． 例1-4.已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线， 当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件． 故选：A． 例1-5.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（    ） A．±1 B． C． D．±2 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可 【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H． 设，，则． 而，所以， l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则， 可求得，可求得l斜率为， 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 故选：D 例1-6.设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点， 设直线的方程为，，， 联立，可得，所以，， 则．因为，，所以，， 则，解得或．因为，所以． 故选：B 【方法归纳】 求抛物线标准方程的方法 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 3、抛物线的标准方程求法 （1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． （2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论． 题型二：抛物线定义及应用 例2-1.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________； 【答案】y2＝4x. 【分析】用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 【详解】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x． 故答案为：y2＝4x． 例2-2.已知点P是抛物线x2＝8y上的一个动点，则点P到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为________． 【答案】2. 【分析】利用抛物线的定义将点P到点A的距离转化为到准线的距离，再利用三点共线距离之和最小. 【解析】设点P在抛物线的准线的投影为点P′，抛物线的焦点为F，则F(0,2)． 依抛物线的定义，知点P到该抛物线的准线的距离为|PP′|＝|PF|， 则点P到点A(2,0)的距离与到该抛物线的准线的距离之和 d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝2． 变式2-1．动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】利用抛物线定义求解. 【详解】：依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2， 所以动点P到直线x－4＝0的距离和它到点M(－4,0)的距离相等， 所以点P的轨迹是抛物线． 故选D． 变式2-2．点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________． 【答案】：(1)3；(2)－；. 【详解】(1)如图①，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|， 从而最小值为A到准线的距离为3． (2)如图②，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－． 当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝． 故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为． 【方法归纳】 1．利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线； (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．　 2．抛物线定义的应用规律 题型三：与抛物线有关距离的最值问题 例3-1.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】 由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为， 过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线， 即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 例3-2.已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图， 则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 例3-3.在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案. 【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得， 故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线， 由于，故在抛物线内部， 过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义）， 故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小， 最小值为点M到直线l的距离，所以， 故选：B． 【方法归纳】抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线 1.当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线） 2.当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点） 题型四：抛物线的焦点弦问题 例4-1.设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 【答案】C 【分析】对于A，求出直线与轴的交点，可得抛物线的焦点，从而可求出，对于B，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得，对于C，先求出点到直线的距离，然后结合可求出的面积，对于D，设线段的中点为，求出点到直线的距离进行判断. 【详解】对于A，当时，，所以抛物线的焦点为，所以，得，所以A错误， 对于B，由选项A可知，设， 由，得， 所以， 所以，所以B错误， 对于C，点到直线的距离为，由选项B可知， 所以的面积为，所以C正确， 对于D，抛物线的准线为，设线段的中点为，则， 则点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，所以以为直径的圆与准线只有一个交点，所以D错误， 故选：C 例4-2.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 【答案】C 【分析】设直线，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可判断，再由弦长公式求出即可判断，利用抛物线的几何意义判断，求出，，由即可判断. 【详解】 依题意，设直线，，， 由，整理得，则， 所以，，所以， 解得，所以，又，解得， 所以，又，所以，故错误； 因为，故错误； 因为，又线段的中点到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故正确； 因为，若，则，解得或； 若，则，解得或； 即、或、， 所以或，故错误. 故选：. 题型五：抛物线的中点弦问题 【方法归纳】设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 例5-1.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解. 【详解】设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 例5-2.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 例5-3.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 由题意可知：直线的斜率不为，但可以不存在，且直线与抛物线必相交， 可设直线的方程为，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，即， 设的中点为，则，， 可知线段的垂直平分线方程为， 因为在线段的垂直平分线上， 则，可得， 联立方程，解得， 故选：B. 例5-4.若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 题型六：直线与抛物线的位置关系 例6-1．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　 D．2 【答案】D 【分析】将直线方程和抛物线方程联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，再用OA⊥OB求解. 【详解】： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0， 故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2． 又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0， 经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2． 例6-2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F在抛物线y2＝8x的准线上，且椭圆C经过点A(，1)． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋t与直线l1，l2分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆经过定点F． 【答案】(1)＋＝1；(2)以MN为直径的圆经过定点F. 【分析】先找后证法求证定点问题的一般思路 根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明定点与变量无关． 【详解】(1)抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，所以F(－2,0)，即c＝2， 又因为椭圆C经过点A(，1)， 则解得a2＝8，b2＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1． (2)证明：由(1)知，A1(－2，0)，A2(2，0)，所以l1：x＝－2，l2：x＝2， 联立消y得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0， 因为直线l为椭圆C的一条切线，所以Δ＝(4kt)2－4(2k2＋1)(2t2－8)＝0， 整理得8k2－t2＋4＝0，故t2－8k2＝4， 因为l与直线l1，l2分别交于M，N两点， 设M(－2，y1)，N(2，y2)， 所以＝(－2＋2，y1)，＝(2＋2，y2)， 则·＝y1y2－4， 因为y1＝－2k＋t，y2＝2k＋t，则y2y2＝t2－8k2＝4， 所以·＝y1y2－4＝4－4＝0，所以⊥，即∠MFN＝90°， 所以以MN为直径的圆经过定点F(－2,0)．　 【方法归纳】 1．求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用． 2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．　 例6-3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，半焦距c＝2，点F到右准线x＝的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N． (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1)－y2＝1； (2)定点坐标为(3,0). 【详解】：(1)由题设可得c－＝，c＝2，所以a2＝3，b2＝c2－a2＝1． 所以双曲线C的标准方程为－y2＝1． (2)证明：由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0)． 设过点F的弦AB所在的直线方程为x＝ky＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以M． 由消去x得(k2－3)y2＋4ky＋1＝0，Δ＞0． 因为弦AB与双曲线C有两个交点，所以k2－3≠0， 所以y1＋y2＝，所以M． 当k＝0时，M点即F点，此时，直线MN为x轴； 当k≠0时，将上式M点坐标中的k换成－，可得N． ①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN＝＝， 直线MN的方程为y－＝， 化简得y＝(x－3)， 所以直线MN过定点(3,0)． ②当直线MN垂直于x轴时，＝， 此时k＝±1，直线MN也过定点(3,0)． 综上所述，直线MN过定点(3,0)． 例6-4.抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点A、B，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； （2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； （3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． 【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． （2）由（1）知，当时，,所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦． （3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以． 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． 【方法归纳】直线过定点问题的解题模型 　 例6-5.已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点， 且·＝－3． (1)求抛物线C的方程； (2)过点M作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2， 证明：＋为定值． 【答案】(1)抛物线C的方程为y2＝4x； (2)＋为定值. 【分析】(1)将直线方程和抛物线方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据·＝－3代入即可求出p的值； (2)利用抛物线的焦点弦公式，三角形面积代入即可证明结论. 【详解】(1)设直线l：x＝my＋1，联立方程消去x得，y2－2pmy－2p＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2p， 又因为·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋m(y1＋y2)＋1 ＝(1＋m2)(－2p)＋2pm2＋1＝－2p＋1＝－3．解得p＝2． 所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)证明：由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝my1＋my2＋2＋p＝4m2＋4． 又原点到直线l的距离d＝， 所以S1＝××4(m2＋1)＝2． 因为直线l′过点(1,0)且l′⊥l， 所以S2＝2 ＝2． 所以＋＝＋＝． 即＋为定值． 【方法归纳】参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤 　 题型七：与抛物线有关的综合应用 例7-1.已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法： ①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为； ②；③直线PM与抛物线C相切． 则上述说法正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对①，根据抛物线的对称性可得直线过焦点且与轴垂直，进而求得面积； 对②，根据圆C′与x轴的负半轴交于点P判断即可； 对③，设，联立直线与抛物线方程，根据判别式判断即可. 【详解】①抛物线C的焦点为，由对称性可知，， 于是直线过焦点且与轴垂直，故，圆的面积为，故①正确； ②因圆C′与x轴的负半轴交于点P，故，故②正确； ③设，由抛物线定义可知，， 所以，直线的方程为， 与抛物线联立可得， 又，化简可得，故， 所以直线与抛物线相切，故③正确. 故选：D 例7-2.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且， （i）求证直线过定点； （ii）求与面积之和的最小值． 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）设出，利用给定条件建立方程求出，最后得到定点即可. （ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）抛物线， 其焦点为，准线方程为， 可得，且，解得（另一个根舍去），， 则抛物线的方程为； （2） （i） 如图，设的方程为，， 联立，可得， 则，又，， 由，可得，解得（另一个根舍去）， 所以直线恒过定点； （ii）由上小问可得，不妨设， 则与面积之和为， ， 当且仅当，时，上式取得等号， 则与面积之和的最小值为． 【方法归纳】直线与抛物线的综合问题 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $