专题四 双曲线方程及其几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格对比和分点梳理构建双曲线知识体系，用表格呈现两种标准方程的几何性质（范围、对称性等），分点阐述定义、标准方程、等轴双曲线等要点，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法归纳，涵盖定义应用、方程求解、离心率等题型，例题与变式结合，如离心率问题归纳两种求解方法，培养数学思维与运算能力，支持分层教学，助力教师精准复习。

2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲四 第三章 双曲线的方程 内 容 概 括 双曲线 题型二：双曲线的标准方程 知识要点 题型三：双曲线的几何性质 1.双曲线的定义 考点1.双曲线的离心率问题 2.双曲线的标准方程和几何性质 考点2.双曲线的渐近线问题 3．等轴双曲线 考点3.几何性质的综合应用 典型例题 题型四 与双曲线有关的中点弦问题 题型一：双曲线的定义及应用 题型五:综合应用 知识点一、双曲线的定义 1.平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a＞0，c＞0. ①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a＞|F1F2|时，M点不存在． 知识点二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图 形 性质 范 围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 ，其中： 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a， 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 知识点三、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 【常用结论】 1.三种常见双曲线方程的设法 (1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时， 可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为，也叫通径； 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a． 题型一：双曲线的定义及应用 例1-1．－＝4表示的曲线方程为(　　) A．－＝1(x≤－2)　　 B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 例1-2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是____________． 例1-3．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 例1-4．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 例1-5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 例1-6．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 题型二：双曲线的标准方程 例2-1. 双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 例2-2. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为________． 例2-3. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 例2-4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：双曲线的几何性质 考点1.双曲线的离心率问题 例3-1.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 例3-2.已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3-3.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 例3-4.已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1. A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（    ） A． B． C． D．3 变式3-2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法归纳】 求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化为关于e的方程(不等式)求解．　 考点2.双曲线的渐近线问题 例3-5．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±y＝0 B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 例3-6．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】 求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令－＝0， 得y＝±x． 反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．　 考点3.几何性质的综合应用 例3-7.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 例3-8.已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 【方法归纳】 1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系． 2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解； (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　 题型四 与双曲线有关的中点弦问题 例4-1.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 例4-2.已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】 双曲线的中点弦 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 题型五:综合应用 例5-1.【多选】双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 例5-2.【多选】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 例5-3.已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 例5-4.已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 变式5-1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，半焦距c＝2，点F到右准线x＝的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N． (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 变式5-2.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的最小值． 【方法归纳】直线与双曲线的综合问题 （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲四 第三章 双曲线的方程【解析】 内 容 概 括 双曲线 题型二：双曲线的标准方程 知识要点 题型三：双曲线的几何性质 1.双曲线的定义 考点1.双曲线的离心率问题 2.双曲线的标准方程和几何性质 考点2.双曲线的渐近线问题 3．等轴双曲线 考点3.几何性质的综合应用 典型例题 题型四 与双曲线有关的中点弦问题 题型一：双曲线的定义及应用 题型五:综合应用 知识点一、双曲线的定义 1.平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a＞0，c＞0. ①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a＞|F1F2|时，M点不存在． 知识点二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图 形 性质 范 围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 ，其中： 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a， 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 知识点三、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 【常用结论】 1.三种常见双曲线方程的设法 (1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时， 可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为，也叫通径； 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a． 题型一：双曲线的定义及应用 例1-1．－＝4表示的曲线方程为(　　) A．－＝1(x≤－2)　　 B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】：的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离， 的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离， 则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0,3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4， 且4<|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支， 且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5， 则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2)， 故选C． 例1-2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是____________． 【答案】：双曲线－＝1(y<0) 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7， 所以所求点的轨迹是双曲线－＝1(y<0)． 故双曲线－＝1(y<0)． 例1-3．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲 线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可. 【详解】设， 则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支， ∴点P的轨迹方程为， 依题意，双曲线与圆有公共点， 将圆的方程代入双曲线方程得， 即， 判别式，解得， 当时，，且， ∴等号能成立．∴． 故选：B. 例1-4．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 例1-5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 【答案】：9 【分析】根据双曲线的定义将|PF|＋|PA|的问题转化为|PH|＋|PA|，当三点共线时距离之和取得最小值. 【详解】：因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)， 则由双曲线的定义可得 |PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9 (当A，P，H三点共线时取等号)． 故最小值为:9 例1-6．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 题型二：双曲线的标准方程 例2-1. 双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 【答案】A 【分析】根据已知条件列出方程求解. 【详解】∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a， 则双曲线的方程为－＝1， 将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝， 因此双曲线的方程为x2－＝1． 故选A． 例2-2. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为________． 【答案】：x2－＝1. 【分析】利用双曲线渐近线与圆相切和双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合的条件列式求解. 【详解】：双曲线渐近线方程为y＝±x，由双曲线渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切， 可得＝＝， 又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合， 所以c＝2，故b＝，a＝1， 所以双曲线的方程为x2－＝1． 故答案为x2－＝1. 例2-3. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为， 由双曲线的定义可知， 可得， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 例2-4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为，，而， 则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 题型三：双曲线的几何性质 考点1.双曲线的离心率问题 例3-1.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理求解. 【详解】：根据已知条件|PF1|＝3|PF2| 设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，在三角形PF1F2中 则|F1F2|＝＝m， 又由双曲线定义||PF1|-|PF2||=2a,所以2a＝m. 所以C的离心率e＝＝＝＝＝． 例3-2.已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，， 设，结合双曲线的定义分别求出对应边， 在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解. 【详解】 设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则， 因为，，所以， 因为，所以，即为线段的中点， 因为为的中点，所以，所以，， 设，则，， ，所以， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， 所以，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，所以. 故选：. 例3-3.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合题干条件可解得的长度，再利用勾股定理即可算出离心率. 【详解】设双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为， 由双曲线的定义可知，结合题干条件， 解得，又，， 由勾股定理可得，解得离心率. 故选：A. 例3-4.已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a， 当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由双曲线定义可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|， ==+4a+|PF1| ≥8a， 当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时 由双曲线的几何性质可得，，即可， 又双曲线的离心率，∴. 故选:C. 变式3-1. A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】设，则，然后将表示出来，利用离心率为2即可求解. 【详解】 设，则，又由题得， 则， 则， 故选：D 变式3-2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 【方法归纳】 求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化为关于e的方程(不等式)求解．　 考点2.双曲线的渐近线问题 例3-5．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±y＝0 B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 【答案】C 【分析】根据已知条件和双曲线定义和余弦定理即可求出a、b的关系，并确定双曲线的渐近线方程. 【详解】：∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上， ∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a． 在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝， 即＝， ∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又b2＋a2＝c2，∴＝， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0， 故选C． 例3-6．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及含有的直角三角形的三边关系，求得之间的关系，进而得解. 【详解】由题意 所以， 所以，， 双曲线得渐近线方程为，即. 故选：B. 变式3-2．已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设有双曲线渐近线为，，且，求坐标，根据得到齐次方程，即可得渐近线. 【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线， 故，可得，故，即， 又三角形BOF为等腰三角形，所以，则， 整理得，即双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【方法归纳】 求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令－＝0， 得y＝±x． 反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．　 考点3.几何性质的综合应用 例3-7.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据已知条件，求出双曲线的渐近线和直线的交点，并根据三角形的面积得到ab＝8，再利用均值定理求解. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x． 因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点， 所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)， 所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8， 所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8， 所以C的焦距的最小值为8， 故选B． 例3-8.已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，，结合点P为AB的中点求得，，再代入双曲线方程求得，进而即可求解的值． 【详解】设，，，，， 由点P为AB的中点，得，， 将P点代入双曲线方程可得，化简得， 所以， 故选：B． 【方法归纳】 1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系． 2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解； (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　 题型四 与双曲线有关的中点弦问题 例4-1.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法，因为交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 【详解】设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 例4-2.已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法，因为交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以， 而，故， 故，故. 故选：A 【方法归纳】 双曲线的中点弦 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 题型五:综合应用 例5-1.【多选】双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【分析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则，联立渐近线求得、，结合已知得，结合双曲线参数关系判断A、B；应用斜率的两点式判断C；设点P处的切线为并联立双曲线，由求得，即可求得，即可判断D. 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 例5-2.【多选】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】利用边相等得三角形全等，来计算坐标，从而可判断A，通过点坐标代入双曲线方程可求离心率来判断B，通过点到直线的距离可判断C，通过联立方程组，利用坐标运算来判断D. 【详解】 记双曲线的焦距为，则，．因为， 由，可解得：， 如图过作轴垂线，垂足为，则可得：，， 所以，则，故选项A正确； 将代入双曲线，得．再将代入，解得． 所以的离心率为．故选项B正确； 因为点到渐近线的距离为 ，所以选项C错误； 由，有，且双曲线方程化为． 由，，得的方程为． 将与联立，消去，整理得． 记，所以，得． 所以，所以选项D正确． 故选：ABD． 例5-3.已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2） 如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可 求解； （3） 设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 例5-4.已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点，所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 变式5-1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，半焦距c＝2，点F到右准线x＝的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N． (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1)－y2＝1 ； (2)定点(3,0). 【详解】：(1)由题设可得c－＝，c＝2，所以a2＝3，b2＝c2－a2＝1． 所以双曲线C的标准方程为－y2＝1． (2)证明：由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0)． 设过点F的弦AB所在的直线方程为x＝ky＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以M． 由消去x得(k2－3)y2＋4ky＋1＝0，Δ＞0． 因为弦AB与双曲线C有两个交点，所以k2－3≠0， 所以y1＋y2＝，所以M． 当k＝0时，M点即F点，此时，直线MN为x轴； 当k≠0时，将上式M点坐标中的k换成－，可得N． ①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN＝＝， 直线MN的方程为y－＝， 化简得y＝(x－3)， 所以直线MN过定点(3,0)． ②当直线MN垂直于x轴时，＝， 此时k＝±1，直线MN也过定点(3,0)． 综上所述，直线MN过定点(3,0)． 变式5-2.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的最小值． 【答案】(1)－＝1；(2)2. 【分析】(1)根据已知离心率和双曲线经过点即可求出双曲线方程； (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； 列出韦达定理. 【详解】：(1)双曲线的离心率为，即＝， 因为点A(0,2)在双曲线－＝1上，所以＝1，a＝2，则c＝2， 又c2＝a2＋b2，所以b＝2． 所以双曲线C的方程为－＝1． (2)易知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)， 由得(1－m2)y2－4my－8＝0， 设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，则 解得1＜m＜． 设点M的纵坐标为y0，则y0＝＝， 所以S△OBM＝×|OB|×|y0|＝×2×＝＝，1＜m＜． 易知函数y＝x－在(1，)上单调递增，所以m－∈， 所以△BOM面积的最小值为2． 【方法归纳】直线与双曲线的综合问题 （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $