2025-2026学年苏科版数学九年级上册第21周提优同步练习（适用：扬州）

2025-2026学年苏科版数学九年级上册第21周提优同步练习（适用：扬州） 1．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，．则的长为（    ）A． B． C． D． 2．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（   ）   A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（   ）A. B． C． D． 4．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ）A． B． C． D． 5．设，是方程的两个根，那么的值为 ． 6．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ． 7．如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为 ． 8．已知关于x的函数，有以下结论：①无论t取何值，该函数的函数值都不小于 0；②若，则当时，y随x增大而增大；③该函数图象与x轴必有交点；④当方程仅有三个不相等的实根时，．其中正确的结论是 ．(只填写序号) 9．如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为 ；当时，线段的长为 ． 10．一个装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，． (1)如图1，当时，作于点C，并交半圆O于点D，若水面截线，求水截面最大深度的长． (2)将图1中的水倒出一部分，得到图2，直径一端点B刚好与点N重合．水截面最大深度为13，请计算此时水面截线的长． 11．已知：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)当时，求点A与点B的坐标； (2)如图，若，且，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点M垂直x轴的直线交抛物线于点P，交抛物线于点Q，设点P、点Q的纵坐标分别为、，若的最小值为5，求n的值． 12．综合与探究 问题情境：已知：如图1，在矩形中，E为的中点，作于点F． 猜想证明：(1)判断与是否相似？相似请证明，不相似请说明理由； 深入探究：(2)若，求的值； 拓展延伸：(3)如图2，连接交于点G，若，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 A C A C 1．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，圆周角定理．根据，可得四点共圆，利用圆周角定理证明点为的中点，再证明，即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， 四点共圆， ， ， ， ， ， 由，可得， 同理可得， ，即F是的中点， ， ， 由四点共圆，可得， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 两式相减得出：， ∴， 将，代入得出：，故②正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 把，代入方程， 得 ∴，，故④不正确； 正确的个数是2个， 故选：C． 3．A 【分析】根据切线长定理，得，设，则，设，则即，过点M作于点Q，则四边形是矩形，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线长定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设与各边的切点依次为， 根据切线长定理，得， 故， ∴， ∵矩形分为两个全等的四边形，，且， ∴， 设，则，设， ∴， 故， 过点M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得 ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 5． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 6．/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马问题、勾股定理和隐形圆的动点问题，正确找到动点的轨迹是解题的关键．先根据旋转的性质，找到动点 的轨迹是以点F为圆心，半径为2的圆，作点关于的对称点，连接，此时线段的值最小，即的长，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点， 点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆， 连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长， 矩形，，， ，， 点C关于的对称点， ， 点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2， 的半径为2，即，， ， 在中，， ， 则线段的最小值为8． 故答案为：． 8．①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系． 结论①由绝对值函数非负性判断；结论②通过分析二次函数增减性判断；结论③通过判别式判断存在无交点情况；结论④通过方程解的情况分析恰好三个实根时t的值． 【详解】解：①，其函数值恒不小于0，故结论①正确． ②：当时，函数为， 当时， 解得， 与轴交点为，， ， 开口向上， ∴当时，y随x增大而增大，故结论②正确； ③：函数与轴交点需满足， ， 当时，，无实数根，函数与轴无交点，故结论③错误； ④：由可得 或， 当有两个相同的根时， ， 解得， 当时， 解得； 当时，有， 解得和，符合题意； 当有两个相同的根时， ， 解得，此时， 根据①可得的函数值大于等于0， ∴当时，方程无解，故（舍去）； 当和有相同的根时， 两式相减可得， 解得， 此时方程为， 解得，不符合题意， 综上，当方程仅有三个不相等的实根时，，故④正确； 综上，正确结论为①②④， 故答案为：①②④． 9． 4 【分析】连接，利用相似进行转化，先得出是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， 中，， ， 即， 是的中点， ， ， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ， ∴， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 10．(1)水截面最大深度的长为． (2)水面截线的长为． 【分析】本题考查圆的垂径定理和勾股定理的综合应用，利用“垂径定理”构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度是解题关键． （1）连接，根据、的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出． （2）将水槽和地面的切点与圆心相连，与水面交于点，根据和水截面最大水深可求出，在中，利用勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ， ， ， ． 答：水截面最大深度的长为． （2）解：如图，设水槽与地面的切点为，连接与交于． ，， ， ， 根据题意可知，， ， ， ． 答：水面截线的长为． 11．(1)点，点 (2) (3)n的值为或 【分析】（1）将,代入得抛物线解析式，令，求方程的解即可； （2）在上取点，连接，求出.结合即可解答； （3）设点，，，分三种情况讨论即可 【详解】（1）解：∵当,时，抛物线解析式为 当时， 解得， ∴点，点； （2）解：如图，在上取点，连接， ∵，， ∴ ∵， ∴               ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交于点C坐标为， ∴ 在中， ， ∴ ∴ ∴ ∵抛物线经过、， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为； （3）解：依题意得，点在抛物线上，点在上， ∴，， ∴ 当时， ∵， ∴时，的最小值为5 ∴=5 ∴（舍去）或 当时，若，则时，的最小值为5 ∴ ∴（舍去） 当时，若，则时，的最小值为5 ∴ 解得（舍去），. ∴n的值为或. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识，分类讨论是解题的关键． 12．(1)，理由见详解； (2)的值为； (3)的值为． 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质．掌握矩形的相关性质及相似三角形的判定与性质是解题关键，注意两三角形相似中对应边成比例的灵活转换． （1）首先，根据矩形的性质得出，，进而得到，再由，得到，从而证得； （2）根据矩形的性质及已知条件可得，再由，得出，最后，代入数据计算即可； （3）首先，根据题意做辅助线，可证得，进而可得，，， ， 然后，根据，易证，从而得出，最后，通过转换代入得出，进而可得出． 【详解】（1）解：． 理由：在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴； （2）解：在矩形中，， ∵为的中点， ∴． 由（1）得， ∴． ∴； （3）解：的值为． 解：如图，过点作于点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ． 由（1）得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； 在矩形中，，， ∴，即． ∴． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $