28.1 锐角三角函数 闯关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 闯关练 2025-2026学年 下学期初中数学人教版九年级下册 一、单选题 1．在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D．1 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知中，，，若，于点E，则（    ） A． B． C． D． 6．已知AE、CF是锐角的两条高，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值（  ） A．都没有变化 B．都扩大两倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 8．已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　） A． B． C．1 D． 二、填空题 9．cos30°的值等于 ． 10．已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是 ． 11．我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率　 　．（参考数据：， 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝ ． 13．在中，，，则 ， ， ． 14．若tana=，则sina= . 三、解答题 15．计算：. 16．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，如果AB＝2，∠CBO＝60°，试写出顶点A、D的坐标．    17．如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC=11，AD=12，DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上． （1）求BD的长度； （2）求cos∠EDC的值． 18．综合与实践 如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中． 数学思考 （1）上图中______； （2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值．    深入探究 （3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值．    19．如图，在中，． 实践与操作： （1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，垂足为点交与点；（保留作图痕迹，不写作法） 化简与求值： （2）若的周长为，求的值． 20．某校数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过自主思考、合作交流讨论，得到以下思路： 思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD．…… 思路二 如图2，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°…… 思路三 利用科普书上的有关公式：tan（α＋β）＝； tan（α―β）＝；… 请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）选择你喜欢的一种思路，完成解答过程，求出tan 15°的值（保留根号）； （2）试利用同样的方法，计算tan22.5°的值（保留根号）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C D B A C 1．B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选B． 2．D 【分析】根据45°角的锐角三角函数值，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 3．B 【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°． ∴∠A=∠BCD． ∴tan∠BCD=tan∠A=． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值． 4．C 【分析】由题意可知，将代入即可求得． 【详解】如图所示：在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键． 5．D 【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴在Rt△ADB中，， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键． 6．B 【分析】首先表示出sin∠BAC=，sin∠ACB=，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 7．A 【分析】根据题意作图形，分别求出两个锐角的余弦值，以及变化后的余弦值，比较即可． 【详解】如图， 由图可知：在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值均分别为：，， 即：两个锐角的余弦值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查余弦函数的性质，掌握好余弦函数的基本性质是解答本题的关键． 8．C 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，利用同角的正弦的平方加它的余弦的平方等于1，即可求解． 【详解】解：A，B是两个锐角，且满足，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 9． 【分析】利用特殊角的三角函数值即可得答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 10．4 【分析】根据三角函数的定义，求得的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角函数的定义可得： 又∵ ∴ 由勾股定理得 故答案为4 【点睛】此题考查了三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义． 11．3.12 【分析】求出正24边形的周长，再根据计算即可解决问题． 【详解】解：圆内接正二十四边形的周长， 则， 故答案为3.12 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．． 【分析】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，设DG＝x，证明△ACD∽△HBD，根据相似三角形的性质与判定，进而得出比例式求解即可得AC． 【详解】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G， 设DG＝x， ∵AC∥BH， ∴∠CAD＝∠H， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠H， ∴AB＝BH＝15， ∵BG⊥AH， ∴AG＝GH＝7+x， ∴DH＝7+2x， ∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H， ∴△ACD∽△HBD， ∴，即， ∴AC， ∵∠CAD＝∠H， ∴cos∠CAD＝cos∠H， ∴，即， 解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5， ∴AC． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，添加辅助线，证明△ACD∽△HBD是解题的关键． 13． 【分析】根据sinA的值设BC=5k，则AB=13k，由勾股定理求出AC=12k，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】∵sinA==，∴设BC=5k，则AB=13k，由勾股定理得：AC=12k，则cosA===，tanA===，cosB==． 故答案为． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=． 14． 【详解】试题解析：∵tanα=， ∴cos2α===， ∴sin2α=1-=， 则sinα=±. 15． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算． 【详解】原式 . 【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值． 16．； 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出BO以及AE，BE的长即可得出A，D坐标． 【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴BC＝2， ∵∠CBO＝60°， ∴BO＝1，CO＝2cos30°＝， ∵∠CBO＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝30°， 则∠BAE＝60°， 故AE＝AB＝1，BE＝， 故A（﹣1﹣，1）， 同理D（，1+）．    【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及坐标与图形的性质，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 17．（1）BD=6；（2）. 【分析】（1）将AD=12，GF=DF=4代入即可. （2）用勾股定理得AC，再求出ED=EC,，即可. 【详解】解：（1）∵如图DFGH为顶点在△ABD边长的正方形∴ 将AD=12，GF=DF=4代入得：BD=6， （2）∵BC=11，BD=6，∴CD=5 在直角△ADC中，, ∴AC=13 ∵E是边AC的中点， ∴ED=EC, ∴∠EDC=∠ACD ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握三角函数是解题的关键. 18．（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，平行四边形的判定，求一般角的三角函数值； （1）可证，从而可得，可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （2）取格点，连接，，可证，从而可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （3）取格点，连接，，可证，从而可得，判定是直角三角形，由即可求解； 根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）、是正方形小方格的对角线， ， ， ， 由图得： ， ， ， ， ； 故答案：； （2）如图，取格点，连接，， 由图得： ， ， ， ， ， ； （3）如图，取格点，连接，，   ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 19．（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法，作线段的垂直平分线，垂足为点交与点，如图所示． （2）在Rt△AED中，利用特殊角三角函数可求得DE，的周长为，即可求出T． 【详解】解：（1）根据垂直平分线的尺规作图方法：先以A为圆心，以大于线段AC一半的长度画弧，然后再以C为圆心，以相同长度为半径画弧，两条圆弧交于两点，连接该两点的直线即为线段AC的垂直平分线， 垂足为点交与点，如图所示． （2）如图， 则 ∴ ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，利用特殊角三角函数解直角三角形． 20．（1）2－ ；（2）－1 【分析】(1)选择思路2，因为AB＝AC，∠A＝30°，CD⊥AB，可得CD＝AC，设CD＝AC＝x，根据勾股定理可得AD＝x，所以BD＝AB－AD＝2x－x＝（2－）x，从而求解. （2）可设∠ABC=45°，因为AB＝BD，可得∠D=22，5°，设AB＝BD=．然后求出的值即可. 【详解】（1）思路2:  解：由已知AB＝AC， ∵∠A＝30°，CD⊥AB，∴CD＝AC＝x，∠BCD=90°-（180°-30°）=15°， 则AD2＝AC2－CD2＝（2x）2－x2＝3x2，∴AD＝x， ∴BD＝AB－AD＝2x－x＝（2－）x， ∴tan ∠BCD =tan15°＝＝＝2-．      （其它思路同样可以） （2）在图1中，，设∠ABC＝45°，AB＝BD＝， ∴∠D＝∠ABC＝22.5°，∵AB＝，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝1， ∴CD＝1＋， ∴tan∠D=tan22.5°＝＝－1． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理和求三角函数值，解题关键是熟练运用转化思想和数形结合思想，尤其是构造出15°角和22,5°角的方法. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $