第二十七章 一元二次方程（复习课件）数学人教版五四制八年级下册

单元复习课件 第二十七章 一元二次方程 人教版五四制·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解一元二次方程及其有关概念． 3.通过运用一元二次方程解决实际问题，体会数学建模思想． 2.会灵活选用适当的方法解一元二次方程，感受“降次”的基本思想，并能运用根的判别式及根与系数的关系解决问题． 单元学习目标 一般形式 一元二次方程 根的判别式 根与系数的关系 公式法 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 解法 因式分解法 实际应用 传播问题 几何图形问题 平均变化率问题 根的性质 概念 单元知识图谱 考点一、一元二次方程及其相关概念 1．概念：等号两边都是_______，只含有______未知数（一元），并且未知数的最高次数是____（二次）的方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程必须具备三个条件 （1）必须是整式方程； （2）必须只含有1个未知数； （3）所含未知数的最高次数是2． 整式 一个 2 考点串讲 考点一、一元二次方程及其相关概念 2．一般形式：_________________，其中ax2是_____项，a是___________；____是一次项，b是____________；c是_______． 3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的_____就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____． ax2+bx+c=0（a≠0） 二次 二次项系数 bx 一次项系数 常数项 值 根 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 解一元二次方程的核心思想：_____________ 即：把一元二次方程转化为_____________ 一元二次方程的解法 配方法→公式法→因式分解法 降次 一元一次方程 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 1．配方法：通过配成_______________来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （1）将________移至等号右侧． （2）二次项系数化为____ ． （3）两边加一次项系数______的平方． （4）利用_______性质求解． 完全平方形式 常数项 1 一半 平方根 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 2．公式法：利用__________解一元二次方程的解的方法，叫做公式法． 求根公式 由配方法得到求根公式：x= （b2-4ac≥0） ． （1）确定a，b，c（注意符号） ． （2）计算判别式∆=b2-4ac的值． （3）当∆≥0时代入求根公式进行计算求解． 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 3．因式分解法：利用____________，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法． （1）原理依据：若ab=0，则a=____或b=____ ． （2）适用类型： 提公因式法 公式法（平方差、完全平方公式） 因式分解 0 0 考点串讲 考点三、一元二次方程的根的性质 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：∆=________ （1）Δ＞0⇔方程有_____________的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有_____________的实数根； （3）Δ＜0⇔方程_______实数根． 两个不相等 两个相等 没有 考点串讲 考点三、一元二次方程的根的性质 2．根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，那么： ______，______ 注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： 考点串讲 考点四、一元二次方程的实际应用 列方程解决实际问题的一般步骤 1．审：理解题意，明确已知量、未知量． 2．设：设出合适的未知数． 3．列：寻找等量关系列方程出一元二次方程． 4．解：选择恰当方法解方程． 5．验：检验根的实际意义． 6．答：规范作答． 考点串讲 题型一、一元二次方程及其相关概念 例1：下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 解：A、(𝑎≠0)是一元二次方程，故该选项不符合题意 B、不是整式方程，故该选项不符合题意 C、是一元二次方程，故该选项符合题意 D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意 C 题型剖析 题型一、一元二次方程及其相关概念 一元二次方程满足的三个条件 （1）整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2．　　 一元二次方程的二次项系数不为 0 是易考点，同时也是易错点． 题型剖析 题型一、一元二次方程及其相关概念 变式：已知关于 x 的方程是一元二次方程，试求代数式 m2＋2m－4 的值． 　　解：根据题意，得m2－2＝2 且 m－2≠0， 　　解得 m＝±2 且 m≠2， 　　∴ m＝－2． 　　∴ m2＋2m－4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－4． 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 解：（1）， ， ， ， 所以  ． （2）， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴  ． 例2：用适当的方法解下列方程． (1) (2) (3) (4) 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 例2：用适当的方法解下列方程． (1) (2) (3) (4) 解：（3） ∴，，， ∴， ∴， 解得： （4） 因式分解得 移项得， 提取公因式得 ， 即， 解得 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 方程特征 优先解法 示例 可直接因式分解 因式分解法 x2 - 5x + 6=0 二次项系数为 1 且一次项系数为偶数 配方法 x2 + 8x - 9=0 一般形式方程 公式法 3x2 - 6x - 1=0 题型剖析 题型三、一元二次方程根的判别式 例3：下列关于的方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 解：A、因为，有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意 B、因为，没有实数根，故本选项符合题意 C、因为，有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意 D、因为，有两个相等的实数根，故本选项不符合题意 B 题型剖析 题型三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是判断方程的根的情况的重要工具，主要从两个方面考查：　　 一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知系数的取值范围． 题型剖析 题型三、一元二次方程根的判别式 变式：已知关于 x 的方程 ax2＋2x－3＝0 有两个不相等的实数根． （1）求 a 的取值范围； （2）若此方程的一个实数根为 1，求 a 的值及方程的另一个实数根． 解：（1）∵关于 x 的方程 ax2＋2x－3＝0 有两个不相等的实数根， 　　∴Δ＞0，且 a≠0，即 22－4a·(－3)＞0，且 a≠0， 　　∴ a＞且 a≠0． 　　（2）将 x＝1 代入方程 ax2＋2x－3＝0，解得 a＝1． 　　把 a＝1代入，得方程 x2＋2x－3＝0， 　　解方程得 x1＝1，x2＝－3． 　　∴ a 的值为 1，方程的另一个实数根为－3． 题型剖析 题型四、一元二次方程根与系数的关系 例4：已知是方程的两根，求下列代数式的值. (1)； (2)． 解：（1）∵是方程的两根， ∴， ∴； 题型剖析 题型四、一元二次方程根与系数的关系 例4：已知是方程的两根，求下列代数式的值. (1)； (2)． （2）∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 题型剖析 题型四、一元二次方程根与系数的关系 在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用 一是已知方程的两个根，可写出一元二次方程； 二是已知方程的一个根，可求方程的另一个根及方程中的字母参数； 三是不解方程，直接利用两根之积与两根之和求与一元二次方程两个实数根有关的代数式的值；　　 四是已知与方程两个实数根有关的代数式的值，确定方程中的字母参数． 题型剖析 题型四、一元二次方程根与系数的关系 变式：已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 证明：（1）∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 题型剖析 题型四、一元二次方程根与系数的关系 变式：已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． （2）当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 例5：诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴，解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人. ——传播问题 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——传播问题 传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数。 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——传播问题 变式：为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用发宣传单的方式传播，她设计了如下的传播规则：先将宣传单打印好，再邀请n个好友转发宣传单，每个好友收到宣传单之后，又邀请n个互不相同的好友转发宣传单，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了该宣传活动，则n＝______． 解：由题意可列方程，得1＋n＋n2＝111， 解得n1＝－11（不合题意，舍去），n2＝10． 10 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 例6：某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． ——平均变化率问题 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——平均变化率问题 求平均增长率（下降率）问题：一般列方程a(1土x)n=b. 其中a为原始数据，b为增长（下降）后的数据，n为变化次数，x为平均增长率（下降率）. 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——平均变化率问题 变式：某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：   （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，一条生产线的最大产能是1 500万个/天，每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．现该厂要保证每天生产口罩6 500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——平均变化率问题 解：（1）设每天增长的百分率为x． 由题意，得500(1＋x)2＝720，   解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．   答：每天增长的百分率为20％．   （2）设应该增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为(1 500－50m)万个/天． 由题意，得(1＋m)(1 500－50m)＝6 500，   解得m1＝4，m2＝25．   又因为在增加产能的同时又要节省投入，   所以m＝4．   答：应该增加4条生产线．   题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 例7：活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． ——几何图形问题 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     ——几何图形问题 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． ——几何图形问题 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——几何图形问题 在解决有关几何图形的实际问题中，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长的计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解. 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——几何图形问题 变式：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝16 cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2 cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3 cm/s． （1）如果P，Q分别从点B同时出发，那么 几秒后△PBQ的面积等于21 cm2？ （2）如果P，Q分别从点B同时出发， △PBQ的面积能否等于51 cm2？说明理由． 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——几何图形问题 解：由已知，得12÷3＝4（s），16÷2＝8（s）， 所以点P从点B移动到点A需要4 s，然后再从点A返回到点B，仍需要4 s；点Q从点B移动到点C，需要8 s． 设时间为t s，则△PBQ的面积S△PBQ与时间t的关系如下： 当0≤t≤4时，S△PBQ＝·BP·BQ＝·3t·2t＝3t2； 当4＜t≤8时，S△PBQ＝·BP·BQ＝ ·(24－3t)·2t＝－3t2＋24t． 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 ——几何图形问题 （1）如果△PBQ的面积等于21 cm2， 当0≤t≤4时，3t2＝21，t＝± ，所以t＝ ，t＝－ （舍去）； 当4＜t≤8时，－3t2＋24t＝21，所以t＝7，t＝1（舍去）． 所以如果P，Q分别从点B同时出发，那么 s和7 s后 △PBQ的面积都等于21 cm2． （2）如果△PBQ的面积等于51 cm2， 当0≤t≤4时，3t2＝51，t＝± （舍去）； 当4＜t≤8时，－3t2＋24t＝51，整理，得t2－8t＋17＝0． 由b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，可知这个方程无解． 所以如果P，Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积不能等于51 cm2． 题型剖析 题型五、一元二次方程的实际应用 一元二次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型．在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点： 一是整体地、系统地审清题意； 二是准确把握问题中的等量关系，并列方程； 三是正确求解方程，并检验解的合理性． 题型剖析 1．下列方程 ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 其中一定是一元二次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 解：①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； 针对训练 1．下列方程 ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 其中一定是一元二次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 A ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程. 针对训练 2．已知关于x的一元二次方程，当时，该方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上都有可能 D 解： ，且， 当时，，方程没有实数根； 当时，，方程有两个相等实数根； 当时，，方程有两个不相等实数根. 针对训练 3．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（    ） A． B． C． D． C 解：长方形的周长为，其中一边为，则长方形的另一边长为， 根据题意得， 针对训练 4．有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．两根都是正数 B．两根一正一负，正根的绝对值较大 C．两根都是负数 D．两根一正一负，负根的绝对值较大 B 解：由题图可知， ． 设方程的两根为． 由根与系数的关系，得， 两根一正一负，正根的绝对值较大． 针对训练 5．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（    ） A． B． C． D． B 解：方程， 移项，得． 配方，得， 即． 根据题意，得，，，， 代入，得． 配方，得． 针对训练 6．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 分析：根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 解：根据题意得且， 解得． 针对训练 7．把方程化成一般式得，则的值为 ． 3 解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 针对训练 8．已知，是一元二次方程 的两个实数根，则代数式的值为 ． 解： 在方程中，，，， ∴， ． ∴ ． 针对训练 9．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 针对训练 10．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 12 解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 针对训练 11．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 解：（1）， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 针对训练 12．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶． (1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶； (2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 20 解：(2)设每顶头盔的售价为x元，则(𝑥−50)[200+20(80−𝑥)]=8000， 整理得：， 解得：， 答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 针对训练 ✅ 知识构建：一元二次方程 概念→解法→根的性质→实际应用 ✅ 思想方法： 降次转化、模型构建 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $