精品解析：浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列结论一定成立的是（　　） A. x＝6，y＝7 B. C. y﹣x＝1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用设k法依次判断各个选项即可． 【详解】∵， ∴设x＝6k，y＝7k， A、x＝6，y＝7，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、y﹣x＝7k﹣6k＝k，故C不符合题意； D、 ∴ 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．注意并不表示x=6，y=7． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 中奖概率为，只要抽次，就肯定能中奖 B. 概率很小的事件不可能发生 C. 投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率 D. “任意画一个多边形，其外角和都是”为必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键． 【详解】解：A．买彩票中奖的概率为0.001，并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，故A错误； B．概率很小的事件也有可能发生，故B错误； C．投一枚图钉，“针尖朝上”，无法利用列举法求概率，故C错误； D．“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件，故D正确． 故选：D． 【点睛】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案． 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握“黄金分割点中较短线段与较长线段的比值为”是解题的关键．根据黄金分割点的定义，利用黄金比的关系来求解的值． 【详解】解：∵ P是线段的黄金分割点，且， ∴ ， 故选：C． 5. 如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 6. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn＋1有（ ） A. 最小值﹣3 B. 最小值3 C. 最大值﹣3 D. 最大值3 【答案】A 【解析】 【分析】把（-1，-3）代入y=x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论． 【详解】解：把（-1，-3）代入y=x2+mx+n得： -3=1-m+n， ∴n=m-4， ∴mn+1 =m（m-4）+1 =m2-4m+1 =（m-2）2-3， 所以mn+1有最小值-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 7. 无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（　　） A. h（tan50°﹣tan20°） B. h（tan50°+tan20°） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形,通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案. 【详解】如图    由图可知, ,  在中,又AD=h,  在中, ,AD=h,  河流的宽度BC等于. 所以A选项是正确的. 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题. 8. 下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过A，B两点的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 分别把两点代入对应的函数解析式中，看是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、假设点在图象上， 则 上下两式相减得，不成立，故点不可能同时在图象上； B、假设点在图象上， 则， 上下两式整理均可得，故点可能同时在图象上； C、假设点在图象上， 则 上式减下式得，，不成立，故点不可能同时在图象上； D、假设点在图象上， 则 上式减下式得， ， ∴，即， ∵，，故不成立，故点不可能同时在图象上； 故选：B． 10. 如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A. 先变小再变大 B. 先变大再变小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，通过相似比和面积比例，将动态平移问题转化为定值计算是解题关键． 通过相似三角形推导出为定值，再结合梯形面积与相似三角形面积比，可证明的面积在正方形平移过程中保持不变． 【详解】解：根据题意易知：，，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为定值，与正方形在移动过程中的位置无关． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 【答案】四##4 【解析】 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝______.； 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵tanA=， ∴设a=x，则b=2x， 则c=． ∴sinA=． 14. 如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答． 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间． 在直角三角形中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 则的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，在中，为的中点，于点，于点．若，，则四边形的面积为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧和圆心角的关系，角平分线的性质，直角三角形的性质与勾股定理，作辅助线把弧中点的条件转化为角平分线是解题关键． 连接，利用弧中点的性质得到平分，结合角平分线性质得，再通过直角三角形性质和勾股定理求出、的长度，最后将四边形面积拆分为两个全等三角形面积之和计算． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴， ∴， 同理，可得， ∴四边形的面积． 故答案为：． 16. 若抛物线和两坐标轴的交点分别为，当时，总有，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，首先根据抛物线与轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与轴的交点坐标及抛物线的对称性找到点关于对称轴的对称点为，再根据当时，总有，得到关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：如下图所示， 抛物线与轴的交点分别为、， 抛物线的对称轴为直线 则点关于的对称点为， 又当时，总有， ， 解得：． 故答案为： ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 _____ _____ _____ （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位） （2）估算袋中白球的个数为________． （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率． 【答案】表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）3；（3）． 【解析】 【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案; (2)设袋子中白球有x个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程, 【详解】（1）251÷1000=0.251; ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25, ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25; （2）设袋中白球为x个, =0.25, x=3． 答：估计袋中有3个白球． （3）由题意画树状图得: 由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况． 所以P(两次都摸出白球)=． 【点睛】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率, 解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法. 19. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ___________ ； （2）求的长（结果保留π）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、垂径定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，两条直线交于点P，根据图形求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，分别作的垂直平分线，两条直线交于点P， 由图可知：圆心P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴的长为． 20. 如图，已知矩形中，，，点、分别为线段、的中点，连接、交于点． （1）求线段的长度； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， 延长、交于，过作交于，交于， ∵为中点，， ∴为中点，为中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）过作，利用中位线性质求出和的长度，再用勾股定理计算 ． （2）延长并作平行线，通过相似三角形和线段代换，证明，从而推出，进而得到． 【小问1详解】 解：如图： 过作于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 答：． 【小问2详解】 略 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 22. 综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． （1）特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． （2）问题提出：求证：． （3）问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】（1） ①. ②. （2） 证明：由（1）得：， ； （3）彩带长度的最小值为． 【解析】 【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【小问1详解】 由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，设函数，其中a为常数，且． （1）当时，求a的值． （2）若函数的图象同时经过点，求a的值． （3）已知点和在函数的图象上，且，求a的取值范围． 【答案】（1）3或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知，代数求值即可； （2）由函数的图象同时经过点，根据函数图象对称性，可得到对称轴，再由二次函数的表达式可求出a的值； （3）已知点和在函数的图象上，将点分别代入，则可由a表示出来，比较大小即可求出答案． 【小问1详解】 解：当时，代入可得， 化简得：， 解得：； 【小问2详解】 解：函数的图象同时经过点，根据函数图象对称性，可得到对称轴为：直线， 因为，即， 解得； 【小问3详解】 解：点和在函数的图象上， 则， ， ， ， 化简为：， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，一元二次方程以及不等式，理解题意熟记性质是解题的关键． 24. 已知的内接四边形是平行四边形，点在上，连接并延长交于点． （1）求证：是矩形． （2）若，点是的中点，，求的半径． （3）延长交于点，与的延长线交于点，设，，，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：如图， ∵的内接四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是矩形． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形与特殊四边形判定，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握方程思想是解题关键． （1）利用圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等的性质，推出一个内角为，从而证明平行四边形是矩形； （2）由矩形性质得为直径，结合中位线定理得相似三角形，通过相似比和方程求出圆的半径； （3）通过平行线构造两次相似三角形，将比例转化为线段长度，最终推导出的表达式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知：是矩形， ∴，，， ∴是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴的半径是． 答：． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列结论一定成立的是（　　） A. x＝6，y＝7 B. C. y﹣x＝1 D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 中奖概率为，只要抽次，就肯定能中奖 B. 概率很小的事件不可能发生 C. 投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率 D. “任意画一个多边形，其外角和都是”为必然事件 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 4. 已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn＋1有（ ） A. 最小值﹣3 B. 最小值3 C. 最大值﹣3 D. 最大值3 7. 无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（　　） A. h（tan50°﹣tan20°） B. h（tan50°+tan20°） C. D. 8. 下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在平面直角坐标系中，已知点，下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过A，B两点的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A. 先变小再变大 B. 先变大再变小 C. 不变 D. 无法确定 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 13. 在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝______.； 14. 如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是____． 15. 如图，在中，为的中点，于点，于点．若，，则四边形的面积为 ________________ ． 16. 若抛物线和两坐标轴的交点分别为，当时，总有，则的取值范围是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 18. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 _____ _____ _____ （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位） （2）估算袋中白球的个数为________． （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率． 19. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ___________ ； （2）求的长（结果保留π）． 20. 如图，已知矩形中，，，点、分别为线段、的中点，连接、交于点． （1）求线段的长度； （2）求证：． 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 22. 综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． （1）特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． （2）问题提出：求证：． （3）问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 23. 在平面直角坐标系中，设函数，其中a为常数，且． （1）当时，求a的值． （2）若函数的图象同时经过点，求a的值． （3）已知点和在函数的图象上，且，求a的取值范围． 24. 已知的内接四边形是平行四边形，点在上，连接并延长交于点． （1）求证：是矩形． （2）若，点是的中点，，求的半径． （3）延长交于点，与的延长线交于点，设，，，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $