2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册知识点汇总

该高中数学知识清单系统涵盖三角函数、平面向量、解三角形、复数、立体几何、统计与概率等核心模块，以“概念-公式-应用”为逻辑主线，搭建从基础定义到综合问题解决的递进式学习支架。 清单通过“基础知识点+重难点规律+应用技巧”三级呈现知识体系，如三角函数中“诱导公式记忆口诀”“辅助角公式应用步骤”，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特别标注“解三角形多解问题”“立体几何空间角计算”等高频考点，附“扇形面积最值”“分层抽样方差计算”等典型例题，助力学生高效复习，教师可直接用于课堂专题讲解。

第五章必背知识点 三角函数 1、与终边相同角的集合(射线角)：；终边在y轴上的角的集合（直线角）： 终边在x轴上的角的集合（直线角）：；第一象限的角的集合（区间角）： 2、锐角是第一象限角的充分不必要条件，钝角是第二象限角的充分不必要条件。2rad和3rad是第二象限角 3、是第二象限角，则是第一或三象限角，是第一、二、三象限角。 4、弧度制：（1）、rad，1rad；(2)弧长公式：；面积公式：（是角的弧度数）(3)扇形周长c定值，面积有最大值： 扇形面积c定值，周长有最小值： 5、三角函数 （1）第一定义：在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为， (2)第二定义：角的终边上任意一点， (3)三角函数各象限的符号 6、　特殊角的三角函数值 的角度 的弧度 不存在 不存在 7、同角三角函数基本关系式：　变形1： 变形2： 变形3： 应用：已知 8、；变形：　　 应用（齐次式）：已知 9、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正 1） 2） 3) 4) 5) 6） 7） 8） 10广义互补： 广义互余： 11、两角和与差的正弦、余弦、正切 ： ： ： ： ：　 ：　 变形： 应用：拼凑角； 12、辅助角公式： 13、二倍角公式：（1）：　 ：　 ： （2）降次公式：;； （3）升次公式： （4）； (5)半角公式： 14、三角函数：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： ( 函 数 性 质 ) 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时， 当时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 15、； 16、； 17、(1)平移变换：φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 （2）周期变换;ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 （3）振幅A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 重难点规律： 18、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如： （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 19、（1）形如 (或型:先换元，由定义域求得t的范围，作出的图像，最后求得值域； (2)形如型:引入辅助角转化为，再利用(1)求值域。 (3)形如或型，可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定． (4)形如型 利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 第六章、（一）平面向量 1、单位向量：模长为1的向量，的方向任意。向量不能比较大小 2.向量加法的三角形法则：首尾相连，指终点。(＋＝) 减法法则：共起点,指被减数。(-=)平行四边形法则：对角线向量：和 3.向量三角不等式 4.共线的充要条件；推论：1. 推论2. 5.坐标运算：（1）设，则，λ， （2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点） ；向量的模||：； 6.；，； 7.，。 8.， 9.（1） （2） ． 10.； 11. 12. 附加：1.极化恒等式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、奔驰定理：是内的一点，且，则 3、三角形的“重心”(1)中线的交点;（2）A0:OD=2:1。（3）重心的坐标.(4)常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点,①；②若或，，则一定经过三角形的重心;③三角形中线向量式： 4、三角形的“垂心” (1)垂心：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 (2)常见垂心向量式：①;②动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、三角形的“内心” (1)内心：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)常见内心向量式：①;②，，则一定经过三角形的内心。 ( D A C B )6、三角形的“外心” (1)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或外接圆的圆心) 到三角形三个顶点的距离相等 (2)常用外心向量式：① ② 8、等和线:平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (二)解三角形 一、两大定理1、正弦定理： 变形公式：①，，；②，，； ③；④． 三角形面积公式：． 2、余弦定理： 3、内角和定理：中,, (1),,. (2)。 （3） （4）在锐三角形中， （5）在三角形中， 4、射影定理： 5、已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 当为锐角时： 当为钝角时 二、三角形的三条线：中线、角平分线 (1)中线 ①中线长定理：在中，是边上的中线，则 ②向量法： ③极化恒等式： (2)角平分线:如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 3、等面积法：因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式） 3、 几个难点 1、对边对角问题处理方法：①周长、面积最值问题：余弦定理＋基本不等式；②周长、面积范围问题：边化角＋三角恒等变形；③画三角形外接圆数形结合 2、邻边邻角问题处理方法：①周长、面积问题：正弦定理边化角；②数形结合：画两个直角三角形。 第七章、复数 1．虚数单位i 规定为：=-1 2，复数的概念:（1）形如的数叫复数，实部为，虚部为.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 （2）复数的分类：;; 注：虚数不能比较大小，实数可以比较大小 （3）复数的几何意义 (ⅰ)用向量表示复数；(ⅱ)用点表示复数; (iii)=(iiii). 3.复数相等:。 4.共轭复数:,则 ①=② ③ 5.复数代数形式的四则运算 设，，则,= ,可以计算。 7.____________;____________ 第八章 直线 平面 简单的几何体 1、表面积和体积公式：；； ； 2、 长方体的外接球直径；正方体的外接球直径，内切球直径 ，；球的截面问题： 3、棱锥体 4、直观图：①原则：横不变，纵减半，竖不变；②平行相交关系不变，直观图坐标系夹角45°或135°；③面积关系： 5、四大基本事实和三大推论 基本事实①不共线的三点确定一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 ③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；(4)平行于同一条直线的两条直线平行 推论：①直线和直线外一点确定一个平面；②相交直线可以确定一个平面；③平行直线可以确定一个平面 6、线线关系：平行、相交、异面；线面关系：平行、相交、线在面内；面面关系：平行、相交 7、等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 8、平行： (1)两直线平行的判定 平行传递性：①若a∥b,b∥c,则a∥c.②平行四边形性质③中位线⑥比例性质 (2)直线与平面平行的判定及性质 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. (3) 平面与平面平行的判定及性质 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行. 推论：如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面里的两条直线平行，则这两个平面平行. 性质定理：①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ②两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 9、垂直 (1)两直线垂直的判定：①直角或勾股定理②线⊥面 (2)直线与平面垂直的判定 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 性质：如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线 (3)两平面垂直的判定 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 10、空间角 几何法：1、异面直线所成的角(1)范围：0°＜θ≤90°. (2)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 向量法： 2、直线和平面所成的角:范围0°≤θ≤90° ①垂线法(1)作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.(2)解含θ的三角形，求出其大小. ②等体积法③向量法：(是法向量) 3点面距： 4、二面角的平面角：范围0°≤θ≤180°；找(或作)二面角的平面角的主要方法：①定义法；②三垂线法；③射影面积法：；向量法： 第九章 1.分层随机抽样 (1)(2)样本的平均数 2.频率分布直方图 (1)极差=最大值-最小值; 3.(1)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤: 第步:按由小到大排列原始数据.第步:计算i=n×p%.第步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 第一（下）四分位数=25%分位数，第二（中）四分位数=50%分位数，第三（上）四分位数=75%分位数。 (2)频率分布直方图中第p百分位数的计算方法 确定百分位数所在的区间[a,b);第p百分位数为.　 4. 总体集中趋势的估计 (1)频率分布直方图中的数字特征 ①在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. ②在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等. ③在频率分布直方图中,众数可以用最高的小矩形的底边中点的数据近似代替. 6.总体离散程度的估计 (1)方差和标准差:;标准差为. (2)分层随机抽样的方差:设样本容量为n,平均数为,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为,方差分别为,则这个样本的方差为 图1：单峰,直方图形状对称：平均数=中位数=众数；图2：直方图右边“拖尾”：众数<中位数<平均数；图3：直方图左边“拖尾”：平均数<中位数<众数. 7、； 第十章 对立事件是特殊的互斥事件。 1、古典概型概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 2、概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么p(A∪B)=p(A)+p(B). 性质4：如果事件A与B互为对立事件,则P(B)=1−P(A)，P(A)=1−P(B). 性质5(概率的单调性)：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是随机试验中的两个事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). 3. 相互独立性 ①事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率，则事件A与事件B相互独立，且P(AB)=P(A)P(B) ②若A与B独立，则A与 ̅， ̅与B，与也独立 学科网（北京）股份有限公司 事件与集合之间的对应关系 事件 集合 必然事件 全集 不可能事件(Ø) 空集(Ø) 事件B包含于事件A(B⊆A) 集合B包含于集合A(B⊆A) 事件B与事件A相等(B＝A) 集合B与集合A相等(B＝A) 事件B与事件A的并事件(B∪A) 集合B与集合A的并集(B∪A) 事件B与事件A的交事件(B∩A) 集合B与集合A的交集(B∩A) 事件B与事件A互斥(B∩A＝Ø) 集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝Ø) 事件A的对立事件 集合A的补集(∁UA) $