15.3 第2课时 独立事件-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦高中数学“独立事件”核心知识点，涵盖概念、性质及概率计算。通过“3张奖券有放回抽取”情境导入，以“事件A是否影响B”等问题链衔接随机事件概率知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境化与分层训练结合，以奖券抽取情境抽象概念培养数学抽象，例题分判断、计算、综合应用，如用定义法判断事件独立性（逻辑推理），计算三科成绩概率（数学运算）。题型多样，助力学生深化理解，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

第2课时　独立事件 新课程标准解读 核心素养 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象、逻辑推理 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题 数学运算 　　3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 【问题】　（1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？ （2）上述问题中事件A和事件B相互独立吗？ 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　相互独立事件 1.定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么称A，B为相互独立事件. 2.相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，事件A与事件　相互独立　，事件与事件B　相互独立　，事件与事件　相互独立　. 3.相互独立事件的概率公式 （1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）； （2）如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）. 提醒　当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的. 4.相互独立事件与互斥事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B 计算公式 P（AB）＝ P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（　√　） （2）必然事件与任何一个事件相互独立.（　√　） （3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要条件.（　√　） （4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.（　√　） 2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（　　） A.1　　　　　　　　 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85 答案：B 3.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是　　. 解析：由题意，设事件A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝，易知A，B相互独立，所以A与相互独立.所以淋雨的可能性为P（A）＝P（A）P（）＝×＝. 题型一 　相互独立事件的判断 【例1】　（链接教科书第295页例1）判断下列每组事件A，B是否是相互独立事件： （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”记为事件A，“从乙组中选出1名女生”记为事件B； （2）一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.“第一次摸出球的标号小于3”记为事件A，“第二次摸出球的标号小于3”记为事件B； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”记为事件A，“出现3点或6点”记为事件B. 解：（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以事件A与B是相互独立事件. （2）因为样本空间Ω＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 4）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）}， A＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）}，B＝{（1， 2）， （2， 1）， （3， 1）， （3， 2）， （4， 1）， （4， 2）}， 所以P（A）＝P（B）＝＝， P（AB）＝＝，此时P（AB）≠P（A）P（B）， 因此，事件A与B不是相互独立事件. （3）因为P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝. 所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立. 通性通法 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·P（B）； （2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响. 【跟踪训练】 1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（　　） A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 解析：A　对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A. 2.（多选）下列事件中，A，B不是相互独立事件的是（　　） A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D.A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” 解析：BCD　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响，也不相互独立.故选B、C、D. 题型二 相互独立事件同时发生的概率 【例2】　（链接教科书第298页习题2题）某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85.求： （1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 解：记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分别为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85. （1）“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，P（ ）＝P（）P（）P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. （2）“恰有一科成绩未获得第一名”可以用（BC）＋（AC）＋（AB）表示. 由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P（BC）＋P（AC）＋P（AB）＝P（）P（B）·P（C）＋P（A）P（）·P（C）＋P（A）P（B）P（）＝[1－P（A）]·P（B）P（C）＋P（A）·[1－P（B）]·P（C）＋P（A）P（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. 通性通法 求相互独立事件同时发生的概率的关注点 （1）公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）； （2）性质：若A，B相互独立，则与B，A与，与也相互独立； （3）注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生. 【跟踪训练】 　在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立. （1）求恰有两个项目成功的概率； （2）求至少有一个项目成功的概率. 解：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××（1－）＝， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×（1－）×＝， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为（1－）××＝， 所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝. （2）三个项目全部失败的概率为（1－）×（1－）×（1－）＝， 所以至少有一个项目成功的概率为1－＝. 题型三 相互独立事件概率的综合应用 【例3】　为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率； （2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B， 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝××＝. 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误， 其概率为P（B）＝××＋（1－）××＋××＝. 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为，. （2）记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D， 事件C即甲队有2人答对，其余1人答错， 则P（C）＝××＋××＋××＝. 事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错， 则P（D）＝××＋××＋××＝. 由题得事件C与事件D相互独立， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P（CD）＝P（C）P（D）＝×＝. 通性通法 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【跟踪训练】 　（2024·盐城质检）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立. （1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率； （2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率. 解：（1）设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），又打了X个球比赛结束， 则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（）＝P（A1）·P（A2）＋P（）P（）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. （2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A1A3A4）＋P（A2A3A4） ＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）＋P（）P（A2）·P（A3）P（A4） ＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1. 1.对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A）＝（　　） A.0.42　　　　　　　　 B.0.28 C.0.12 D.0.18 解析：D　由相互独立事件的性质知A与也相互独立，所以P（A）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18. 2.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析：B　事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝，事件丁发生的概率P（丁）＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B. 3.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为　0.009　. 解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝（1－0.7）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.3×0.2×0.15＝0.009. 4.（2024·无锡月考）甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为　　. 解析：设事件A为“从甲袋中任取1个球，取得白球”，则事件为“从甲袋中任取1个球，取得红球”；设事件B为“从乙袋中任取1个球，取得白球”，则事件为“从乙袋中任取1个球，取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件与也相 互独立.∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB＋）＝P（AB）＋P（）＝P（A）P（B）＋P（）P（）＝×＋×＝. 1.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（　　） A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16 解析：B　甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率P＝（1－0.7）×0.4＝0.12.故选B. 2.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（　　） A.A与B相互独立　 B.A与C互斥 C.B与C互斥 D.与相互独立 解析：D　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确. 3.在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.故选C. 4.（2024·南京月考）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为＋××＋×＝.故选D. 5.（多选）下列各对事件中，不是相互独立事件的有（　　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 解析：ACD　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，记“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故不独立.故选A、C、D. 6.（多选）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P（AB）＝，P（A）＝，P（B）＝，则（　　） A.事件A与B互为对立 B.事件A与B相互独立 C.P（A＋B）＝ D.P（）＝ 解析：BCD　因为P（AB）＝≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误；因为P（A）P（B）＝×＝，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立，B正确；P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝，C正确；P（）＝1－P（A＋B）＝1－＝，D正确.故选B、C、D. 7.（2024·徐州月考）在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为　　. 解析：“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝. 8.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟都不准时响的概率是　0.02　，两个闹钟至少有一个准时响的概率是　0.98　. 解析：两个闹钟都不准时响的概率为（1－0.80）×（1－0.90）＝0.20×0.10＝0.02，设两个闹钟至少有一个准时响为事件A，则P（A）＝1－（1－0.80）×（1－0.90）＝1－0.20×0.10＝0.98. 9.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为　　. 解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝×＝，记徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝，求得P（B）＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为. 10.在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立. （1）求乙答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 解：（1）记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件. 由题意可知，P（A）＝，P（）＝P（）P（）＝×（1－x）＝，解得x＝， 所以乙答对这道题的概率为P（B）＝. （2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y，由题可知，P（BC）＝P（B）P（C）＝×y＝，解得y＝. 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（）＝P（）P（）P（）＝××（1－）＝. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”， 所以P（M）＝1－＝. 11.专家甲独立地破译一个密码成功的概率为，为提高破译概率需增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 解析：C　设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率为99%，则≤，则xlg ≤lg ，即x≥＝≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家. 12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P（）P（）[1－P（AB）]＝××（1－×）＝，所以灯亮的概率为1－＝.故选C. 13.（2024·湛江月考）在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率是　　. 解析：由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝P1＋P2＝＋＝. 14.为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01， 消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033， 因为0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 15.（2024·苏州质检）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 解：（1）甲连胜四场的概率为. （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为； 乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $