15.2 第2课时 频率与概率-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦频率与概率的关系，以投掷硬币实例结合历史试验数据导入，通过古典概型对称性引出频率稳定性，衔接随机事件概念，为用频率估计概率搭建认知支架。 资料特色在于实例丰富，从硬币试验到乒乓球质检、鱼苗孵化等，结合辨析与应用题，培养数学建模与运算能力，互动环节促进数学思维，助学生理解概率意义，教师教学层次清晰，提升课堂效率。

第2课时　频率与概率 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，理解概率的性质 数学建模 2.结合实例，会用频率估计概率 数学建模、数学运算 　　投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为. 【问题】　你认为频率与概率之间有什么关系？ 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　频率的稳定性 　一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P（A）的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 知识点二　频率与概率的关系 　在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m次，则事件A出现的频数是　m　，称事件A出现的次数与试验总次数的比例　　为事件A出现的频率，当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P（A）≈　　. 知识点三　概率的意义 　对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性. 【想一想】 　频率与概率之间有什么关系？ 提示：（1）频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小； （2）概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小； （3）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值. 1.某地气象局预报：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（　　） A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水 B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水 C.明天本地降水的可能性是80% D.以上说法均不正确 解析：C　选项A、B显然不正确，明天本地降水的概率为80%而不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C. 2.下列说法正确的是　①④⑤　.（填序号） ①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P（A）＝； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 解析：根据频率与概率的定义，可知①正确；频率不是概率，②中求出的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 3.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为　7 840　. 解析：8 000×（1－2%）＝7 840（件）. 题型一 　频率与概率的关系 【例1】　（1）（多选）下列关于概率和频率的叙述正确的有（　BD　） A.随机事件的频率就是概率 B.随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值 C.频率是随机的，与试验次数无关 D.概率是客观存在的，与试验次数无关 （2）某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（　B　） A.正面朝上的概率为0.7 B.正面朝上的频率为0.7 C.正面朝上的概率为7 D.正面朝上的概率接近于0.7 解析：（1）对于A，随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故A错误；对于B，随机事件的频率不是一个固定的数值，而概率是一个确定的数值，故B正确；对于C，频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，故C错误；对于D，概率是确定的值，与试验次数无关，故D正确.故选B、D. （2）正面朝上的频率是＝0.7，正面朝上的概率是0.5，故选B. 通性通法 对频率与概率的理解 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率； （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定； （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. 【跟踪训练】 1.试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的.某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有2道题的选择结果正确”.这句话（　　） A.正确　　　　　　　　 B.错误 C.有一定道理 D.无法解释 解析：B　从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确.因此该同学的说法是错误的，故选B. 2.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为　②　（填序号）. ①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标； ②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%. 解析：能代表教练的观点的为该射击运动员射一次，中靶的机会是90%. 题型二 利用频率估计概率 【例2】　（链接教科书第284页例5）下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表： 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 （1）计算各组优等品频率，填入上表； （2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率. 解：（1）根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951. （2）由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95. 通性通法 1.用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值. 2.用频率估计概率的步骤 （1）确定随机事件A的频数nA； （2）由fn（A）＝计算频率fn（A）（n为试验的总次数）； （3）由频率fn（A）估计概率P（A）. 【跟踪训练】 　假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果如图所示： （1）估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率； （2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率. 解：（1）甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为. （2）根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145（个），其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品估计是甲品牌的概率为. 题型三 概率的应用 【例3】　某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10 000个鱼卵能孵化出8 520尾鱼苗. （1）求这种鱼卵孵化的频率； （2）估计30 000个这种鱼卵能孵化出多少尾鱼苗？ （3）若要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？ 解：（1）由题意可知，这种鱼卵孵化的频率为＝0.852. （2）由（1）可知，这种鱼卵孵化的频率为0.852，所以估计30 000个这种鱼卵能孵化出0.852×30 000＝25 560尾鱼苗. （3）设要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备x个鱼卵. 由0.852x＝5 000，可得x＝≈5 869. 故要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备5 869个鱼卵. 通性通法 　　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情做出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率. 【跟踪训练】 　（2024·徐州月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4. （1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率； （2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由. 解：（1）记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况， 其中x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为＝. （2）不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况， 故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平. 1.在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P（A）与的关系是（　　） A.P（A）≈ B.P（A）＜ C.P（A）＞ D.P（A）＝ 解析：A　在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于P（A），所以可以用近似的代替P（A），即P（A）≈，故选A. 2.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设“反面向上”为事件A，则事件A出现的频数为　52　，事件A出现的频率为　0.52　. 解析：频数为52，频率为＝0.52. 3.一个盒子中有若干白色棋子，为了估计其中棋子的数目，小明将100颗黑色的棋子放入其中，充分搅拌后随机取出了20颗，数得其中有5颗黑色的棋子，则估计白色棋子的数目为　300　. 解析：设白色棋子的数目为 n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色棋子的数目大约有300颗. 1.下列说法中正确的有（　　） A.任何事件发生的概率总是在（0，1）之间 B.概率是随机的，在试验前不能确定 C.频率是客观存在的，与试验次数无关 D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 解析：D　概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故B、C错误；D显然正确. 2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的（　　） A.概率为　 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近0.8 解析：B　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝. 3.2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，今年的宣传主题是“关注普遍的眼健康”.调查数据显示，江苏中小学生近视率超50%.若某学校的高一在校学生近视率约为37.4%，某眼镜厂家要到该中学给高一学生配镜，若已知该校高一学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为（　　） A.374副 B.224.4副 C.不少于225副 D.不多于225副 解析：C　根据概率相关知识，该校近视学生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副.故选C. 4.（2024·徐州月考）随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表： 满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C. 5.（多选）给出下列4个说法，其中错误的是（　　） A.现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品 B.做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是 C.抛掷一颗骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是 D.随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率 解析：ABD　次品率为0.05，即出现次品的概率（可能性）是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故A不正确；正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故B不正确；C显然正确；由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故D不正确.故选A、B、D. 6.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6，10）内的频数为　64　，估计数据落在[2，10）内的概率约为　0.4　. 解析：数据落在[6，10）内的频数为200×0.08×4＝64，落在[2，10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4. 7.某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为　74%　. 解析：该同学这两场投篮的命中率为＝74%. 8.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下： 抽查件数 50 100 200 300 500 合格品件数 47 92 192 285 478 根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查　1 000　件产品. 解析：抽查的产品总件数为1 150，合格品件数为1 094，合格率为≈0.95，950÷0.95＝1 000，故大约需抽查1 000件产品. 9.一地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892 （1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）； （2）这一地区男婴出生的概率约为多少？ 解：（1）计算得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3. （2）因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男婴出生的概率约为0.517 3. 10.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A.抛一枚硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 解析：D　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确.故选D. 11.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种： A.猜“是奇数”或“是偶数”； B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”； C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题： （1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ （2）为了保证游戏的公平性，你认为应选择哪种猜数方案？为什么？ （3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性. 解：（1）如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为＝0.5； 方案B中“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，“是4的整数倍数”的概率为＝0.2； 方案C中“是大于4的数”的概率为＝0.6，“不是大于4的数”的概率为＝0.4. 乙为了尽可能获胜，应选方案B，猜“不是4的整数倍数”. （2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的. （3）可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性. 12.（2024·苏州月考）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（1）摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请　15　位好友参与“好友助力”活动. 解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动. 13.（2024·扬州质检）某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，该商店统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下： 到会人 数/人 （8 000， 9 000] （9 000， 10 000] （10 000， 11 000] （11 000， 12 000] （12 000， 13 000] 需求 量/箱 400 450 500 550 600 天数 5 6 8 7 4 以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率. （1）估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率； （2）设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率. 解：（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为. （2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间（8 000，9 000]内，则Y＝400×100×（1－0.6）＋150×100×（0.3－0.6）＝11 500（元）； 若到会人数位于区间（9 000，10 000]内，则Y＝450×100×（1－0.6）＋100×100×（0.3－0.6）＝15 000（元）； 若到会人数位于区间（10 000，11 000]内，则Y＝500×100×（1－0.6）＋50×100×（0.3－0.6）＝18 500（元）； 若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×（1－0.6）＝22 000（元）， 即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000， Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为＝，所以估计Y不超过15 000元的概率为. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $