几何作图—期末复习专项训练2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末复习

态度决定基础 思维决定高度 ( 初二 数学期末复习 1 （几何作图 ） ) 1．如图，△中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 ． 【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是线段的垂直平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【解答】解：，， ． 由作法可知，是的平分线， ， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 2．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【分析】如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【解答】解：如图，过点作于点，于点， 直尺的宽度相等， ， ，， 平分，即在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故选：． 【点评】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．如图，在已知的△中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据作图可知垂直平分线段，则，然后利用等边对等角和三角形外角的性质求出即可解决问题． 【解答】解：由作图可知，垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图． 其中射线不一定是的平分线的为（　　） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， △△， 同理可得△△，△△， ， 射线为的平分线； ③射线不是的平分线： ④：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键． 5．小华在探究用尺规作与相等的时，按如下方法作图． 作法：以为圆心，以任意长为半径作弧，交于点； 以为圆心，以任意长为半径作弧，交于点； ①作射线，在射线上截取，使得； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线； ④以点为圆心，以的长为半径作弧 其中①②③④的顺序被打乱了，则正确顺序是（　　） A．①④②③ B．②①④③ C．①③②④ D．④②①③ 【分析】根据作一个角等于已知角的步骤排序即可． 【解答】解：正确步骤为： ①作射线，在射线上截取，使得； ④以点为圆心，以的长为半径作弧， ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线； 故选：． 【点评】本题考查了尺规作图，掌握以上知识是解答本题的关键． 6．下面是“作的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； （3）作射线，则射线为的平分线． 上述方法通过判定△△得到，其中判定△△的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【分析】根据判定三角形全等可得结论． 【解答】解：在△和△中，， △△， ， 平分． 故选：． 【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 7．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到，再利用基本作图得到平分，则，利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用互余计算出，最后根据对顶角相等得到的度数． 【解答】解：如图， 四边形为矩形， ， ， 由作法得平分， ， 由作法得垂直平分， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 8．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据作图方法可得点在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【解答】解：根据作图方法可得点在第三象限角平分线上，点的坐标为， 点到轴、轴的距离相等；点的坐标为， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出点位置是解题关键． 9．如图，已知，，点在 上，四边形是矩形． （1）请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（保留画图痕迹）； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分，运用三线合一即可画出的平分线； （2）根据矩形中，，，可得，即可得出． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）在矩形中，，， ， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的性质以及矩形的性质的运用，解题时注意：矩形的对角线相等且互相平分． 10．如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点； （2）在第（1）题的条件下，连接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）作的平分线交直线于点，根据角平分线的性质可判断点满足条件； （2）利用三角形面积公式可得到，即，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【解答】解：（1）如图，点为所作； （2）为直角三角形． 理由如下：，点到两边的距离相等，，即， ，，， ， 为直角三角形． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理． 11．如图，，． （1）用圆规和没有刻度的直尺作的平分线；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为射线上一点，若△为等腰三角形，则的度数为 　或或　． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）分三种情形：当时，当时，当时，分别求解． 【解答】解：（1）如图，射线即为所求； （2），， ， 平分， ， 当时，点在线段上，此时． 当时，四边形是等腰梯形，，． 当时，， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查作图基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点作直线的垂线．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】方法一：利用基本作图，过点作直线的垂线； 方法二：在直线上取异于点的点，过点作直线的垂线，在垂线上任意取点，然后以、为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点，则直线直线． 【解答】解：如图， 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂线． 13．如图，在中，，射线交于点，． （1）作图：只用圆规在射线上作出点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下连接，若，，求长． 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交射线于点； （2）连接，如图，利用勾股定理计算出，再证明得到，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图，点为所作； （2）连接，如图， ， ，， ， ， 而， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为1． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 14．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如、、都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）①画△的角平分线； ②画△的中线； （2）画△的角平分线； （3）画到直线，，的距离相等的格点，并写出点坐标 　和　． 【分析】（1）①利用网格特点作的平分线得到； ②利用网格特点确定的中点，从而得到中线； （2）以为顶点作腰为5的等腰三角形，通过作出底边上的中线得到角平分线； （3）和的交点为点或射线与的邻补角的平分线的交点为点． 【解答】解：（1）①如图，为所求； ②如图，为所求； （2）如图，为所求； （3）如图，到直线，，的距离相等的格点有两个，是和，其坐标分别是 和． 故答案为和． 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 15．如图，，，为水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 【分析】（1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，点即为所求． （2）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）如图，连接，，， ，， ． 由作图可得：，， 又， △△． ，． ． ， 若，，则． 【点评】本题考查作图——基本作图，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图． 16．如图，在中，． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使点到边的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 【分析】（1）作的平分线交于点，过点作于点，即可； （2）由（1）可得，证明，可得，根据勾股定理可得的长，可得，，，再利用勾股定理可得的长，进而可得的长． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）由（1）可知：， 在和中， ， ， ， 在中，．，，根据勾股定理，得， ，， ，在中，根据勾股定理，得 ，，解得． ． 【点评】本题考查了作图复杂作图，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 17．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做都是格点．（请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）画的高，并求点坐标； （2）在上找点，使． 【分析】（1）由于，则利用网格特点找出的中点得到，然后利用线段中点坐标公式得到点坐标； （2）把绕点顺时针旋转，点的对应点为，然后连接交于点． 【解答】解：（1）如图，点为所作，，，，； （2）如图，点为所作． 【点评】本题考查了作图复杂作图：熟练掌握等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 18．如图，在△中，，，垂足为． （1）若△的面积，，求的值； （2）点在边上，与相交于点，且．请你利用无刻度直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，延长至点，连接，使．若，求证：． 【分析】（1）根据，求解即可； （2）作平分，交于点，交于点； （3）首先证明，再证明，可得结论． 【解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：图形如图所示： （3）证明：如图，过点作于点． 平分， ， 在△和△中，，△△，，， 在△和△中， ，△△，，， ，，，， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 19．（1）如图①，为的中点，直线、分别经过点、，且，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接．求证，直线垂直平分； （2）如图②，平面内直线，且相邻两直线间距离相等，点、分别在直线、上，连接．用圆规和无刻度的直尺在直线上求作一点，使线段最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【分析】（1）首先证明，推出，再证明直线，利用等腰三角形的三线合一，可知结论． （2）以为圆心，为半径作弧交直线于点，连接，延长交直线于点，线段即为所求． 【解答】（1）证明：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线平分， 直线垂直平分线段． （2）解：如图，线段即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图，垂线段最短，平行线的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是证明，学会利用垂线段最短，解决最短问题． 20．阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图1，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，则． （1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“”的依据是　等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合　． （2）如图2，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． （3）如图3，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到边的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得依据； （2）分别证明点和点在线段的垂直平分线上，即可说明理由； （3）连接，相交于点，分别延长和相交于点，两个交点所在直线即为所求． 【解答】解：（1）作图如下： 得出“”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； （2）， 点在线段的垂直平分线上， ，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是对角线的垂直平分线； （3）如图，直线即为所求． 【点评】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法． 21．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且与关于直线对称．（左图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）请求出（1）中作出的直线的函数表达式． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于，连接，，与关于直线对称． （2）构建方程求出，两点坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）如图与关于直线对称． （2）作轴于，于． 垂直平分线段， ，，设，， ， ，， 则有：，， 解得，， ，，， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为． 【点评】本题考查作图复杂作图，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22．（1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点，使沿直线折叠，点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点，使沿过点的某一条直线折叠，点落在边上的处，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）作的平分线，与的交点即为点． （2）根据垂线的作图方法，过点作的垂线，再根据作一个角等于已知角的作图方法，作，此时，延长与交于点，作的平分线，与的交点即为点． 【解答】解：（1）如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图、翻折变换（折叠问题），熟练掌握尺规作图的基本作图方法以及翻折的性质是解答本题的关键． 23．（1）如图1，在中，，为边上一点，将沿着折叠，使点落在边上，请用直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点，重合，折痕交于点，请用直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【分析】（1）利用尺规作出的平分线即可； （2）利用尺规作出的垂直平分线即可； （3）根据垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理列出方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）连接，设，， 是的垂直平分线， ， ， 根据勾股定理，得 ，解得，． 【点评】本题考查了作图复杂作图，翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 24．在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线上作出一点，使得； （2）如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得． 【解答】解：（1）如图①：点即为所求； （2）如图②：点、即为所求． 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 25．过点用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线，交两边于、，使得为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】方法一：作平分，作交于点，交于点，即为所求； 方法二：在上任意取一点，作，过点作直线交于点，作，交于点，交于点，即为所求． 【解答】解：如图，即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．已知，分别是的边，上的点． （1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：． （2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【分析】（1）如果1中，过点作于点，于点，证明，推出； （2）如图2中，过点作于点，作的角平分线交于点，连接，过点作，交于点． 【解答】 （1）证明：如果1中，过点作于点，于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：图形如图2所示：作，平分，类似（1）作，可得 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：请用直尺和圆规在直线的下方、直线的上方找到一条线段，使得连接后．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，且，求的长． 【分析】（1）的右侧作等边，连接即可； （2）证明，利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求； （2）是等边三角形，且， ，， ， ， 在中，，， ， ， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型． 28．作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹，并简要说明画法，不要求证明）． 已知及其内部一点． （1）如图1，若点在的角平分线上，请你在图1中过点作直线，分别交、于点、，使△为等腰三角形，且是底边； （2）若点不在的角平分线上（如图，请你在图2中过点作直线，分别交、于点、，使△为等腰三角形，且是底边． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，过点作的垂线与、相交即可得解； （2）根据（1）的方法，先作的平分线，然后在过点作角平分线的垂线分别与、相交即可得解． 【解答】解：（1）如图1，画法：过点作的垂线，分别交、于点、， 则△是以为底边的等腰三角形； （2）如图2，画法：作的角平分线，过点作角平分线的垂线，分别交角的两边、于点、， 则△是以为底边的等腰三角形． 【点评】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，主要有角平分线的作法，过一点作已知直线的垂线的作法，是基本作图，需熟练掌握． 29．（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．求证：． （2）如图2，在中，，为的中点． ①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果，那么是的中点吗？为什么？ 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求． ②结论：是的中点．想办法证明，，可得，； 【解答】（1）证明：如图1中， 垂直平分线段， ， ， ， ． （2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求． 理由：垂直平分， ，， ， ， 点即为所求． ②结论：是的中点． 理由：设交于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 是的中点． 【点评】本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 30．（1）如图1，在中，，，，为边上一点，．求证：平分． （2）如图2，矩形中，，，点是边上一点，，连接，请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理先求出，设，则，根据勾股定理可得，所以，解得，然后证明，可得，进而可以解决问题； （2）①作，交于点，②作，交于点．根据直角三角形两个锐角互余即可证明． 【解答】（1）证明：如图1，过点作于点， 在中，， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 设，则， ， ， 解得， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：如图2，点即为所求． 作法：①作，交于点， ②作，交于点． 理由：，， ． 【点评】本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 31．如图，矩形中，为的中点． （1）在边上求作一点，使得； （2）在（1）中，若，，求的长． 【分析】（1）过点作交于点即可； （2）根据矩形的性质和勾股定理可得，结合（1）得，解得，再根据勾股定理即可求出的长． 【解答】解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求； 延长和交于点， 四边形是矩形， ， ，， 为的中点． ， 在和中， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ，， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， ， ． 的长． 【点评】本题考查了作图复杂作图，矩形的性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到点． 32．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上． （1）在线段上找一点，使得，用直尺和圆规找出点． （2）若的坐标，点的坐标，求点的坐标． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，连接，可得，根据勾股定理可得即可； （2）根据的坐标，点的坐标，可得，，所以，根据勾股定理可得，进而可得的长，得点的坐标． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）的坐标，点的坐标， ，， ， ， ， 解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查了作图复杂作图，坐标与图形性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 33．请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图①中作出一点，使得； （2）在图②中作出一点，使得． 【分析】（1）作线段、的垂直平分线，交点为，连接、即可； （2）作，的外角的平分线交点为，即为所求； 【解答】解：（1）如图即为所求； （2）如图即为所求； 【点评】本题考查复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 四．三角形综合题（共2小题） 34．在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： 已知：△为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是 ； ．．．． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：　　 （填“正确”或“错误” ． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：　　 ； （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【分析】（1）连接、，根据作图痕迹可知，，，结合公共边，根据“”证明△△，得出，即可得解； （2）①由作法可得，，结合公共边，，证明△△，得到，从而得证；②由作法可得，，，从而得出，证明△△，得出，证明△△，得出，最后证明△△，得出，从而得证；③根据角平分线的判定定理即可得解； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线． 【解答】（1）解：如图1，连接、， 根据作图痕迹可知，，， ， △△， ， 平分； 故选：； （2）①证明：由作法可得，， ， △△， ， 平分； ②由作法可得，，， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ， 即平分； 故答案为：正确； ③点到的距离等于直尺的宽度，点到的距离等于直尺的宽度， 由条件可知点到的距离等于点到的距离， 平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上； 故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线； 由条件可知，垂直平分， 到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， 此时的垂直平分线过点， 根据等腰三角形三线合一可知，平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 35．在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题． 已知，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线，则射线即为的平分线． （1）图1体现了上述作法，射线是的平分线的依据是 ． ． ． ． ． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角的平分线的方法． 两位同学给出了两种方法． 方法1：用三角尺按下面的方法作角的平分线．如图2，在的边，上分别取，，使，再过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，作射线，则平分． 请你帮这位同学证明平分． 方法2：用圆规和直尺按下面的方法作角的平分线．如图3，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，连接，，与交于点，作射线，则平分．你认为这种作角的平分线的方法正确吗？若正确，请给出证明过程；若错误，请说明理由． 【分析】（1）根据证明△与△全等解答即可； （2）方法1：利用证明△与△全等解答即可； 方法2：利用证明△与△，进而利用证明△与△全等，进而利用证明△与△全等解答即可． 【解答】解：（1）由作图可知，，， 在△与△中， ， △△， 故答案为：； （2）方法1：由作图可知，，，， 在△与△中， ， △△， ， 即平分； 方法2：由作图可知，，， 在△与△中， ， △△， ， ，， ， 在△与△中， ， △△， ， 在△与△中， ， △△． 【点评】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 36．【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由． 【解决问题】 （2）如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是　、、，　． （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是　　． 【分析】（1）证明，即可求解； （2）如图，以点为圆心长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，，，点、即为所求； （3）分、、，三种情况求解即可； （4）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【解答】解：（1）是等腰直角三角形， 证明：在和中， ，， 在中，， ． ． ， ． 是等腰直角三角形； （2）如图，以点为圆心长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，，． 点、即为所求； （3）如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，，， ，， ，， ，且，， ，， ， 点坐标为 如图，当，时，过点作，过点作 ，， ，， ，且， ，， 点坐标为 如图，当，时，过点作于点，过点作于点， ，， ，且，， ，， ， ，， 点坐标， 综上所述：点坐标为：、、， 故答案为：、、， （4）如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中（4），将的值转化点到点和点的最小值，是本题的新颖点． 37．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形中， ，若对角线与互为双关联线段，则　30　 ． 问题2：如图2，在等边△中，点，分别在边，的延长线上，且，连接，．求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点． △是等边三角形， ， ，， （依据）． ， △△． ，． 任务： （1）问题1中的　　 ，问题2中的依据是 　　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点在线段上，请在图3中作线段的双关联线段（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【分析】（1）设，的交点为，利用矩形的性质及已知可证明△是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【解答】（1）解：设，的交点为，如图， 四边形是矩形， ，， 对角线与互为双关联线段， ， △是等边三角形， ， ， 故答案为：30； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； （2）解：是△的外角， ， 是△的外角，， ，， ， 即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是， ， 线段与线段是双关联线段； （3）解：答案不唯一， 如图，线段即为所求． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 六．作图—应用与设计作图（共5小题） 38．综合与实践 （1）某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． ①经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 1．在上任取一点，作． 2．在射线上作．点即为所求． 1．在和上分别取点，，使得． 2．作的垂直平分线． 3．作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ， 　同位角相等，两直线平行　 　　 ． ，（已作） 　　 ， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） 　　 ， 同理可得， ． 又（已作），， △△， 　　 ． ②请你用不同于上面的尺规作图方法在图1中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． （2）在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图2，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成 　　 个物体的像． 【分析】（1）①方法一：利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；方法二：利用全等三角形的判定和性质证明即可； ②利用构造全等三角形解决问题即可； （2）利用轴对称变换的性质作出图形即可． 【解答】解：（1）①方法一：证明：，（已作） ，（同位角相等，两直线平行） ． （已作）， ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行，，； 方法二：证明：连接，． 垂直平分（已作）， ， 同理可得， ． 又（已作），， △△， ． 故答案为：，； ②如图1中，射线即为所求． 理由：由作图可知，， ， △△， ； （2）如图2中，一共形成5个物体的像． 故答案为：5． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 39．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点，所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）直接写出　45　； （2）画的高； （3）在上找一点，使； （4）在边上找一点，使． 【分析】（1）利用方格纸直接得出度数； （2）利用三角形的高的定义画出图形即可； （3）作两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点； （4）利用方格纸找到点，使，点即为所求． 【解答】解：（1）； 故答案为：45； （2）如图1，线段即为所求； （3）如图1，点即为所求； （4）如图2，上的点，使，点即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 40．如图，平面内直线，且相邻两直线间距离相等，钝角三角形的三个顶点分别在、、上，与相交于点，水平底边与直线垂直，已知，请按要求完成以下作图，不写作法，但保留作图痕迹． （1）用不含刻度的直尺与圆规作出的中位线，使得（两种工具分别只限使用一次）； （2）在（1）的条件下仅用不含刻度的直尺作出四边形，使得其面积与的面积相等． 【分析】（1）以为圆心，长为半径作弧与交于点，连接，则即为所求． （2）延长与相交于点，连接、，则四边形即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，四边形即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中位线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 41．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边BC上找一点E，使得BE＝EC； （2）在图②中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不与点C重合）； （3）在图③中以BC为边画一个等腰三角形BCF． 【分析】（1）取格点G，H，线段BC与GH的交点，即为线段BC的中点点E的位置； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据CB＝CF找出点F的位置． 【解答】解：（1）取格点G，H，连接G，H，线段BC与GH的交点，即为线段BC的中点点E的位置，如图所示： 理由：在△HCG和△BGC中， ， ∴△HCG≌△BGC（SAS）， ∴∠HGC＝∠BCG， ∴CE＝GE， ∵CG∥BH， ∴∠BCG＝∠HBC， ∴∠HBC＝∠HGC， ∵∠HBC+∠EBG＝∠HGC+∠EGB＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴GE＝BE， ∴BE＝CE； （2）如图所示，△ABD即为所求； 理由：∵△ABC与△ABD，两个三角形的底边都是AB，高都为4， ∴S△ABD＝S△ABC； （3）如图所示：点B与点F关于点C所在的水平格线轴对称，此时BC＝CF，△BCF即为所求． 【点评】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 42．图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点、． （1）在图1中，所画的的三边长分别是　5　，　　，　　；的面积为 　　． （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并计算的面积． 【分析】（1）根据勾股定理，分割法求面积计算即可； （2）根据勾股定理，分割法求面积计算即可． 【解答】解：（1）根据题意，得，，， 的面积， 故答案为：5，，，； （2）如图所示， 的面积． 【点评】本题考查了网格与勾股定理，熟练掌握勾股定理，分割法求面积是解题的关键． 43．如图，每一个小正方形的边长为． （1）画出格点△关于直线的对称的△； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使最大； （4）请直接写出△的面积　　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小． （3）延长，交直线于点，此时最大． （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，点即为所求． （3）如图，点即为所求． （4）△的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 44．在直角三角形中，，是边上的中点，连接． （1）只用圆规在图1中作出点关于直线的对称点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连接、、，线段交于点．试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）连接，证明，可得结论； （3）延长交的延长线于点．利用面积法求出，再利用勾股定理求出． 【解答】解：（1）以为圆心，长为半径画弧；以为圆心，长为半径画弧交于点； （2）是直角三角形． 理由：连接， ，关于对称， ， ， ， 是直角三角形； （3）延长交的延长线于点． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查作图轴对称变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 45．在中，为边上一点． （1）如图①，在中，，将沿着折叠，点落在边上．请用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，将沿着过点的直线折叠，点落在边上的处． ①若，垂足为，请用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，，，求的取值范围． 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）①过点作，交的延长线于，作的角平分线即可； ②在如图②中，求出的最小值，在如图③当与重合时，作于，设，求出可得的最大值． 【解答】解：（1）点如图所示．（作的角平分线即可） （2）①点如图所示．（过点作，交的延长线于，作的角平分线即可） ②如图②中，设，则，，， ， ， ， 如图③中，当与重合时，作于，设， 在中，易知，，，， ， ，综上可知，的最大值为，最小值为， ， 故答案为． 【点评】本题考查三角形综合题、基本作图、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置确定最值问题，属于中考压轴题． 46．在中，，且平分． （1）如图1，现有点在线段上，连接、，将沿着所在直线折叠，点的对应点为点．若点恰好与点重合，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，点在边上，作直线，现将点沿着折叠，对应点记作点． ①当点落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点的位置； ②连接，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，当点落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 　　． 【分析】（1）由翻折得，推出，由此得到为等边三角形； （2）①以点为圆心，为半径画弧，交于点；②连接，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，，求出，进而得到是直角三角形； （3）当点落在边上时，连接，证得，求出；当点落在边上时，如图，则，勾股定理求出，，再根据勾股定理求出，即可得到当点落在内（不含的边上）时，长的取值范围． 【解答】解：（1）为等边三角形，理由： 由翻折得， ， ， 为等边三角形； （2）①如图，点即为所求； ②是直角三角形，理由： 连接，如图， ，且平分， ， ， ， ， ，即， 是直角三角形； （3）当点落在边上时，连接， 垂直平分， ， ， 由（2）可知，无论点落在哪里，始终有， ， ， ， ， ； 当点落在边上时，如图，则， ，且平分， ，， ， ， ， ， 当点落在内（不含的边上）时，长的取值范围为． 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形综合，等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键， 47．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． （1）若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是 　，　； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； （2）如图2，①当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）①根据题意得，，根据三角函数即可求解． ②当时，交于点，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，按照垂直平分线的画法即可． （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可． ②当存在点落在边上，，即，，，可得，点可与点重合，不与点重合，即可求解． 【解答】解：（1）①，， ， 当点落在上时，， 可得， ， ，即， ， 与的关系是，． 故答案为：，． ②当时，如图，交于点， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故处于的垂直平分线上， 点的位置如图所示． （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况， 当时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时， ， ， ， ， 解得：（不符合题意）， 当时， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上：或． 故或． ②当存在点落在边上，， 即，， ， ，点可与点重合，不与点重合， ， ， 解得：， 综上所述：． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/22 10:25:29；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 态度决定基础 思维决定高度 ( 初二 数学期末复习 1 （几何作图 ） ) 1．如图，△中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算　　 ． 2．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 第1题 第2题 第3题 3．如图，在已知的△中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图． 其中射线不一定是的平分线的为（　　） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 5．小华在探究用尺规作与相等的时，按如下方法作图． 作法：以为圆心，以任意长为半径作弧，交于点； 以为圆心，以任意长为半径作弧，交于点； ①作射线，在射线上截取，使得； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线； ④以点为圆心，以的长为半径作弧 其中①②③④的顺序被打乱了，则正确顺序是（　　） A．①④②③ B．②①④③ C．①③②④ D．④②①③ 6．下面是“作的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； （3）作射线，则射线为的平分线． 上述方法通过判定△△得到，其中判定△△的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（　　） A． B． C． D． 第6题 第7题 第8题 8．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知，，点在 上，四边形是矩形． （1）请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（保留画图痕迹）； （2）若，，求的长． 10．如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点； （2）在第（1）题的条件下，连接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 11．如图，，． （1）用圆规和没有刻度的直尺作的平分线；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为射线上一点，若△为等腰三角形，则的度数为 　　． 12．请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点作直线的垂线．（不写作法，保留作图痕迹） 13．如图，在中，，射线交于点，． （1）作图：只用圆规在射线上作出点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下连接，若，，求长． 14．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如、、都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）①画△的角平分线；②画△的中线； （2）画△的角平分线； （3）画到直线，，的距离相等的格点，并写出点坐标 　　． 15．如图，，，为水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 16．如图，在中，． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使点到边的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 17．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做都是格点．（请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）画的高，并求点坐标； （2）在上找点，使． 18．如图，在△中，，，垂足为． （1）若△的面积，，求的值； （2）点在边上，与相交于点，且．请你利用无刻度直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，延长至点，连接，使．若，求证：． 19．（1）如图①，为的中点，直线、分别经过点、，且，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接．求证，直线垂直平分； （2）如图②，平面内直线，且相邻两直线间距离相等，点、分别在直线、上，连接．用圆规和无刻度的直尺在直线上求作一点，使线段最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 20．阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图1，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，则． （1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“”的依据是　　． （2）如图2，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． （3）如图3，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且与关于直线对称．（左图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）请求出（1）中作出的直线的函数表达式． 22．（1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点，使沿直线折叠，点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点，使沿过点的某一条直线折叠，点落在边上的处，且．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（1）如图1，在中，，为边上一点，将沿着折叠，使点落在边上，请用直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点，重合，折痕交于点，请用直尺和圆规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 24．在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线上作出一点，使得； （2）如图②，在直线上作出所有的点，使得． 25．过点用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线，交两边于、，使得为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 26．已知，分别是的边，上的点． （1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：． （2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 27．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：请用直尺和圆规在直线的下方、直线的上方找到一条线段，使得连接后．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，且，求的长． 28．作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹，并简要说明画法，不要求证明）． 已知及其内部一点． （1）如图1，若点在的角平分线上，请你在图1中过点作直线，分别交、于点、，使△为等腰三角形，且是底边； （2）若点不在的角平分线上（如图，请你在图2中过点作直线，分别交、于点、，使△为等腰三角形，且是底边． 29．（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．求证：． （2）如图2，在中，，为的中点． ①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果，那么是的中点吗？为什么？ 30．（1）如图1，在中，，，，为边上一点，．求证：平分． （2）如图2，矩形中，，，点是边上一点，，连接，请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 31．如图，矩形中，为的中点． （1）在边上求作一点，使得； （2）在（1）中，若，，求的长． 32．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上． （1）在线段上找一点，使得，用直尺和圆规找出点． （2）若的坐标，点的坐标，求点的坐标． 33．请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图①中作出一点，使得； （2）在图②中作出一点，使得． 34．在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： 已知：△为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是　　 ； ．．．． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：　 （填“正确”或“错误” ． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：　　 ； （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 35．在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题． 已知，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线，则射线即为的平分线． （1）图1体现了上述作法，射线是的平分线的依据是　　 ． ． ． ． ． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角的平分线的方法． 两位同学给出了两种方法． 方法1：用三角尺按下面的方法作角的平分线．如图2，在的边，上分别取，，使，再过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，作射线，则平分． 请你帮这位同学证明平分． 方法2：用圆规和直尺按下面的方法作角的平分线．如图3，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，连接，，与交于点，作射线，则平分．你认为这种作角的平分线的方法正确吗？若正确，请给出证明过程；若错误，请说明理由． 36．【初步探究】（1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由． 【解决问题】（2）如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是　　． （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是　　． 37．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图1，在矩形中， ，若对角线与互为双关联线段，则　　 ． 问题2：如图2，在等边△中，点，分别在边，的延长线上，且，连接，．求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点．△是等边三角形，， ，，（依据）．， △△．，． 任务： （1）问题1中的　　 ，问题2中的依据是 　　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点在线段上，请在图3中作线段的双关联线段（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 38．综合与实践 （1）某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． ①经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 1．在上任取一点，作． 2．在射线上作．点即为所求． 1．在和上分别取点，，使得． 2．作的垂直平分线． 3．作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ， 　　 　　 ． ，（已作） 　　 ， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） 　　 ， 同理可得， ． 又（已作），， △△， 　　 ． ②请你用不同于上面的尺规作图方法在图1中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． （2）在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图2，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成 　　 个物体的像． 39．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点，所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）直接写出　　；（2）画的高；（3）在上找一点，使； （4）在边上找一点，使． 40．如图，平面内直线，且相邻两直线间距离相等，钝角三角形的三个顶点分别在、、上，与相交于点，水平底边与直线垂直，已知，请按要求完成以下作图，不写作法，但保留作图痕迹． （1）用不含刻度的直尺与圆规作出的中位线，使得（两种工具分别只限使用一次）； （2）在（1）的条件下仅用不含刻度的直尺作出四边形，使得其面积与的面积相等． 41．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边BC上找一点E，使得BE＝EC； （2）在图②中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不与点C重合）； （3）在图③中以BC为边画一个等腰三角形BCF． 42．图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点、． （1）在图1中，所画的的三边长分别是　　，　　，　　；的面积为 　　． （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并计算的面积． 43．如图，每一个小正方形的边长为． （1）画出格点△关于直线的对称的△； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使最大； （4）请直接写出△的面积　　 ． 44．在直角三角形中，，是边上的中点，连接． （1）只用圆规在图1中作出点关于直线的对称点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连接、、，线段交于点．试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长． 45．在中，为边上一点． （1）如图①，在中，，将沿着折叠，点落在边上．请用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，将沿着过点的直线折叠，点落在边上的处． ①若，垂足为，请用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，，，求的取值范围． 46．在中，，且平分． （1）如图1，现有点在线段上，连接、，将沿着所在直线折叠，点的对应点为点．若点恰好与点重合，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，点在边上，作直线，现将点沿着折叠，对应点记作点． ①当点落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点的位置； ②连接，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，当点落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 　　． 47．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． （1）若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是 　　； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； （2）如图2，①当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是 　　． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 13 学科网（北京）股份有限公司 $