11.2 第1课时 正弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦正弦定理核心知识点，从直角三角形锐角三角函数切入，发现边与对角正弦比相等关系，通过提出斜三角形是否成立的问题，搭建从已知到未知的探究学习支架。 资料特色在于结合代数法与几何法判断三角形解的个数，例题与跟踪训练强化逻辑推理和数学运算，帮助学生理解定理推导与应用，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率与学生解题能力。

11.2　正弦定理 新课程标准解读 核心素养 1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理 2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算 第1课时　正弦定理 根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有sin A＝，sin B＝，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得＝＝c. 　　又因为sin C＝sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即＝＝. 【问题】　对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字 叙述 三角形的各边与它所对角的　正弦　的比相等 提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③＝2R；④sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 知识点二　三角形解的个数的判断 1.代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解. 2.几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表： 分类 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 a＜bsin A 无解 a＝bsin A 一解 bsin A＜ a＜b 两解 a≥b 一解 A为 钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 1.在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　） A.acos C＝ccos A　　 　 B.bsin C＝csin A C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A 解析：D　由正弦定理易知，选项D正确. 2.（2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.2 解析：D　＝⇒b＝＝＝2.故选D. 3.在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径. 解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝＝＝8，解得R＝4. 题型一 已知两角及一边解三角形 【例1】　（链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c. 解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 由＝得，c＝＝ ＝＝4（＋1）. 所以A＝45°，c＝4（＋1）. 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 【跟踪训练】 　（2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为（　　） A.5　　　　　　　　　 B.4 C.5 D.4 解析：C　根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理＝，得b＝＝＝5.故选C. 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　（链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 【母题探究】 　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin B＝＝， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝＝＝. 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 【跟踪训练】 1.（2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C.或 D.或 解析：A　由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝.故选A. 2.在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝（　　） A.60° B.60°或120° C.60°或150° D.120° 解析：B　a＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B. 题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数 【例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； （2）a＝9，b＝10，A＝60°； （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解：（1）sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解. （2）sin B＝sin 60°＝×＝， 而＜＜1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°，满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. （3）sin B＝＝sin C＞sin C＝. 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 通性通法 1.在△ABC中，0＜sin B≤1，故≥1.∵＝，∴a＝，∴a≥bsin A.这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提. 2.解三角形时，可以先求出sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角形有（　　） A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 解析：B　∵bsin A＝50×＝25，∴bsin A＜a＜b.∴满足条件的三角形有2个.故选B. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A.x＞2 B.x＜2 C.2＜x＜2 D.2＜x＜2 解析：C　由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C. 1.在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　＝＝＝4. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　） A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析：C　法一　由正弦定理和已知条件，得＝，∴sin B＝.∵＞1，∴此三角形无解. 法二　∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，故此三角形无解. 法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 3.（2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长等于　12　. 解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12. 1.在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：B　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B. 2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由＝，故＝，解得sin B＝.故选A. 3.（2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin（A＋B）＝，sin A＝，则c＝（　　） A.4 B.3 C. D. 解析：C　sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（　　） A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.2∶∶1 D.1∶∶2 解析：D　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.故选D. 5.（多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，A＝，则C的值可以是（　　） A. B. C. D. 解析：BD　由正弦定理，有＝，得sin C＝＝＝，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝或C＝.故选B、D. 6.（多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　） A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 解析：ABD　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解. 7.（2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝　　. 解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得BC＝. 8.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为　　. 解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝. 9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝　　，c＝　　. 解析：∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝＝，sin C＝＝，∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.在△ABC中由正弦定理得＝＝＝＝，∴b＝sin B＝×＝，c＝sin C＝×＝. 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； （2）b＝3，c＝3，B＝30°. 解：（1）∵A＝30°，C＝105°， ∴B＝180°－（A＋C）＝45°. ∵＝＝， ∴b＝＝＝2， c＝＝＝＋. ∴B＝45°，b＝2，c＝＋. （2）由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 11.在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈（，），则的取值范围为（　　） A.（，） B.（，2） C.（0，2） D.（，2） 解析：A　由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）. 12.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B D.在△ABC中，＝ 解析：ACD　对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确. 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为　（，2）　. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2. 14.（2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. （1）求sin B的值； （2）求c的值； （3）求sin（B－C）的值. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝. （2）在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（）2＝22＋c2－2×2×c×cos 120°， 解得c＝－7或c＝5. 又∵c＞0，∴c＝5. （3）由（1）（2）知sin B＝，cos B＝，sin C＝. ∵A为钝角，∴C为锐角，∴cos C＝. ∴sin（B－C）＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－. 15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2，sin∠ACF＝，试求边AC的长. 解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝t，则CF＝2＋t， 由正弦定理可知，＝，即＝，则AC＝t， 在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CFcos∠AFC， 即t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－），又t＞0，则t＝3，故AC＝t＝7. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $