9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦向量数量积的坐标表示核心知识点，通过“如何用坐标表示数量积”“垂直条件的坐标形式”等问题驱动导入，衔接向量数量积定义，搭建从几何到代数转化的学习支架。 资料以“母题探究”和“通性通法”为特色，总结数量积运算、模与夹角求解策略，培养数学运算与推理意识，综合应用联系平面几何问题，体现数学语言表达现实世界，例题分层设计助力学生逐步掌握，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率与学生应用能力。

第2课时　向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 数学抽象 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算 　　已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）. 【问题】　（1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？ （2）a⊥b如何用坐标来表示？ 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的坐标表示 1.向量数量积的坐标计算公式 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　x1x2＋y1y2　. 2.向量长度（模）的坐标计算公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝　x2＋y2　，即｜a｜＝　　； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝　　. 3.向量夹角的坐标计算公式 设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，则cos θ＝＝　　. 4.向量垂直的充要条件 若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 1.（多选）下列结果中正确的是（　　） A.若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b B.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b C.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜ D.若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4 解析：AC　对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝－b，故B错误；对于C，｜a｜＝，｜b｜＝，故C正确；对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝，故D错误.故选A、C. 2.已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（　　） A.0　　　　　　　　　　B.10 C.6 D.－10 解析：C　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C. 3.（2024·宿迁宿豫中学月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1，－2），则向量a与b夹角的大小为　　. 解析：由题意得，cos＜a，b＞＝＝＝－，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝. 题型一 向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：（1）法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4. 法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2. 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 【跟踪训练】 1.（2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　） A.6　　　　　　　　　　B.5 C.4 D.3 解析：C　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝　　. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为＝2，所以F（，2）.所以＝（2，1），＝（，2）－（2，0）＝（－，2），所以·＝（2，1）·（－，2）＝2×（－）＋1×2＝. 题型二 向量的模、夹角、垂直问题 【例2】　（链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3，1），C（4， －1），若a＝，b＝.求： （1）｜a－2b｜； （2）∠BAC的大小； （3）B到直线AC的距离； （4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值. 解：（1）由题意，得a＝＝（2， 1），b＝＝（3， －1）， 因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3）， 所以｜a－2b｜＝＝5. （2）a与b的夹角为∠BAC， 因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝， ｜b｜＝， 所以cos∠BAC＝＝＝. 又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝. （3）B到AC距离为｜｜sin∠BAC＝ ｜｜sin＝·＝. （4）λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4， 3）， 因为（λa－b）⊥（a－2b）， 所以（λa－b）·（a－2b）＝0. 即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0， 解得λ＝3. 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值. 解：因为a＋b＝＋＝（5，0），a－b＝－＝（－1，2）， 所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋b｜＝5，｜a－b｜＝， 故cos θ＝＝＝－. 2.（变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， －1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角形”，试求k的值. 解：＝（－4，2），＝（－3，k＋1），＝（1，k－1）， 若∠A＝90°，则⊥，则·＝（－4）×（－3）＋2×（k＋1）＝0，解得k＝－7； 若∠B＝90°，则⊥，则·＝（－4）×1＋2×（k－1）＝0，解得k＝3； 若∠C＝90°，则⊥，则·＝（－3）×1＋（k＋1）×（k－1）＝0，解得k＝±2. 所以k的值为－7或3或±2. 通性通法 1.求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 2.解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝（　　） A. B. C.5 D.25 解析：C　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C. 2.（2024·扬州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，2），且a与b夹角的余弦值为，则x＝　　1或－11. 解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，显然x＜4，则x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11. 题型三 向量坐标运算的综合应用 【例3】　已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）. （1）求证：AB⊥AD； （2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度. 解：（1）证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， ∴＝（1，1），＝（－3，3）， 则·＝1×（－3）＋1×3＝0， ∴⊥，即AB⊥AD. （2）∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝. 设点C的坐标为（x，y），则＝（x＋1，y－4）， 从而有即∴点C的坐标为（0，5）. ＝（－2，4），＝＝2， 故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2. 通性通法 利用向量解决平面几何问题的基本思路 　　利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决. 【跟踪训练】 如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF. 求证：（1）DP⊥EF； （2）DP＝EF. 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而＝（1，0），＝（0，1）. 由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），因此＝（a，a－1），＝（1－a，a）. （1）因为·＝a（1－a）＋（a－1）a＝0， 所以⊥，因此DP⊥EF. （2）因为｜｜＝＝，｜｜＝＝，所以｜｜＝｜｜，因此DP＝EF. 1.（2024·苏州盛泽中学月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（　　） A.10 B.－10 C.3 D.－3 解析：B　由题意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10.故选B. 2.（多选）设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确的是（　　） A.｜a｜＝b2 B.a·b＝0 C.｜a｜＝｜b｜ D.（a－b）⊥b 解析：AD　因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故A正确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜＝，故｜a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2－2＝0，故D正确.故选A、D. 3.设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a＋c）⊥b，则｜a｜＝　　. 解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－，则a＝（1，－1），故｜a｜＝. 4.已知a＝（1，2），b＝（1，－1）. （1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； （2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值. 解：（1）因为a＝（1，2），b＝（1，－1）， 所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）. 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. （2）ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 1.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　） A.3　　　　B. C.－　　　　D.－3 解析：C　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－. 2.（2024·宿迁月考）已知点P（2，4），Q（1，6），向量＝（2，λ），若·＝0，则实数λ＝（　　） A. B.－ C.2 D.1 解析：D　由P（2，4），Q（1，6）可得＝（－1，2），又＝（2，λ），所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D. 3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析：A　∵＝（8，－4），＝（2，4），∴·＝8×2＋（－4）×4＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形.故选A. 4.（2024·镇江月考）已知＝（－3，－2），＝（m，1），＝3，则·＝（　　） A.7 B.－7 C.15 D.－15 解析：B　依题意可得＝（3，2），＝＋＝（3，2）＋（m，1）＝（3＋m，3），＝＝3，解得m＝－3，所以＝（－3，1），·＝（3，2）·（－3，1）＝－9＋2＝－7，故选B. 5.（多选）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的是（　　） A.若｜b｜＝2，则m＝ B.若a⊥b，则m＝2 C.若｜a｜＝｜b｜，则m＝2 D.若m＝－3，则a，b的夹角为 解析：BD　若｜b｜＝2，则＝4，解得m＝±，所以A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜a｜＝｜b｜，则＝，解得m＝2或m＝－2，所以C错误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，可得cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以D正确.故选B、D. 6.（多选）角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则与夹角的余弦值可能为（　　） A.－ B. C. D. 解析：AC　∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x），与的夹角为θ，则cos θ＝＝，当x＞0时，cos θ＝，当x＜0时，cos θ＝－.故选A、C. 7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝　－1　. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. 8.已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则｜n｜＝　1　. 解析：cos＝＝＝－，｜n｜＝1. 9.（2024·扬州质检）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是　（－∞，－1）∪（－1，1）　. 解析：｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角，∴即∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）. 10.在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值. 解：（1）由题设知＝（3，5），＝（－1，1）， 则＋＝（2，6），－＝（4，4）. 所以｜＋｜＝2 ，｜－｜＝4. 故所求的两条对角线的长分别为2，4. （2）由题设知，＝（－2，－1），－t＝（3＋2t，5＋t）， 由（－t）·＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　） A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 解析：B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2. 12.（2024·淮安月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝（　　） A.　　B.　　C.　　D. 解析：C　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2，∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝. 13.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为　（3，0）　. 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. 14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）. （1）若｜c｜＝2，且c与a 方向相反，求c的坐标； （2）若｜b｜＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：（1）设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝2，可没c＝λa（λ＜0）.得 所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2， 所以所以c＝（－2，－4）. （2）因为（a＋2b）⊥（2a－b）， 所以（a＋2b）·（2a－b）＝0， 即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0， 所以2×5＋3a·b－2×＝0， 所以a·b＝－，所以cos θ＝＝－1. 又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π. 15.（2024·南京质检）已知a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），且｜ka＋b｜＝｜a－kb｜（k＞0）. （1）用k表示数量积a·b； （2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角. 解：（1）由｜ka＋b｜＝｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， 所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0. 又a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），所以｜a｜＝｜b｜＝1， 所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝. （2）由（1）得a·b＝＝（k＋）. 令f（k）＝（k＋）， 由函数的单调性，得f（k）＝（k＋）在（0，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝×（1＋1）＝. 设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $