模块综合检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦必修第二册核心知识，涵盖复数运算、平面向量、统计抽样、解三角形、立体几何及概率等模块，通过典型例题导入，从基础公式推导过渡到综合应用，搭建连贯的知识学习支架。 其亮点在于融入数学文化（如《算数术》“囷盖”问题）与跨情境案例（军事演习距离计算、汽车产量统计），以数学眼光观察实际问题，用数学思维推理（如立体几何线面垂直证明），借数学语言表达（概率符号化表述）。解析步骤详尽，助力学生构建知识体系，也为教师提供分层教学素材。

模块综合检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（　　） A. 3＋5i B. 3－5i C. －3＋5i D. －3－5i 解析： 　由z（2－i）＝11＋7i得，z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图，向量 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 可以表示为 （　　） A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c 解析： 　依题意 ＝ － ＝ ＋ － ，即 ＝b－ a＋c，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 3. 某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例 如图所示，现从中按分层抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取 高中部男教师的人数为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 √ 解析： 　依题意，高中部、初中部教师人数比为 ＝ ，按分层 抽样抽取的25人中，高中部的教师人数为25× ＝10，所以应抽取 高中部男教师的人数为10×60%＝6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝ 2c2，则 cos C的最小值为（　　） A. B. C. D. － 解析： 　由余弦定理，得 cos C＝ ＝ ≥ ，当且 仅当a＝b时取“＝”. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 5. 如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为 26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之 和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个 三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三 角形上的数字之和恰为26－20＝6.从1，2，3，4，5中任取两个不 同的数字的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4， 5），共10个，其中“两个数字之和为6”的样本点有2个，则所求 概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 6. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤 维的长度（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，其频率 分布直方图如图所示.估计样本中棉花纤维的长度的80%分位数是 （　　） A. 28 mm B. 28.5 mm C. 29 mm D. 29.5 mm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为（0.01＋0.01＋ 0.04＋0.06）×5＝0.6＝60%，在30 mm以下的比例为60%＋25% ＝85%，因此，80%分位数一定位于[25，30）内，因为25＋ 5× ＝29，所以估计样本中棉花纤维的长度的80%分位数是 29 mm.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 7. 某校为普及足球运动知识，组织了有关知识的多项选择题测试.规 定全部选对的得10分，部分选对的得2分，有错选得0分，根据以往 做题经验，多项选择题正确选项有两项的概率为 ，正确选项有三 项的概率为 ，正确选项有四项的概率为0.若某同学对某一道多选 题随机选出一项，则该同学得2分的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　若答案是两个选项，所有的可能情况有AB，AC，AD， BC，BD，CD，共有6种情况，此时该同学随机选出一项，得2分 的概率为 ＝ ；若答案是三个选项，所有的可能情况有ABC， ACD，ABD，BCD，共有4种情况，此时该同学随机选出一项，得 2分的概率为 ；所以该同学得2分的概率为P＝ × ＋ × ＝ ， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 8. 《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，是我国现存最早的有系统 的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘 也，叉以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面 周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h.它实际上是将圆 锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为 ，侧 面面积为 ，其体积的近似公式为V≈ L2h，用此π的近似取值 （用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（　　） A. 15 B. 3 C. D. 8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为V＝ πr2h，L＝2πr，所以V＝ π（ ）2h＝ L2h.又因为V≈ L2h，即 L2h≈ L2h，所以π≈ .设圆锥母 线长为l，底面半径为r，则侧面积为 × l＝ ，解得l＝4.因 为圆锥底面的周长2πr＝ ，所以r＝ .又π≈ ，所以r≈3.设截 面的顶角为θ，当截面为轴截面时， cos θ＝ ＝－ ＜ 0，即截面顶角的最大值θmax为钝角，所以θ∈（0，θmax].又截 面面积为 l2 sin θ＝8 sin θ，所以当θ＝ 时截面面积最大，为8. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列化简正确的是（　　） A. cos 82° cos 22°＋ sin 82° sin 22°＝ B. cos 215°－ sin 215°＝ C. ＝－ D. sin 15° sin 30° sin 75°＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　 cos 82° cos 22°＋ sin 82° sin 22°＝ cos （82°－ 22°）＝ cos 60°＝ ，故A正确； cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故B正确； ＝tan（48°＋72°）＝tan 120°＝－ ，故C正确； sin 15° sin 30° sin 75°＝ sin 15° sin （90°－15°）＝ sin 15°· cos 15°＝ sin 30°＝ ，故D不 正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 10. 某地遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5 000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐，如图为 该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况.以下描述正确 的是（　　） A. 这8个月销量的极差为4 132 B. 这8个月销量的中位数为2 499 C. 这8个月中2月份的销量最低 D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的 是7月份 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，这8个月销量的极差为4 844－712＝4 132， 故A正确；对于B，这8个月的销量从小到大依次为712，1 433， 1 533，1 952，2 822，3 046，4 532，4 844，所以这8个月销量的 中位数是 ＝2 387，故B不正确；对于C，由题图可知， 这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，由题图可知，这 8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，增加了4 532－2 822 ＝1 710，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝ 60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列 说法正确的是（　　） A. 在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B. 异面直线AD与PB所成的角为90° C. 二面角P-BC-A的大小为45° D. BD⊥平面PAC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，对于A，连接BD，取AD的中 点M，连接PM，BM. ∵侧面PAD为正三角形， ∴PM⊥AD. 又底面ABCD是菱形，∠DAB＝ 60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM. 又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平 面PMB，故A正确；对于B，∵AD⊥平面PBM， ∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°， 故B正确；对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC， BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB， BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD，PM⊥AD，∴PM⊥平面ABCD，PM⊥BM，设 AB＝1，则BM＝ ，PM＝ ，在Rt△PBM中， tan∠PBM＝ ＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确；对于D，易证BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出 一支笔使用，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支 笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 ⁠. 解析：第一次取出的笔是黑色笔的概率是 ，第二次取出的笔是 黑色笔的概率也是 ，且两次取笔的结果相互独立，故两次使用 的都是黑色笔的概率为 × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 13. 已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球 面上，则该球的体积为 ⁠. 解析：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ，∴正四棱柱体 对角线的长为 ＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面 上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，则球的半径R＝ 1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝ πR3＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 14. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距 a 的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且 ∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°. 如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为 ⁠. a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又∠ACD＝ 60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝ a.在△BCD 中，∠BCD＝60°＋45°＝105°， sin ∠BCD＝ sin （60°＋ 45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos 60° sin 45°＝ ，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得 ＝ ， 所以BD＝CD· ＝ a· ＝ a.在△ADB中，由余 弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝ a2＋（ a）2－2· a· a· ＝ a2，所以AB＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知向量a与b的夹角为θ＝ ，且｜a｜＝ 3，｜b｜＝2 . （1）若ka＋2b与3a＋4b共线，求k； 解： 若ka＋2b与3a＋4b共线，则存在实数λ，使得 ka＋2b＝λ（3a＋4b），即（k－3λ）a＋（2－4λ）b＝0， 又因为向量a与b不共线， 所以解得所以k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）求a·b，｜a＋b｜. 解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝3×2 × ＝ －6， ｜a＋b｜＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： 证明：因为 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）， 所以 sin C sin A cos B－ sin C sin B cos A＝ sin B sin C cos A－ sin B sin A cos C， 所以ac· －2bc· ＝－ab· ， 即 －（b2＋c2－a2）＝－ ， 所以2a2＝b2＋c2. 16. （本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）若a＝5， cos A＝ ，求△ABC的周长. 解： 因为a＝5， cos A＝ ， 由（1）得b2＋c2＝50， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则50－ bc＝25，所以bc＝ ， 故（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 17. （本小题满分15分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径 为2，AB∥CD，AB＝2CD，点P是上半圆上的动点（不包含 A，B两点），点Q是线段PA上的动点，如图②所示，将半圆 APB所在的平面沿直径AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，连 接PC，PD. （1）求三棱锥P-ACD体积的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： 当PO⊥AB 时，三棱锥P-ACD体积 最大，由PO⊂平面 PAB，平面PAB⊥平面 ABCD，平面PAB∩平面 ABCD＝AB，知PO⊥平面ABCD，此时，点P到平面ABCD的距离最大，为PO＝2，所以VP-ACD的最大值为 ×S△ACD×PO＝ × ×2× ×2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）当PC∥平面QBD时，求 的值. 解： 如图，连接BD，交AC于点M， 连接QM， 则平面PAC∩平面QBD＝QM， 依题意，PC∥平面QBD，PC⊂平面PAC，所以PC∥QM，所以 ＝ ，在等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，则 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 18. （本小题满分17分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿 车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如 下表： A类轿车 B类轿车 C类轿车 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有 A类轿车10辆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （1）求z的值； 解： 设该厂这个月共生产轿车n辆. 由题意得 ＝ ，解得n＝2 000， 则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）在C类轿车中用分层抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿 车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； 解： 设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车. 由题意得 ＝ ，则a＝2. 因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型 轿车. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标 准型轿车，从5辆轿车中任取2辆，则样本空间Ω＝ {（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2）， （B1，B3），（B2，B3）}. 设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，则E＝{（A1， A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2， B1），（A2，B2），（A2，B3）}， 故P（E）＝ ，即所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们 的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6， 8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从 中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5的概率. 解： 总体平均数 ＝ ×（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7 ＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.0. 设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差 的绝对值不超过0.5”，则样本空间包含8个样本点，事件D 包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0， 所以P（D）＝ ＝ ，即所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 19. （本小题满分17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f （x＋yi）＝x1＋y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位）， 就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）.例如f（z） ＝ 将点（0，1）“f对应”到点（0，－1）. （1）若f（z）＝z＋1（z∈C）将点P1（1，1）“f对应”到点Q1，将点P2“f对应”到点Q2（1，1），求点Q1，P2的坐标； 解： 由P1（1，1）知z＝1＋i，则f（z）＝z＋1＝2＋ i，故Q1（2，1）； 设P2（x，y），则f（z）＝z＋1＝（x＋1）＋yi， 由Q2（1，1）知x＋1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2 （0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx＋t，f（z）＝z2 （z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线 l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后， 点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对 （k，t）；若不存在，请说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： ∵直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点 Q（x1，y1）， ∴z＝x＋yi，f（z）＝z2＝（x2－y2）＋2xyi，且y＝kx＋ t， ∴x2－y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2－y2，2xy）， 由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上，则2xy＝k（x2－ y2）＋t，又y＝kx＋t， 则2x（kx＋t）＝k[x2－（kx＋t）2]＋t， 展开整理得（k3＋k）x2＋（2t＋2k2t）x＋kt2－t＝0， 则解得k＝t＝0， ∴所求的有序实数对（k，t）为（0，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （3）设常数a，b∈R，集合D＝{z｜z∈C且Rez＞0}（Rez表 示复数z的实部）和A＝{ω｜ω∈C且｜ω｜＜1}，若f（z） ＝ 满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f （z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素ω，都存在集 合D中的元素z使得ω＝f（z）.请写出满足条件的一个有序 实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： 满足条件的一个有序实数对为（－1，1），即a ＝－1，b＝1，f（z）＝ ，证明如下： 设z＝x＋yi，x，y∈R，x＞0，则f（z）＝ ＝ ，｜f（z）｜＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) ∵（－x＋1）2＋y2－[（x＋1）2＋y2]＝－4x＜0，∴（－ x＋1）2＋y2＜（x＋1）2＋y2， ｜f（z）｜＝ ＜1，即f（z）∈A，满足条 件①； 设ω＝m＋ni，m，n∈R，且｜ω｜＜1，即 ＜1， 得m2＋n2＜1， 由ω＝f（z）得ω＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 则z＝ ＝－1＋ ＝－1＋ ＝－1＋ ＝－1＋ － ＝ － ， 则Rez＝ ＞0，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为（－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) $