培优课 古典概型的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦古典概型综合问题，涵盖“放回与不放回”“与统计结合”等题型，通过典型例题导入，对比不同抽样情境搭建学习支架，衔接基础概念与综合应用。 其亮点在于例题贴近现实（如产品抽取、分层抽样），通性通法步骤明确，培养数学思维与数据意识，跟踪训练联系生活，提升学生应用意识，助力教师高效开展培优教学。

培优课　 古典概型的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 古典概型中的“放回”与“不放回”问题 【例1】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取 一件，每次取出后不放回，连续取两次. （1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 解： 每次取一件，取出后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}， 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品. Ω1由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的. 用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，事件A由4个样本点组成，所以P（A）＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放 回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？ 解： 有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样 本空间Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2， a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）， （b1，b1）}，共9个样本点. 用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则B＝ {（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}. 事件B由4个样本点组成，所以P（B）＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点 （1）关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序 的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选 择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误； （2）关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后 顺序不同，所以（a1，b1），（b1，a1）不是同一个样本点.解 题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽 取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2， 3，4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； 解： 从袋中随机取两个球，所有可能样本点有（1， 2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3， 4），共6个， 从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点为（1， 2），（1，3），共2个， 因此所求事件的概率为 ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再 从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率. 解： 先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再 从袋中随机取一个球，记下编号为n， 则试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1， 4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4， 3），（4，4）}，共16个样本点. 满足条件n≥m＋2的事件的样本点有：（1，3），（1，4）， （2，4），共3个， 所以满足条件n≥m＋2的概率为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 古典概型与统计的综合问题 【例2】　（多选）（2024·南通月考）某市为增强市民的环境保护意 识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽 取100名，按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组 [30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方 图如图所示.若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参 加广场的宣传活动，且该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者 介绍宣传经验，则下列结论正确的是（　　） 目录 数学·必修第二册 (SJ) A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人 B. 第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C. 第5组志愿者被抽中的概率为 D. 第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 第3组抽取 ×6＝3（人），第4组抽取 ×6＝2（人），第5组抽取 ×6＝1（人）， 故A正确；设第3组抽取的3人分别为a，b，c，第4组抽取的2人分别 为d，e，第5组抽取的1人为f，则6人中随机抽取2人有（a，b）， （a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b， d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f）， （d，e），（d，f），（e，f）共15种抽法，其中第4组志愿者恰 有一人被抽中有8种抽法，则其概率为 ，故B正确； 第5组志愿者被抽中有5种抽法，其概率为 ＝ ，故C正确；第3组志 愿者至少有一人被抽中有12种抽法，其概率为 ＝ ，故D错误. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　古典概型与统计的综合问题，无论是直接描述还是利用频率分布 表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信 息，此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有： （1）根据题目要求求出数据（有的用到分层抽样、有的用到频率分 布直方图等知识）； （2）列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； （3）找出所求事件包含的样本点个数； （4）根据古典概型概率计算公式求解； （5）明确规范地表述结论. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九 年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如表. 组别（cm） x≤160 160＜ x≤170 170＜ x≤180 x＞180 人数 15 42 38 5 根据上表，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于 180 cm的概率是（　　） A. 0.05 B. 0.38 解析： 　由频数分布表可知，随机选取该地区一名九年级男生，估 计他的身高不高于180 cm的概率是 ＝0.95. C. 0.57 D. 0.95 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 古典概型的综合应用 【例3】　（2024·淮安月考）某儿童乐园在“六一儿童节”推出了一 项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动 后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数 分别为x，y，奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. （1）求小亮获得玩具的概率； （1）记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的样本点个数为5，即（1，1），（1， 2），（1，3），（2，1），（3，1）. 所以P（A）＝ ，即小亮获得玩具的概率为 . 解：用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本 空间Ω＝{（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}， 其中共有16个样本点. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 解：记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C， 则事件B包含的样本点个数为6，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）， 所以P（B）＝ ＝ . 事件C包含的样本点个数为5，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P（C）＝ . 因为 ＞ ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是 不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数 及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖， 抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球 a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球 都是红球则中奖，否则不中奖. （1）用球的标号列出所有的样本点； 解： 所有样本点包含（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2），（A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概 率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解： 不正确，理由如下： 由（1）知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有（A1，a1），（A1， a2），（A2，a1），（A2，a2），共4个， 所以中奖的概率为 ＝ ，不中奖的概率为1－ ＝ ，故不中奖 的概率比较大. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （2024·常州月考）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为 两个素数的和”，如8＝3＋5，在不超过11的素数中，随机选取两 个不同的数，其和为偶数的概率为（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 因为不超过11的素数有2，3，5，7，11五个数，从中选 取两个不同的数的样本点有（2，3），（2，5），（2，7）， （2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5， 11），（7，11），共10个，其中和为偶数的样本点有（3，5）， （3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共6 个，所以和为偶数的概率为 ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数 的概率是 ，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率 是 ⁠. 　 　 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1， 3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）， （3，4），（3，5），（4，5），共10个.因为两数都为奇数的样 本点有（1，3），（1，5），（3，5），共3个，所以所求概率为 .从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，两数都为偶 数的样本点有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4 个，故概率为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一 个取到B的概率是 ⁠. 解析：由图可知，B桶不可能第一个被取到，故画树形图 表示所有可能的取法，如图.共有3种等可能的结果，其中 最后一个取到B的结果有2种，所以最后一个取到B的概率 为 . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中 选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（　　） A. B. C. D. 解析： 样本空间Ω＝{（红，红），（红，白），（红，蓝）， （白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝， 白），（蓝，蓝）}，共9个样本点，其中颜色相同的样本点有 （红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3个，故所求的概率P ＝ ＝ . √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 解析： 2个1和3个0随机排成一行，样本点有00011，00101， 01001，10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共 10个；其中2个1不相邻的有00101，01001，10001，10010， 10100，01010，共6个样本点，所以所求概率为P＝ ＝0.6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·淮安月考）将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个 数，则剩下三个数的平均数大于5的概率为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　从5个数中随机删去的两个数有（1，3），（1，5）， （1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5， 7），（5，9），（7，9），共10个样本点，要使剩下数据的平均 数大于5，删去的两个数可以是（1，3），（1，5），（1，7）， （3，5），共有4个样本点，所以剩下数据的平均数大于5的概率 为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A， b∈A}，则A∩B＝B的概率是（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为a∈A，b∈A，所以（a，b）的结果可用列表法 得到，样本点的总个数为9（如下表所示）. 　 　b a　 　 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 因为A∩B＝B，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1， 3}，{2，3}.当B＝⌀时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1， b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足 条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的 a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝ {2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果 有8种.故所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高（单位： cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间），将测量结果 按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160， 165），…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所 示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们 的身高分别为x，y，则｜x－y｜≤5的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由频率分布直方图，可知身高在[180，185）的人数为 0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190，195]的 人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组（x，y） 表示样本点，设M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机 抽取2名”，若x，y∈[180，185），则M＝{（a，b），（a， c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6种情 况；若x，y∈[190，195]，则M＝{（A，B）}，共1种情况； 若x∈[180，185），y∈[190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），则M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8种情况.所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. 设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝ （m，n），b＝（2，3），则事件“a∥b”发生的概率 为 ⁠. 解析：由题意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n） 所有可能的情况共36种.因为平面向量a＝（m，n），b＝（2， 3），且a∥b，则3m－2n＝0，则满足条件的（m，n）有（2， 3），（4，6），共2种，所以事件“a∥b”发生的概率为 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的 概率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：从5张卡片中随 机抽取1张，放回后再 随机抽取1张的情况如图所示. 样本点总数为25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10个，故所求的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·盐城月考）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初 年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法 中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象 牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根 小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数 的和不小于9的概率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用 1根和4根小木棍可以组成1与4，1与8，共2种不同的组合，其和分 别为5，9；第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3，2与7，6与 3，6与7，共4种不同的组合，其和分别为5，9，9，13，故用五根 小木棍随机摆放成图中的两个数，有2＋4＝6（种）不同的组合， 其中两个数的和不小于9的有4种，所以这两个数的和不小于9的概 率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方 形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线互相 垂直的概率是 ⁠. 解析：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各 自任选一条共有36个样本点.4组邻边和对角线中两条 直线相互垂直的情况有5种，包括10个样本点，即AB 与BC，AB与AD，BC与BA，BC与CD，CD与BC，CD与AD，AD与CD，AD与AB，AC与BD，BD与AC. 所以概率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以 等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3 处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1，2，4，5处）， 则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为 （3→1→3→1），（3→1→3→2），（3→1→3→4）， （3→1→3→5），（3→2→3→2），（3→2→3→1）， （3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4）， （3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5）， （3→5→3→5），（3→5→3→1），（3→5→3→2）， （3→5→3→4），共16个，满足题意的样本点为 （3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3个.由 古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进 入5处的概率是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·盐城月考）垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措.住 建部于6月28日拟定了包括某市在内的46个重点试点城市，要求这 些城市在2024年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，该市某中 学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所 得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩； 解： 由题意得（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1，解得a＝0.005， 平均成绩为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝ 76.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）学校要求对不及格（60分以下）的同学进行补考，现用分层 抽样的方法在成绩为[50，70）的同学中抽取5名，再从这5 名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率. 解： 由题意知抽取的5人中，成绩在[50，60）内的有2 人，记为a，b；成绩在[60，70）内的有3人，记为A，B，C. 随机试验的所有可能结果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个， 其中至少有1人需要补考的结果有ab，aA，aB，aC， bA，bB，bC，共7个.所以所求概率为P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. 随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱 人，某“网红”甜品店出售几种甜品，为了了解每个种类的甜品 的销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售 情况，统计后得到如下表格： 甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品 销售总额 （万元） 10 5 20 20 12 销售量（千份） 5 2 10 5 8 利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品 的销售价格的比值） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利 润率高于0.2的概率； 解： 由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2 的是A甜品和D甜品，共有1万份， 设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A， 则P（A）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x1元，销售 一份B甜品获利x2元，销售一份C甜品获利x3元，销售一份 D甜品获利x4元，销售一份E甜品获利x5元，设 ＝ ，若该甜品店从五种“网红甜品”中随 机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过 元的 概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： 由题意得销售一份甜品A，B，C，D，E分别获利为8元，5元，3元，10元，3元. 所以 ＝ ＝ ，故A甜品和D甜品获利超过 ，从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同甜品，共含有10个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE. 设“至少有一种甜品获利超过 元”为事件M，则事件M包含7个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE， 所以至少有一种甜品获利超过 元的概率为P（M）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) $