第13章 立体几何初步 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦空间几何核心内容，涵盖表面积体积计算、平行垂直关系证明、空间角与距离求解，通过例题导入衔接基础与综合应用，以“例题解析—反思感悟—跟踪训练”为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过转化法、补形法等培养逻辑推理，如例1用补形法求三棱锥体积，例2中位线转化证平行。反思感悟提炼方法，跟踪训练结合实际问题，提升学生空间观念与应用意识，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

章末复习与总结 数学·必修第二册 (SJ) 一、空间几何体的表面积与体积 　　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及 球的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形 法等进行求解. 【例1】　（1）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为 棱B1C1上任意一点，则三棱锥D-A1BC的体积是 ⁠； 　 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 设h为△A1B1C1边B1C1上的高，由 题可得 ＝ ＝ ·S△BCD·h＝ × ×2×2× ＝ . 数学·必修第二册 (SJ) （2）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和 高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若 ＝ ，则 的值为 ⁠. 解析： 由题意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2 ＝ ×πr2×r＝ ，S2＝ πr2，由 ＝ 得a ＝r，所以 ＝ ＝ . 　 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 关于空间图形的体积、表面积 　　首先要明确空间图形的基本量，如球的半径，空间图形的高、棱 长等，其次是准确代入相关的公式计算.在计算中应注意各数量之间 的关系，特别是特殊的柱体、锥体、台体，要注意其中矩形、直角三 角形及梯形等重要的平面图形的作用. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的 下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的 表面积和体积. 数学·必修第二册 (SJ) 解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后 所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于 圆柱体高的半球的组合体. 该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝ π×2×2 ＋2π×2×2＋ ×4π×22＝（4 ＋16）π， 组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝ ×π×22×2＋π×22×2－ × ×π×23＝ . 数学·必修第二册 (SJ) 二、空间中的平行关系 　　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查 在空间图形中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的 棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： 数学·必修第二册 (SJ) （1）MN∥平面PAD； 证明： 如图，取DC的中点Q，连接 MQ，NQ. ∵NQ是△PCD的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，又MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. 数学·必修第二册 (SJ) （2）MN∥PE. 证明： ∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝ MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以 进行任意转化，相互间的转化关系如图. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD， MA∥PB，PB＝2MA. 在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥ 平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 数学·必修第二册 (SJ) 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面 PMD，证明如下： 如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝ PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 数学·必修第二册 (SJ) 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面 AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 数学·必修第二册 (SJ) 三、空间中的垂直关系 　　空间中的垂直主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定 理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的 联系与转化. 【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形， 四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝ 2，AB＝4. 数学·必修第二册 (SJ) （1）求证：AC⊥平面BCE； 证明： 在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2 ， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 数学·必修第二册 (SJ) （2）求证：AD⊥AE. 证明： 因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面 ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF， AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平 面ABC，∠ACB＝90°. （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 解： 证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂ 平面ABC，所以A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC. 因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面 ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 数学·必修第二册 (SJ) （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解： 如图，取棱AA1的中点D，连接 BD，CD. 因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD. 因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面 ACC1A1，所以BC⊥AA1. 因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AA1⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD. 数学·必修第二册 (SJ) 因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1. 又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC， CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面 BB1C1C. 因为AA1＝2，所以CD＝1. 易知AA1∥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1. 数学·必修第二册 (SJ) 四、空间角的计算 　　空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间 角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 【例4】　如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝ O，求： 数学·必修第二册 (SJ) （1）AO与A'C'所成角的大小； 解： ∵A'C'∥AC， ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补 角）. ∵AB⊥平面BC'，OC⊂平面BC'， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面 ABO， ∴OC⊥平面ABO. 数学·必修第二册 (SJ) 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝ ，AC＝ ， sin ∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝30°. 即AO与A'C'所成的角为30°. 数学·必修第二册 (SJ) （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； 解： 如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD ＝BC，OE⊂平面BC'， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝ ，AE＝ ＝ ， ∴tan∠OAE＝ ＝ . 即AO与平面ABCD所成角的正切值为 . 数学·必修第二册 (SJ) （3）二面角B-AO-C的大小. 解： 由（1）可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B-AO-C的大小为90°. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 1. 求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）. 2. 求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）. 3. 二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧 的中点， E为劣弧 的中点，且AB＝2PO＝2 . （1）求异面直线PC与OE所成的角的大小； 解： ∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O， 根据中点条件可以证明OE∥AC， ∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角， AC＝ ＝ ＝2，PC＝PA ＝ ＝ ＝2， ∴∠PCA＝ ，故异面直线PC与OE所成的角是 . 数学·必修第二册 (SJ) （2）求二面角P-AC-E的余弦值. 解： 如图，取AC中点为D，连接 PD，OD， 由（1）知，PA＝AC＝PC， ∴PD⊥AC， ∵OA＝OC，∴OD⊥AC， 又E为劣弧 的中点，即有E∈底面圆 O， ∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO， 数学·必修第二册 (SJ) ∵C为半圆弧 的中点，∴∠AOC＝ ， ∴OD＝ AC＝1， ∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O， ∴PO⊥OD， 又PO＝ ，∴在Rt△PDO中，PD＝ ， ∴ cos ∠PDO＝ ＝ ，∴二面角P-AC-E的余弦值是 . 数学·必修第二册 (SJ) 五、空间距离的计算 　　空间立体几何中的距离包括点点距、点线距、点面距、线线距、 线面距、面面距等.像线线距离、线面距离、面面距离等，都可以转 化成点到平面的距离去求解. 【例5】　（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是（　D　） A. B. 2 C. 3 D. 4 D 解析： 由题知，PB＝PC＝ ＝ ，则P到BC 的距离d＝ ＝ ＝4 . 数学·必修第二册 (SJ) （2）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的 距离分别是3，4，5，则OP的长为（　B　） A. 5 B. 5 C. 3 D. 2 B 解析： ∵三个平面两两垂直，∴可以将P与各面的垂足连接并补 成一个长方体，∴OP即为体对角线，∴OP＝ ＝ ＝5 . 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 空间距离的求法 （1）由已知证明垂直关系，则垂线段的长就是点到平面的距离； （2）过点作平面的垂线，明确垂足，从而得到点到平面的距离； （3）运用等体积法求点到平面的距离. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面 ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平 面PBC的距离. 数学·必修第二册 (SJ) 解：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平 面PBC， 所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离， 因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝ 90°，即AB⊥BC， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以 BC⊥PB， 因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ， 数学·必修第二册 (SJ) 设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得 PA·S△ABC＝ d·S△PBC， 所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，得d＝ ，所以AD到平面 PBC的距离为 . 数学·必修第二册 (SJ) $