章末检测（13） 立体几何初步-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦立体几何初步，涵盖空间几何体、线面位置关系、度量计算等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，构建从概念辨析（如棱柱性质）到综合应用（如体积法求距离）的学习支架，衔接基础与复杂问题。 其亮点在于以问题驱动，融合几何直观与逻辑推理，如斜二测画法还原图形、正方体中异面直线角转化等实例，培养学生数学眼光与思维，提升空间观念与运算能力，助力教师精准检测学情，促进学生深度学习与知识内化。

章末检测（十三）　立体几何初步 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 多面体至少有3个面 B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D. 棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 解析： 　由棱柱的定义知棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 2. 设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列 命题正确的是（　　） A. 若m∥n，n∥α，则m∥α B. 若α∥β，l∥α，则l∥β C. 若α∥β，l⊂α，则l∥β D. 若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A错 误；对于B，若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故B错误；对于 C，若α∥β，l⊂α，则l∥β，C正确，对于D，少了m与n相交 的条件，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 3. 用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等 腰直角△A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则 △ABC中BC边上的高为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵直观图是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O' 为B'C'的中点，A'O'＝1，∴A'C'＝ .根据直观图中平行于y轴 的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高AC＝2A'C'＝ 2 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则 该圆锥的侧面积为（　　） A. π B. 2π C. 6π D. 12π 解析： 设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开 图的弧长为2πr，则由l· ＝2πr，所以l＝6r.圆锥的表面积是 14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以侧面积S侧＝6πr2＝ 12π.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 5. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，取CD中点E，连接C1E， ME，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中 点，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四 边形B1C1EM为平行四边形，∴C1E∥B1M，∴ 异面直线B1M与CN所成角为直线C1E与CN所 成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直线B1M与CN所成角的大小为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点.若AB＝6，则点B 到平面ACE的距离为（　　） A. B. C. D. 3 √ 解析： 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中 点，则BE＝3，AE＝CE＝ ＝3 ，AC＝6 ， ∴S△ACE＝ ×6 × ＝9 .设点B到平面 ACE的距离为h，由VE-ABC＝VB-ACE，得 × ×6×6×3＝ ×9 h，解得h＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 7. 如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的 同一个大圆上，点P在球面上.若VP-ABCD＝ ，则球O的体积是 （　　） A. 32π B. 16π C. π D. 8π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设球O的半径为R. 因为正四棱锥P-ABCD底面的四个 顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，所 以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面积S＝2R2.因为 VP-ABCD＝ ，所以VP-ABCD＝ ×2R2×R＝ ＝ ，解得R＝2， 所以球O的体积V＝ πR3＝ π×23＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 8. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别为A1B1， AD，B1C1，C1D1的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所 得的截面的面积为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，取A1D1中点为M，连接ME， MF，取CD，CB中点分别为P，Q，连接 PH，PQ，QG. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 由题意知四边形PQGH为矩形，且ME∥GH， MF∥QG，因为ME⊄平面PQGH，MF⊄平面 PQGH，GH⊂平面PQGH，QG⊂平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因为EF⊂平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以PQ ＝ ，QG＝2，所以矩形PQGH的面积为PQ·QG ＝2 ，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所 得的截面的面积为2 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列 说法正确的有（　　） A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B. 如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C. 如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D. 如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判 定定理可得α⊥β，故A正确；如果m⊂α，α∥β，那么由面面 平行的性质可得m∥β，故B正确；如果α∩β＝l，m∥α， m∥β，那么由线面平行的性质定理可得m∥l，故C正确；如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D错误. 故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC 的中点，动点P在线段MN（不包含端点）上运动时，下列四个 结论中恒成立的为（　　） A. EP⊥AC B. EP∥BD C. EP∥平面SBD D. EP⊥平面SAC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图所示，设AC，BD相交于点 O，连接EM，EN，SO. 由正四棱锥S- ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD， SO⊥AC. 因为SO∩BD＝O，SO，BD⊂平 面SBD，所以AC⊥平面SBD. 因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所 以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确；因为EM∥BD，EM⊂平面EMN，BD⊄平面EMN，所以BD∥平面EMN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正 确；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD， 故C正确；由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面 SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当 P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正 确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的 几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆 环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底 面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为 ，弧AD的长度是弧BC 长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是（　　） A. 弧AD长度为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为20＋14π D. 三棱锥A-CC1D的体积为5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 对于A，设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆 的半径为r，∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍， R＝3× r， 即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的 长度为 ，故A正确；对于B，曲池的体积为V＝（ πR2－ πr2）×AA1＝（ π×32－ π×12）×5＝10π，故B错误； 对于C，曲池的表面积为（ πR2－ πr2）×2＋（ πR＋ πr）×5＋2×5×2＝（ π×32－ π×12）×2＋（ π×3＋ π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正确；对于D，三棱锥A-CC1D的体积为 × ×2×5×3＝5，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该 棱锥的体积为 ，则该正方体的棱长为 ⁠. 解析：设正方体棱长为a，则 × a2×a＝ ，解得a＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 13. 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面 到相对顶点G的最短距离为 ⁠. 解析：如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线 EF剪开半个侧面展开而得到的， 则从点E沿圆 柱的侧面到相对顶点G的最短距离为GE1.由题 意可知GH＝5，GF1＝ ，所以GE1＝ ＝ ＝ ，所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 14. 如图所示，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是 矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD. 若AA'＝AD＝2，则直线AB到 平面DA'C的距离为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析：如图，取B'C的中点E，连接BE，∵ 四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形， ∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B， ∴AB⊥平面BCB'，又BE⊂平面BCB'， ∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E为B'C的中点，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝ C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝ AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB'⊂平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的 边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的 内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分空 间图形的体积V. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： ＝ ×3×4×6＝36（cm3）. 设圆柱底面圆的半径为r，则r＝ ＝ ＝1 （cm）， ＝πr2h＝6π（cm3）. 所以V＝ － ＝（36－6π）cm3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 16. （本小题满分15分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若P为 棱BB1的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （1）判断平面D1PC与平面ABCD是否相交.如果相交，在图①中 作出这两个平面的交线； 解： 平面D1PC与平面ABCD相交. 因为DD1∥BP，DD1＝2BP， 所以D，D1，B，P四点共面，且DB与 D1P不平行则必相交， 如图，连接DB，D1P并延长交于Q，连 接CQ， 则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）如图②，求证：DB1∥平面PAC. 解： 证明：连接BD，交AC与点O，连接OP， 在△BB1D中，点O，P分别是BD，BB1的中点，所以 OP∥DB1， 而OP⊂平面PAC，DB1⊄平面PAC，所以DB1∥平面PAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 17. （本小题满分15分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面 ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝ ，O， M分别为AB，VA的中点. （1）求证：VB∥平面MOC； 解： 证明：因为O，M分别是AB， VA的中点， 所以MO∥VB. 因为MO⊂平面MOC，VB⊄平面MOC， 所以VB∥平面MOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）求三棱锥V-ABC的体积. 解： 因为AC＝BC，O为AB的中点， 所以OC⊥AB. 因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平 面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥ 平面VAB. 在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝ ， 所以AB＝2，OC＝1， 所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ ， 所以VV-ABC＝VC-VAB＝ OC·S△VAB＝ ×1× ＝ . 所以三棱锥V-ABC的体积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 18. （本小题满分17分）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5. （1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是， 请求出该定值；若不是，请说明理由； 解： 由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2 ＋BC2＝AC2，则AB⊥BC， 由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得 PA⊥BC， 由PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB， 则点C到平面PAB的距离为一个定值BC，BC＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）若PA＝3，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 解： 设直线PC与平面PAD所成的角为α， 由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD， 则AB⊥平面PAD，则B点到平面PAD的距离为AB＝3， 由BC∥AD知点C与点B到平面PAD的距离相等， 则点C到平面PAD的距离为d＝AB＝3， 由PA＝3，AC＝5知PC＝ ＝ ， 故 sin α＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 19. （本小题满分17分）如图①，已知正△ABC的边长为a，CD是 AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点.现将△ADC沿CD翻 折，使平面ADC⊥平面BCD，如图②所示. （1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中 点，所以EF∥AB. 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以 AB∥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）若三棱锥E-DFC的体积为 ，求a的值； 解： 由题意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥ 平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD. 如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD，所以EM⊥平面BCD，且EM＝ . 因为三棱锥E-DFC的体积为 ， 所以 × × ＝ ，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （3）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求 出 的值；如果不存在，请说明理由. 解： 线段AC上存在一点P，使BP⊥DF. 理由如下： 易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作PK∥DA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 因为AD⊥平面BCD，PK∥DA，所以PK⊥平面BCD，所 以PK⊥DF. 又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK⊂平面PKB，所以 DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB. 又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，所以DK＝KF＝ KC. 故 ＝ ＝ ，从而 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) $