11.2 第1课时 正弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦正弦定理及变形、三角形解的个数判断，课堂导入从直角三角形锐角三角函数出发，发现边与对角正弦比的关系，进而提出斜三角形是否成立的问题，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过“情境导入—新知初探—典型例题—跟踪训练”逻辑链，结合代数法与几何法判断三角形解的个数，如例2已知两边及对角分类讨论两解情况，培养逻辑推理与数学运算素养。自我诊断和分层练习帮助学生巩固，教师使用可提升教学效率，助力核心素养落地。

11.2　正弦定理 新课程标准解读 核心素养 1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理 2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算 第1课时　正弦定理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有 sin A＝ ， sin B＝ ，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 ＝ ＝c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 　　又因为 sin C＝ sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的 正弦的比相等的形式，即 ＝ ＝ . 【问题】　对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然 成立？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c 结论 ＝ ＝ 文字 叙述 三角形的各边与它所对角的 ⁠的比相等 正弦　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝ 2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝ a∶b∶c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　三角形解的个数的判断 1. 代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不 妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a ＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜ b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即 b sin A＜a＜b，两解. 2. 几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形解的个数，见下表： 目录 数学·必修第二册 (SJ) 分类 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 a＜b sin A 无解 a＝b sin A 一解 b sin A＜ a＜b 两解 a≥b 一解 目录 数学·必修第二册 (SJ) 分类 图形 关系式 解的个数 A为 钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　） A. a cos C＝c cos A B. b sin C＝c sin A C. ab sin C＝bc sin B D. a sin C＝c sin A 解析： 　由正弦定理易知，选项D正确. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2 ，则b＝（　　） A. B. C. D. 2 解析： 　 ＝ ⇒b＝ ＝ ＝2 .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径. 解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝ 8，解得R＝4. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知两角及一边解三角形 【例1】　（链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝ 60°，C＝75°，求A，c. 解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 由 ＝ 得，c＝ ＝ ＝ ＝4（ ＋1）. 所以A＝45°，c＝4（ ＋1）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5， 则此三角形的最大边长为（　　） A. 5 B. 4 C. 5 D. 4 解析： 根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形 的最大边是b，由正弦定理 ＝ ，得b＝ ＝ ＝ 5 .故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　（链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对 边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ， ∵b＜a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ ；当A＝120°时，C＝180°－A－B ＝15°， ∴c＝ ＝ ＝ . 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不 变，解此三角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a， b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析： 　由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ . 因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　） A. 60° B. 60°或120° C. 60°或150° D. 120° 解析： 　a＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知 ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B ＝60°或120°.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数 【例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； 解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）a＝9，b＝10，A＝60°； 解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ， 而 ＜ ＜1. 所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜ B＜90°，满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜ 120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ . 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝ ，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形 解的个数（1或2）的前提. 2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条 件判断三角形解的个数. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角 形有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 解析： 　∵b sin A＝50× ＝25，∴b sin A＜a＜b.∴满足条件的 三角形有2个.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b ＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2 解析： 由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1， 可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则 ＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　 ＝ ＝ ＝4. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ， c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 解的个数不确定 解析： 　法一　由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sin B＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解. √ 法二　∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解. 法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为 半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°， 若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长等于 ⁠. 解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得 ＝ ，得x＝ ＝ ＝12. 12　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2 ，则c＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. 解析： 　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c ＝ ＝ ＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝ （　　） A. 4 B. 3 C. D. 解析： 　 sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C ＝ × ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C ＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（　　） A. 1∶2∶3 B. 3∶2∶1 C. 2∶ ∶1 D. 1∶ ∶2 解析： 　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝ 2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°， C＝90°，所以a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝ sin 30°∶ sin 60°∶ sin 90°＝1∶ ∶2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所 对的边长分别为a，b，c，若a＝2 ，c＝2 ，A＝ ，则C 的值可以是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由正弦定理，有 ＝ ，得 sin C＝ ＝ ＝ ，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝ 或C＝ .故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 （　　） A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝ 90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝ ，∠BAC ＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ ⁠. 解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－ 60°－75°＝45°，由正弦定理 ＝ ，即 ＝ ，解 得BC＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径 为 ⁠. 解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：∵ cos A＝ ， cos C＝ ，∴ sin A＝ ＝ ， sin C＝ ＝ ，∴ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ .在△ABC中由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴b＝ sin B＝ × ＝ ，c＝ sin C＝ × ＝ . 9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A＝ ， cos C＝ ，a＝1，则b＝ 　 　，c＝ 　 　. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条 件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； 解： ∵A＝30°，C＝105°， ∴B＝180°－（A＋C）＝45°. ∵ ＝ ＝ ， ∴b＝ ＝ ＝2 ， c＝ ＝ ＝ ＋ . ∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）b＝3，c＝3 ，B＝30°. 解： 由正弦定理，得 ＝ ， 即 ＝ ，解得 sin C＝ . ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC 为直角三角形，此时a＝ ＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B， ∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取 值范围为（　　） A. （ ， ） B. （ ，2） C. （0，2） D. （ ，2） 解析： 　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B ＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈ （ ， ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B D. 在△ABC中， ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c ＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正 确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A ＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理 可得， sin A＞ sin B⇔a＞b⇔A＞B，故C正确；对于D，由 ＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B ＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ， 得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c sin B，即 ＜b＜2. （ ， 2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. （2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°. （1）求 sin B的值； 解： 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，则 sin B＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求c的值； 解： 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即（ ）2＝22＋c2－2×2×c× cos 120°， 解得c＝－7或c＝5. 又∵c＞0，∴c＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）求 sin （B－C）的值. 解： 由（1）（2）知 sin B＝ ， cos B＝ ， sin C＝ . ∵A为钝角，∴C为锐角，∴ cos C＝ . ∴ sin （B－C）＝ sin B cos C－ cos B sin C＝ × － × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方 图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小 三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2， sin ∠ACF＝ ，试求边AC的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝ t，则CF＝2＋t， 由正弦定理可知， ＝ ，即 ＝ ，则AC＝ t， 在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF cos ∠AFC， 即 t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－ ），又t＞0，则t＝ 3，故AC＝ t＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $