11.1 余弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦“余弦定理”，通过隧道施工测量情境导入，从勾股定理（直角三角形）自然过渡到一般三角形，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生理解定理证明及应用脉络。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，通过解三角形、判断形状等例题强化逻辑推理与数学运算，结合通性通法总结提升思维能力。学生能提升知识应用与核心素养，教师可借助分层练习落实课标，高效开展教学。

11.1　余弦定理 新课程标准解读 核心素养 理解余弦定理的证明，并会运用余 弦定理解决相关问题 逻辑推理、数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度. 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的 距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC （即线段BC）的张角∠BAC＝150°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【问题】　（1）我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直 角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也 有相似的结论？ （2）你能通过上面的结论求出山脚的长度BC吗？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点　余弦定理 1. 余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝ ⁠， b2＝ ⁠， c2＝ ⁠ b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 余 弦 定 理 推论 cos A＝ ⁠， cos B＝ ⁠， cos C＝ ⁠ 　 　 　 2. 解三角形 我们把三角形的 和 叫作三角形的元素.已知 三角形的几个元素求 的过程叫作解三角形. 三个角　 三条边　 其他元素　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A. c2＝a2＋b2－2ab cos C B. c2＝a2－b2－2bc cos A C. b2＝a2－c2－2bc cos A D. cos C＝ 解析： 　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 余弦定理适用于任何三角形 B. 在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一 C. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角 D. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关 系，它适用于任何三角形，故A正确；对于B，已知两边及夹角 时，△ABC唯一，故B错误；对于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的 逆定理知C＝90°，故C正确；对于D，若a2＋b2－c2＞0， cos C ＝ ＞0，又C∈（0，π），则角C为锐角，故D错误.故选 A、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，则c＝ 　7 　. 解析：由余弦定理，得c＝ ＝ ＝7 . 7 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知两边及一角解三角形 【例1】　（链接教科书第92页例1（1））根据下列条件解三角形： （1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值； 解： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则a2＝82＋ 32－2×8×3× cos 60°＝49，所以a＝7. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 则32＝a2＋（3 ）2－2a×3 × cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C ＝60°. （2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边， 再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的 一元二次方程求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·无锡月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a＝3，b＝2， cos （A＋B）＝ ，则c＝（　　） A. 4 B. C. 3 D. 解析： 　 cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）＝－ . 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2× ＝17，所以c＝ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ ⁠. 解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋ c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或 AC＝2. 1或2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 已知三边解三角形 【例2】　（链接教科书第92页例1（2））在△ABC中，已知a＝ 2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ， ∵A∈（0，π），∴A＝ . cos C＝ ＝ ＝ ， ∵C∈（0，π），∴C＝ . ∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ， ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角； 再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理 求出第三个角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2 － bc，则A＝（　　） A. 135° B. 60°或120° C. 45° D. 135°或45° 解析： 　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ，故A＝45°.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边 长分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶6，则 cos A＝ （　　） A. B. － C. D. － 解析： 　由题意，不妨设a＝3k，b＝4k，c＝6k，k＞0，由余 弦定理得， cos A＝ ＝ ＝ .故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（链接教科书第94页例5）（1）在△ABC中，（a＋b＋ c）（a＋b－c）＝3ab且2 cos A· sin B＝ sin C，试判断△ABC的形 状； 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： ∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）. ∵2 cos A sin B＝ sin C， ∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B， ∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B. 又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ . ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°， ∴△ABC为等边三角形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断△ABC的形 状. 解： 由a cos B＋a cos C＝b＋c，结合余弦定理得 a· ＋a· ＝b＋c，即 ＋ ＝ b＋c，整理得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0. ∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 判断三角形形状的方法 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一” 入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量 关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量 关系. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋ c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2 ＞b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜ b2； ④若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　在△ABC中，若b2 sin 2C＋c2 sin 2B＝2bc cos B· cos C，试判断 △ABC的形状. 解：将已知等式变形为b2（1－ cos 2C）＋c2（1－ cos 2B）＝2bc cos B cos C. 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2 － ＝ 2bc· · ， ∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型四 余弦定理在实际问题中的应用 【例4】　（链接教科书第93页例4）一艘轮船按照北偏东40°方向， 以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向 上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6 海里，求灯塔与轮 船原来的距离. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达 B处，C为灯塔的位置， 根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18× ＝6 （海里），BC＝6 海里， 由余弦定理可得 cos 120°＝ ＝ ＝－ ， 解得AC＝6（AC＝－12舍去）. 因此，灯塔与轮船原来的距离为6海里. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 利用余弦定理解决实际问题的方法技巧 　　解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的 量纳入到三角形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在 观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A， B之间的距离. 解：依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°. 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠ACB＝32＋52 －2×3×5× cos 120°＝49. ∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC＝（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，由 AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC cos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得 AC＝1或AC＝－4（舍去）.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝1，c＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析： 　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又 A为△ABC的内角，所以A＝60°. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测 得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝ 120°，则A，B两点间的距离为 km. 解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝1＋1－2×1×1× cos 120° ＝3，∴AB＝ km. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·苏州月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若c2＝bc cos A＋ca cos B＋ab cos C，则△ABC是 ⁠ 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 解析：由余弦定理得c2＝bc· ＋ac· ＋ ab· ，即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形. 直 角　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝（　　） A. 5 B. 8 C. 5或－8 D. －5或8 解析： 　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即49＝9＋b2－ 3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对 边），则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2 ＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos C＝16 ＋9－2×4×3× ＝9，AB＝3，所以 cos B＝ ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·宿迁月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则 · ＝（　　） A. 79 B. 69 C. 5 D. －5 解析： 　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝ ，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝ －5.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a ＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　） A. b＝2 B. b＝2 C. B＝60° D. B＝30° 解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b ＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2， cos A＝ ，所以B＝A＝30°.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 c2＜a2＋b2＋2ab cos 2C，则C的取值可能为（　　） A. B. C. D. 解析： 　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＜a2＋b2＋2ab cos 2C，整理得 cos 2C＋ cos C＞0，即2 cos 2C＋ cos C－1＞0， 所以（2 cos C－1）（ cos C＋1）＞0，解得 cos C＞ 或 cos C＜－ 1（舍去），因此 cos C＞ .又因为C为△ABC的内角，所以 C∈ .故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝ x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－ 2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·无锡第一中学期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，D为边AC的中点，c＝1，BD＝ ，∠ABD ＝ ，则a＝ 　 　. 解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD· cos ∠ABD＝1＋ 2－2×1× × ＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋ AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），则A ＝ ⁠. 解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋ bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴ cos A＝ ＝ ＝－ .∵0° ＜A＜180°，∴A＝120°. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ . 当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c ＝2； 当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所 以c＝2 . 综上所述，c的值为2或2 . 10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C ＝ ，a＝2 ，b＝2，求c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·梅村高中月考）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的 等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.其中顶角为 36°的等腰三角形的底与腰之比为 ，这种黄金三角形被认为 是最美的三角形.根据这些信息，则 cos 36°＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC， ＝ .设AB ＝2x，BC＝（ －1）x，则 cos 36°＝ ＝ ＝ .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）在△ABC中，下列结论一定成立的是（　　） A. c＝a cos B＋b cos A B. sin （A＋B）＝ sin C C. cos （A＋B）＝ cos C D. b2＝（a－c）2＋2ac（1－ cos B） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，a cos B＋b cos A＝a· ＋ b· ＝ ＝ ＝c，故A正确；对 于B，由诱导公式得B正确；对于C， cos （A＋B）＝－ cos C， 故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac（1－ cos B）＝a2＋c2－2ac ＋2ac－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos B＝b2，故D正确.故选A、 B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 在非等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围 为 ⁠. 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞ 0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是 （60°，90°）. （60°，90°）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 x＋2＝0 的两个根，且2 cos （A＋B）＝1. （1）求角C的度数； 解： cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B） ＝－ ，又0°＜C＜180°，所以C＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求AB的长度. 解： 因为a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两个根， 所以 所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2 ＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝ （2 ）2－2＝10. 所以AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C＋（ cos A－ sin A） cos B＝0. （1）求B的大小； 解： 由已知得，－ cos （A＋B）＋ cos A cos B－ sin A· cos B＝0， 即 sin A sin B－ sin A cos B＝0. 因为 sin A≠0，所以 sin B－ cos B＝0. 又 cos B≠0，所以tan B＝ . 又0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若a＋c＝1，求b的取值范围. 解： 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 因为a＋c＝1， cos B＝ ，所以b2＝3（a－ ）2＋ . 又0＜a＜1，所以 ≤b2＜1，即 ≤b＜1， 即b的取值范围为［ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $