9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标表示，涵盖坐标计算公式、模长、夹角及垂直条件等核心知识点。课堂通过“已知向量坐标如何表示数量积与垂直”的问题情境导入，衔接向量数量积定义，搭建从抽象定义到坐标运算的学习支架。 其亮点在于以新课标核心素养为导向，通过典型例题多解法（如例1两种算法）、母题探究变式训练，强化数学抽象与数学运算能力。通性通法总结（如向量模的两种策略）帮助学生构建知识体系，助力教师高效教学，提升学生解题思维与应用能力。

第2课时　 向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个 平面向量的夹角 数学抽象 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）. 【问题】　（1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？ （2）a⊥b如何用坐标来表示？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点　向量数量积的坐标表示 1. 向量数量积的坐标计算公式 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ ⁠. 2. 向量长度（模）的坐标计算公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝ ，即｜a｜ ＝ ⁠； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜ ＝ ⁠. x1x2＋y1y2　 x2＋y2　 　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 向量夹角的坐标计算公式 设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝ 　 　. 4. 向量垂直的充要条件 若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即 a⊥b⇔ ⁠. 　 x1x2＋y1y2＝0　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列结果中正确的是（　　） A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜ D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4 解析： 　对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝ －b，故B错误；对于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正确； 对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D错误.故选 A、C. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（　　） A. 0 B. 10 C. 6 D. －10 解析： 　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·宿迁宿豫中学月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1， －2），则向量a与b夹角的大小为 ⁠. 解析：由题意得， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝ （3，2）. （1）求a·（a－b）； 解： 法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－ 4）＋2×0＝4. 法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2] ＝4. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5， 2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋ 4×2＝－2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性 质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行 数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计 算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之 差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3， x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝ 30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， ＝2 ，则 · ＝ ⁠. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A （0，2），E（2，1），D（2，2），B（0， 0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F （ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2） －（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2， 1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量的模、夹角、垂直问题 【例2】　（链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3， 1），C（4， －1），若a＝ ，b＝ .求： （1）｜a－2b｜； 解： 由题意，得a＝ ＝（2， 1），b＝ ＝（3， －1）， 因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3）， 所以｜a－2b｜＝ ＝5. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）∠BAC的大小； 解： a与b的夹角为∠BAC， 因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝ ， ｜b｜＝ ， 所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ . 又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）B到直线AC的距离； 解： B到AC距离为｜ ｜ sin ∠BAC＝ ｜ ｜ sin ＝ · ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值. 解： λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4，3）， 因为（λa－b）⊥（a－2b）， 所以（λa－b）·（a－2b）＝0. 即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0， 解得λ＝3. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦 值. 解：因为a＋b＝ ＋ ＝（5，0），a－b＝ － ＝（－ 1，2）， 所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋ b｜＝5，｜a－b｜＝ ， 故 cos θ＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： ＝（－4，2）， ＝（－3，k＋1）， ＝（1，k－ 1）， 若∠A＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×（－3）＋2× （k＋1）＝0，解得k＝－7； 若∠B＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×1＋2×（k－ 1）＝0，解得k＝3； 若∠C＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－3）×1＋（k＋1） ×（k－1）＝0，解得k＝±2. 所以k的值为－7或3或±2. 2. （变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， － 1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角 形”，试求k的值. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化 为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2 ＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出 cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ 的取值范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ 的值时，要注意 cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角， 二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐 角，二是θ为0°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝ （　　） A. B. C. 5 D. 25 解析： 　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ， ∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50， ∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x， 2），且a与b夹角的余弦值为 ，则x＝ ⁠. 解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝ ＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，显然x＜4，则x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11. 1或－11 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 向量坐标运算的综合应用 【例3】　已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）. （1）求证：AB⊥AD； 解： 证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， ∴ ＝（1，1）， ＝（－3，3）， 则 · ＝1×（－3）＋1×3＝0， ∴ ⊥ ，即AB⊥AD. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角 线的长度. 解： ∵ ⊥ ，四边形ABCD为矩形，∴ ＝ . 设点C的坐标为（x，y）， 则 ＝（x＋1，y－4）， 从而有即 ∴点C的坐标为（0，5）. ＝（－2，4）， ＝ ＝2 ， 故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 利用向量解决平面几何问题的基本思路 　　利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解 题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直 角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF. 求证：（1）DP⊥EF； 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而 ＝（1，0）， ＝（0，1）. 由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），因此 ＝（a，a－1）， ＝（1－a，a）. （1）因为 · ＝a（1－a）＋（a－1）a＝0， 所以 ⊥ ，因此DP⊥EF. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）DP＝EF. 证明：因为｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，所以｜ ｜＝｜ ｜，因此DP ＝EF. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （2024·苏州盛泽中学月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－ 1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（　　） A. 10 B. －10 C. 3 D. －3 解析： 　由题意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1， 2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－ 10.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确 的是（　　） A. ｜a｜＝b2 B. a·b＝0 C. ｜a｜＝｜b｜ D. （a－b）⊥b 解析： 　因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故 A正确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜ ＝ ，故｜a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2 －2＝0，故D正确.故选A、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a ＋c）⊥b，则｜a｜＝ ⁠. 解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b ＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－ ，则a＝（1，－1）， 故｜a｜＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知a＝（1，2），b＝（1，－1）. （1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； 解： 因为a＝（1，2），b＝（1，－1）， 所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）. 所以 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值. 解： ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　） A. 3 B. C. － D. －3 解析： 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4， ∴x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·宿迁月考）已知点P（2，4），Q（1，6），向量 ＝ （2，λ），若 · ＝0，则实数λ＝（　　） A. B. － C. 2 D. 1 解析： 　由P（2，4），Q（1，6）可得 ＝（－1，2）， 又 ＝（2，λ），所以 · ＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状 是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析： 　∵ ＝（8，－4）， ＝（2，4），∴ · ＝ 8×2＋（－4）×4＝0，∴ ⊥ ，∴△ABC是直角三角形.故 选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·镇江月考）已知 ＝（－3，－2）， ＝（m，1）， ＝3，则 · ＝（　　） A. 7 B. －7 C. 15 D. －15 解析： 　依题意可得 ＝（3，2）， ＝ ＋ ＝（3，2） ＋（m，1）＝（3＋m，3）， ＝ ＝3，解得 m＝－3，所以 ＝（－3，1）， · ＝（3，2）·（－3，1） ＝－9＋2＝－7，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的 是（　　） A. 若｜b｜＝2，则m＝ B. 若a⊥b，则m＝2 C. 若｜a｜＝｜b｜，则m＝2 D. 若m＝－3，则a，b的夹角为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　若｜b｜＝2，则 ＝4，解得m＝± ，所以 A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜ a｜＝｜b｜，则 ＝ ，解得m＝2或m＝－2，所以C错 误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ， 可得 cos θ＝ ＝ ＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以 θ＝ ，所以D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P 在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则 与 夹角的余弦值可能为（　　） A. － B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x）， 与 的 夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，当x＞0时， cos θ＝ ，当x＜0时， cos θ＝－ .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m ＝ ⁠. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要 条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝ －1，则｜n｜＝ ⁠. 解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·扬州质检）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝λ－1.又∵a，b的 夹角α为钝角，∴即∴λ ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）. （－∞，－1）∪（－ 1，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C （－2，－1）. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 解： 由题设知 ＝（3，5）， ＝（－1，1）， 则 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）. 所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 . 故所求的两条对角线的长分别为2 ，4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设实数t满足（ －t ）· ＝0，求t的值. 解： 由题设知， ＝（－2，－1）， －t ＝ （3＋2t，5＋t）， 由（ －t ）· ＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－ 1）＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n· ＝（　　） A. －2 B. 2 C. －2或2 D. 0 解析： 　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即 n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （2024·淮安月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC ＝2，点E在边CD上，且 ＝2 ，则 · ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所 在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB ＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C （ ，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且 ＝2 ，∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），∴ · ＝－ ＋4＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x 轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为 ⁠ ⁠. 解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2）， ＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）× （－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， · 有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. （3， 0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）. （1）若｜c｜＝2 ，且c与a 方向相反，求c的坐标； 解： 设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝ 2 ，可没c＝λa（λ＜0）.得 所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2， 所以所以c＝（－2，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解： 因为（a＋2b）⊥（2a－b）， 所以（a＋2b）·（2a－b）＝0， 即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0， 所以2×5＋3a·b－2× ＝0， 所以a·b＝－ ， 所以 cos θ＝ ＝－1. 又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. （2024·南京质检）已知a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），且｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜（k＞0）. （1）用k表示数量积a·b； 解： 由｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜，得（ka＋b）2 ＝3（a－kb）2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， 所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0. 又a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），所 以｜a｜＝｜b｜＝1， 所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角. 解： 由（1）得a·b＝ ＝ （k＋ ）. 令f（k）＝ （k＋ ）， 由函数的单调性，得f（k）＝ （k＋ ）在（0，1]上单调 递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝ ×（1＋1）＝ . 设此时a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，所以θ ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $