9.2.3 第2课时 向量数量积的运算律及性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律及性质，通过回顾向量加法、数乘运算律创设情境，引导学生从已知运算律出发探究数量积运算律，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于类比多项式乘法构建运算性质（数学语言），结合平行四边形等几何图形实例培养数学眼光，通过分层例题与训练（自我诊断、跟踪训练）发展数学思维。既帮助学生深化理解，又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第2课时　 向量数量积的运算律及性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加 法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以 及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb. 【问题】　根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些 运算律？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点　向量数量积的运算律 1. 向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 （1）交换律：a·b＝ ⁠； （2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ⁠＝ λa·b； b·a　 λ（a·b）　 （3）分配律：（a＋b）·c＝ ⁠. a·c＋b·c　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　（1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为 非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2） （a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实 数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与 向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不 成立. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算 性质. 多项式乘法 向量数量积 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝ ⁠ （a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝ ⁠ ⁠ （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ 2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋2a·b＋b2　 a2－ b2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ ⁠ ⁠. 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65. － 65　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的 夹角是 ⁠. 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]， ∴θ＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b夹角为60°，则｜a－4b｜ ＝ ⁠. 解析：｜a－4b｜＝ ＝ ＝ ＝2 . 2 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量的数量积的运算律及性质 【例1】　（1）（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互 不共线，给出下列结论，正确的是（　ACD　） A. a·c－b·c＝（a－b）·c B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 ACD 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 对于A，根据数量积的分配律知A正确；对于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故B错误；对于C，∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正确；D正确.故选A、C、D. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（2024·扬州月考）如图，在▱ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝3，∠DAB＝60°，则 · ＝ ⁠. 解析： 因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7. －7　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求含向量线性运算的数量积的一般方法 　　运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两 个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利 用向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式， 再进行实数运算. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·江苏海门中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝ ，a与b 的夹角为 ，则（a＋b）·（2a－b）＝（　　） A. 2 B. 8 C. D. 5＋ 解析： 　因为a·b＝2× cos ＝3，所以（a＋b）·（2a－b） ＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·苏州盛泽中学月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝ 2 ，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且 AE＝BE，则 · ＝ ⁠. 解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝ ∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2 ，所以AE＝ BE＝2.因为 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos 60°－2×2 × cos 30°＝－1. －1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量的夹角与模 【例2】　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝ 61. （1）求a与b的夹角θ； 解： 由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b －3｜b｜2＝61. 将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以 cos θ＝ ＝ ＝－ . 又0≤θ≤π，所以θ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求｜a＋b｜. 解： 因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2 ＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13， 所以｜a＋b｜＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 求向量模的一般思路及常用公式 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 求向量a，b的夹角θ的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上 结合数量积的定义或性质计算 cos θ＝ ，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ值； （2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消 元思想计算 cos θ的值. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·江苏启动中学月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜ ＝2，若a与b的夹角为 ，则｜a＋b｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 解析： 　因为｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2× ＝ 7，所以｜a＋b｜＝ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b， 则a与b的夹角是（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 由题可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b， （b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜. 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为 θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 与垂直有关的问题 【例3】　已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的 余弦值为 ，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A. 4 B. －4 C. D. － √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2 ＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝ 0，所以t＝－4. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求解向量垂直问题的一般思路 　　对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性 质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方 程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·连云港赣榆期中）在△ABC中，若 ＝a， ＝b， ＝c，且（a－b）⊥c，则△ABC的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　c＝ ＝ － ＝－a－b，由（a－b）⊥c得， （a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2 －｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－ b），则向量a与b夹角的大小为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝ 3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0，所以 cos θ＝ ，又 0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. 60°　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝ （　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析： 　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜ ＝ ，且｜a－b｜＝2，则a·b＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4， 所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a，b的夹角为60°，且｜ a｜＝3，｜a＋b｜＝ ，则｜b｜＝ ⁠. 解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝ ｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋ 2×（ ｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解 得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，则a 与b夹角的大小为 ⁠. 解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－ 3a·b＝－ ，∴a·b＝ .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ .又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°. 30°　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. （2024·江苏泰州中学期中）已知单位向量e1，e2的夹角为120°， 则（2e1－e2）·e2＝（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　（2e1－e2）·e2＝2e1·e2－ ＝2｜e1｜·｜e2｜ cos 120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－ ）－12＝－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋ b｜＝（　　） A. B. C. 7 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°， ∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b） ＝｜a｜2－a·b＝1×1× ＝ ，即a·b＝ ，可得｜b｜＝1， ∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2× ＋1＝3，即｜a ＋b｜＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（　　） A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜ C. a⊥b D. a∥b 解析： 　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝ 0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，则a·b＝ （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析： 　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－ 2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，则△ABC的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即 ·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ － ）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等 腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足 ＝2a， ＝2a＋b，下列结论正确的是（　　） A. a是单位向量 B. ∥b C. a·b＝1 D. ⊥（4a＋b） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，因为｜ ｜＝2， ＝2a，所以｜a｜＝ ＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为 ＝ － ＝2a＋b－2a＝b，所以 ∥b，故B正确；对于C，由 ＝ 2a＋b，得 ＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b ＝－ ＝－1≠1，故C错误；对于D，因为 ＝b， ·（4a＋ b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以 ⊥（4a＋b）， 故D 正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b） ＝ ⁠. 解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜ a，b＞＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－ －1＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则 a与b的夹角θ＝ ⁠. 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜ b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝ －｜a｜2，则2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又 0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a ＋b垂直，则实数k的值为 ⁠. 解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因为2a＋kb与a＋ b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b ＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5. －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. （2024·南京六校联合体期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a与b 的夹角是60°. （1）计算a·b，｜a＋b｜； 解： 由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝2×2× ＝2， ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋ b｜＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求a＋b和a的夹角的余弦值. 解： ∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6， 设a＋b和a的夹角为θ， ∴ cos θ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 已知向量a，b满足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，则｜a｜｜ b｜的最大值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 　∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a －b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a －b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜ ≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）（2024·扬州红桥高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜ ＝2，它们的夹角为60°，则（　　） A. a·b＝1 B. ｜2a＋b｜＝2 C. ｜2a－b｜＝2 D. 向量a与向量a－b的夹角为90° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝1×2× ＝ 1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝ ＝ ＝2 ，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝ ＝ ＝2，故C错误；对于D，a·（a－ b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的 中点，则 · ＝ ⁠. 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：∵N是BC边的中点，可得 ＝ （ ＋ ），∵M是 △ABC的外接圆的圆心，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAM＝ ｜ ｜2＝ ×42＝8，同理可得 · ＝ ｜ ｜2 ＝18，∴ · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝ ×8＋ ×18＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. （2024·徐州丰县中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a ＋b｜＝2 . （1）求a与b的夹角； 解： 由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12， 又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4， 所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ， 又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，即a与b的夹 角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求｜a－2b｜的值； 解： 由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－ 4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2 . （3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求实数k的值. 解： 由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a ＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0， 又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k ＝0，解得k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）. （1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： ∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， ∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ， ∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ， 又 ＝λ ＋μ ， ∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值. 解： 设 ＝m （0≤m≤1）， 则 ＝ ＋ ＝ －m ， 又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， · ＝0， ∴ · ＝（ ＋ ）·（ － m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 故m＝ . ∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ ＝3＋2＝5， 易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $