9.2.3 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦向量数量积的概念、运算及投影向量，以物理中“功”的实例导入，通过旧知（力与位移的关系）引出新知，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解数量积的物理意义与几何意义。 其亮点在于结合数学抽象与逻辑推理，通过情境导入、分层练习（自我诊断、跟踪训练等）及“通性通法”总结，如定义法求数量积、投影向量求解方法，培养学生运算能力与推理意识。学生能夯实基础提升思维，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

9.2.3　向量的数量积 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数 量积的概念及其物理意义，会计算平面向 量的数量积 数学抽象、数学运算 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念 以及投影向量的意义 数学抽象 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系 逻辑推理 第1课时　 向量数量积的概念、运算及投影向量 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产 生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜ cos θ，其中θ是F与 s的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启 示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我 们引入向量“数量积”的概念. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【问题】　两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量 ⁠ 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即 a·b＝ ⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ ⁠. 提醒　（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省 略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可 正、可负、可为0. ｜a｜｜b｜ cos θ　 a·b　 ｜a｜｜b｜ cos θ　 0　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 两个非零向量a和b的夹角θ，可以由 cos θ＝ 求得. 3. 平面向量数量积的性质 　 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的 单位向量.则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔a·b＝0； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ； （4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 　已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角 对吗？ 提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　投影向量 1. 定义：设a，b是两个非零向量，如图， 表示向量a， 表示 向量b，过点A作 所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述 由向量a得到向量 的 称为向量a向向量b投影，向 量 称为向量a在向量b上的投影向量. 变换　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为 ⁠ ⁠. 3. 向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上 的 与向量b的数量积. 提醒　（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量； （2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于 a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a 在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个 向量. （｜a｜ cos θ） 　 投影向量　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 对任意向量a，都有a2＝｜a｜2 B. 若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c C. 若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b D. 若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为 时，a·b＝ （　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 解析： 　根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a， b＞＝4×2× cos ＝4. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·扬州红桥高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的 夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为 ⁠. 解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞· ＝ ×（－ ）a＝－ a. － a　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平面向量数量积的有关概念 【例1】　（多选）下列叙述正确的是（　　） A. a·0＝0 B. a·0＝0 C. 若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0 D. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C 中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当 cos θ＝0时，a·b ＝0，故C错误，D正确.故选B、D. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实 数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果， 所以最后的值由｜a｜，｜b｜及 cos ＜a，b＞所决定.即有以下结 论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则 （1）当θ＝0时， cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜； （2）当θ为锐角时， cos θ＞0，a·b＞0； （3）当θ为直角时， cos θ＝0，a·b＝0； （4）当θ为钝角时， cos θ＜0，a·b＜0； （5）当θ＝π时， cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（多选）已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是 （　　） A. a·b＝±｜a｜｜b｜⇔a∥b B. a与b同向⇔a·b＝｜a｜｜b｜ C. ｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ D. 若a·b＝0，则＜a，b＞＝ √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜ b｜且a，b为非零向量可得 cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以 a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0， 所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正 确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就 有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜ ＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜ a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，即 cos ＜a，b＞＝0，又因为＜a，b ＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故D正确. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量数量积的运算 【例2】　（链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为 120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－ 2b·b； 解： ①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4） －2×4＝12. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③ · . 解： ①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝1×1× ＝ . ②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ . ③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 60°＝1×1× ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜ b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角， 条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合 以上条件. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　 1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A. B. C. D. π 解析： 　设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·南通月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝ 3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝ （　　） A. －7 B. 7 C. 25 D. －25 解析： 　由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝ 90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180° －A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－ 25.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 投影向量 【例3】　（链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝ 1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； 解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－b. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）b在a上的投影向量的模. 解： 由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模 为｜b｜｜ cos 120°｜＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜ a｜｜ cos θ｜为a在b上投影向量的模. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·扬州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a 在向量b上的投影向量为（　　） A. － b B. － b C. b D. － b 解析： 　因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以 cos θ＝ ＝ ＝－ ，则a在b上的投影向量是｜a｜ cos θ ＝2× （－ ）× ＝－ b.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夹角为 ，则a在b上的 投影向量的模为（　　） A. 1 B. C. D. 解析： 　由题意，a在b上的投影向量的模为｜a｜ cos ＝1× ＝ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝ （　　） A. 3 B. －3 C. －3 D. 3 解析： 　由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ C. 若a⊥b，则a·b＝0 D. ｜a｜＝ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 对于B，根据向量加法的三角形法则，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜ b｜，只有当a，b同向或a，b中至少有一个为0时取“＝”，所 以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a ＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确.故 选C、D. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝ ，则 · ＝ ⁠. 解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45° ＝2. 2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于 45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量. 解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 45°·e＝ 6× e＝3 e； 当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 90°·e＝6×0×e ＝0； 当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 135°·e＝6× （－ ）e＝－3 e. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水 平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A. 100 J B. 50 J C. 50 J D. 200 J 解析： 　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W ＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角” 的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞＞ 0，故 cos ＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n ＞＝0或＜m，n＞∈（0， ），反之，若＜m，n＞∈（0， ），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的 必要不充分条件，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影 向量的模为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 解析： 　设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量 的模为｜a｜ cos θ＝ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·徐州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝ b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos 60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜ ｜＝4，则 · ＝（　　） A. 4 B. 8 C. 8 D. 16 解析： 　法一　依题意，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜ ｜，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝｜ ｜ × ｜ ｜＝4×2＝8. √ 法二　结合圆的性质易得 在 上的投影向量为 ，所以 · ＝ ＝ ×42＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是 （　　） A. 0 B. C. 2 D. 3 解析： 　由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知 A、B、C正确.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形 状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方 形”）. 解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC􀱀AD， 所以四边形ABCD是矩形. 矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·苏州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为 b，则 a·b的值为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜· cos θ ＝ b，∴｜ a｜· cos θ ＝ ，∴｜a｜· cos θ＝ ，∴a·b＝｜a｜｜ b｜ cos θ＝3× ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则 · ＝ ⁠. 解析：法一　 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－∠B）＝ －｜ ｜｜ ｜· cos B＝－｜ ｜｜ ｜· ＝－｜ ｜2＝－1. －1　 法二　｜ ｜＝1，即 为单位向量， · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos B，而｜ ｜· cos B＝｜ ｜，所以 · ＝ －｜ ｜2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 在△ABC中，AC＝3，向量 在 上的投影向量为－2 ，S△ABC＝3，求BC的长度. 解：因为向量 在 上的投影向量为－ 2 ，故∠BAC为钝角， 如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上， 而向量 在 上的投影向量为 ＝｜ ｜× cos BAC× ＝－｜ ｜× ，故｜ ｜＝2. 又S△ABC＝3，所以 ×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·泰州月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中 θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6， 则｜a×b｜＝（　　） A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6 解析： 　 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确 的是（　　） A. cos θ＞0⇔e1·e2＞0 B. 若e1∥e2，则e1·e2＝1 C. 若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D. ｜e1·e2｜≤1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，∴若 cos θ ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有 cos θ＞0，故A正确； e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反 向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1， 故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP ＝3，则 · ＝ ⁠. 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点， · ＝ · ＝2 · ，因为 在 上的投影向量为 ，则 · ＝ · .所以 · ＝2 · ＝2｜ ｜2＝2×32＝ 18. 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. （2024·无锡月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝x ＋y . （1）若 ＝ ，求x，y的值； 解： 若 ＝ ，则 ＝ ＋ ， 故x＝y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹 角为60°，求 · 的值. 解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 . 又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ . 所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ . 设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值 为－ . 所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB 上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 ， 表示 向量 ； 解： 由已知可得 ＝ ， ＝ － ，易得OAMB是菱形（图略），则 ＝ ＋ ， 所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求 · 的取值范围. 解： 易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ， 则 · ＝ × × cos 60°＝ ； 当MC与MO重合时，MC最大， 此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ ， 所以 · 的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $