9.2.2 第1课时 向量的线性运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦向量数乘运算及线性运算，通过蚂蚁运动位移实例导入，衔接向量加减知识，为后续共线向量学习铺垫，以情境问题、自我诊断题搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、数学运算与逻辑推理核心素养，如蚂蚁位移实例抽象向量数乘关系，分层例题（从基础化简到综合证明）提升运算能力，通性通法总结助学生掌握推理逻辑，既让学生深化概念理解，也为教师提供结构化、易操作的教学资源。

9.2.2　向量的数乘 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运 算法则，理解其几何意义 数学抽象 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 数学运算 3.理解两个向量共线的含义 逻辑推理 第1课时　 向量的线性运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如 果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运 动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的 位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 【问题】　（1）在相反方向上经过4 s的位移所对应的向量应该怎样 表示呢？ （2）类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a ＋a＋a的结果吗？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　向量的数乘 1. 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，实数λ与向量 a相乘的运算叫作向量的数乘. 规定：（1）当 ，且a≠0时，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜； （2）若a≠0，则 ①当 时，λa与a方向相同； ②当 时，λa与a方向相反； ③当 时，0a＝0； λ≠0　 λ＞0　 λ＜0　 λ＝0　 （3）当a＝0时，λ0＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 向量数乘λa的几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ＜0 时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小. 3. 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 相同　 相反　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么： （1）λ（μ a）＝ ⁠； （2）（λ＋μ）a＝ ⁠； （3）λ（a＋b）＝ ⁠. 提醒　当a≠0时，向量 是与向量a同向的单位向量. （λμ）a　 λa＋μ a　 λa＋λb　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中正确的是　　（　　） A. 4a与－4a的模相等 B. a与－λa的方向相反 C. λ（a－b）＝λa－λb D. 若λa＝0，则a＝0 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜ 4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正 确；B中，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；C中，由 数乘运算的分配律得C正确；D中，若λa＝0，则a＝0或λ＝0， 故D错误.故选A、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中，D是BC的中点，则 ＋ ＝（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 解析： 　由题意 ＝－ ， ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝2 ，故选A. 3. （2024·盐城月考）化简：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－ a）＝ ⁠. 解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a ＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 14a－9b　 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量的数乘及其几何意义 【例1】　（多选）已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是（　　） A. λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B. λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C. λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D. λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A、B，由向量数乘的定义知，当λ＞0时，λa与 a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，故A、B正确；对于C、 D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同 向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异 号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反 向，故C正确，D错误.故选A、B、C. 通性通法 　　λ的正负决定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小决定λa的模. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知a，b为非零向量，则下列命题正确的序号是 ⁠. ①2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； ②要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2 倍； ③－2a与2a是一对相反向量； ④a－b与－（b－a）是一对相反向量. ①②③　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：对于①，2a＝a＋a与a方向相同，且｜2a｜＝｜a＋a｜ ＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故①正确；对于②，根据向量数乘的概 念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度 伸长为原来的2倍，故②正确；对于③，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a ＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故③正确；对于④，∵－（b－ a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－ （b－a）与a－b是相等向量，故④错误. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量的线性运算的几何作图 【例2】　（链接教科书第17页例1）如图，已知向量a，b，求作向 量3a－2b. 解：法一　如图①，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝2b， 连接BA，则 ＝ － ＝3a－2b. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　如图②，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝－2b，连 接OB，则 ＝ ＋ ＝3a＋（－2b）＝3a－2b. 法三　如图③，在平面 内任取一点O，作 ＝3a， ＝－2b，分 别以OA，OC为邻边作 ▱OABC，▱OABC的 对角线记作OB，则向 量 为所求作的向量. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算 法则，更要理解其几何意义.在作向量的差时，可以把“差”转换成 “和”来作. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋ c. 解：法一　如图①，由向量的加法可知，向量 ＝3a－2b＋ c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　如图②，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，分别以AB， AC为邻边作▱ABDC， 以▱ABDC的对角线AD及AE为邻边作▱AEFD，则向量 ＝3a－ 2b＋ c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 向量的线性运算 【例3】　（1）（链接教科书第17页例2）计算： ①3（a＋b）－2（a－2b）； ②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）. 解： ①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b. ②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（链接教科书第18页练习第5题）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－ 5j，求5a－3b（用i，j表示）. 解： 5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j） ＝5i＋10j－9i＋15j ＝－4i＋25j. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 向量线性运算的基本方法技巧 （1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类 项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是 指向量或向量前的实数，实数可看成是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用 解代数方程的方法求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·淮安月考）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），则 x＝ ⁠. 解析：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋ 3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 2. 已知向量e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1 －e2，求 a－2b（用e1，e2表示）. 解： a－2b＝ （3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋ e2. －8a＋9b－3c　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知λ∈R，则下列结论中正确的是（　　） A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0 解析： 　当λ＞0时，λa方向与a方向相同，大小等于λ｜ a｜；当λ＜0时，λa方向与a方向相反，大小等于｜λ｜｜ a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确；｜ λa｜≥0，故D错误.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）下列运算正确的是（　　） A. （－3）·2a＝－6a B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a C. a－2b＋2（a＋b）＝3a D. （a＋2b）－（2b＋a）＝0 解析： 　根据向量数乘运算和加减运算规律知A、B、C正 确；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零 向量，而不是0，故D错误.故选A、B、C. √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若 ＋ ＝λ ，则λ＝ ⁠. 解析：在平行四边形ABCD中， ＝ ＋ ＝2 ，所以λ ＝2. 2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点.求 证： ＝ （ ＋ ）. 证明：因为E是AD的中点，F是BC的中点， 所以 ＝－ ， ＝－ ， 所以 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ， 所以 ＝ （ ＋ ）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 3（a＋b）－2（a－b）－a＝（　　） A. 5a B. －5a C. 5b D. －5b 解析： 　根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 点C在直线AB上，且 ＝3 ，则 ＝（　　） A. 2 B. C. － D. －2 解析： 　如图， ＝3 ，所以 ＝2 .故选 A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·泰州中学期中）如图，向量a－b＝（　　） A. e1－3e2 B. －4e1－2e2 C. －2e1－3e2 D. －e1＋3e2 解析： 　如图，设a＝ ，b＝ ，所以a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ＝ ＝－e1＋3e2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在△ABC中， ＝3 ，则3 ＝（　　） A. ＋4 B. －4 C. 4 － D. －4 解析： 　3 ＝3（ ＋ ）＝3（ ＋ ）＝3 ＋4 ＝3 ＋4（ － ）＝4 － .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是 （　　） A. m（a－b）＝ma－mb B. （m－n）a＝ma－na C. 若ma＝mb，则a＝b D. 若ma＝na，则m＝n 解析： 　m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma －na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0， 则m，n不一定相等，D错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则 － ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　如图， － ＝ － ＝ ＝ ＝ .故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 计算： （a－b）－ （2a＋4b）＋ （2a＋13b）＝ ⁠. 解析：原式＝ a－ b－ a－ b＋ a＋ b＝（ － ＋ ）a＋ （－ － ＋ ）b＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ 的值是 ⁠. 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝ 3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± . ± 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·苏州吴江中学月考）在△ABC中， ＝c， ＝b，点 M满足 ＝λ （0＜λ＜1），若 ＝ b＋ c，则λ的值 为 ⁠. 解析：由题意得， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝λ ＋（1－λ） ＝λb＋（1－λ）c＝ b＋ c. 所以λ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 计算： （1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）； 解： 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. （2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）. 解： 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c） ＝6a＋2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·江苏海门中学月考）点O是平行四边形ABCD的两条对角 线的交点， ＝a， ＝b， ＝c，则b＋c－a＝（　　） A. B. C. 0 D. 解析： 　b＋c－a＝－ ＋ － ＝－（ ＋ ）＋ ＝－ ＋ ＝－ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使 ＋ ＝0成立的条件是（　　） A. a＝－2b B. a＝2b C. a＝b D. a＝－b 解析： 　因为与a同向的单位向量为 ，与b同向的单位 向量为 ，若 ＋ ＝0，则a，b方向相反.故选 A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 若2（y－ a）－ （c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c为已知 向量，则未知向量y＝ ⁠. 解析：将原等式变形为2y－ a－ c－ b＋ y＋b＝0，即 y－ a－ c＋ b＝0， y＝ a－ b＋ c，∴y＝ （ a－ b＋ c） ＝ a－ b＋ c. a－ b＋ c　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋ 2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f. （1）用e，f表示 ； 解： 由题意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋ （－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－ 3）f＝－8e－2f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）证明四边形ABCD为梯形. 解： 证明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－ f）＝2 ，即 ＝2 . 根据向量数乘的定义， 与 同方向，且 的长度为 的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且 AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边 的中点，O在线段DE上，且满足 ＋2 ＋3 ＝0，DO＝ 2，求AB的长. 解：如图，因为 ＋2 ＋3 ＝（ ＋ ）＋2（ ＋ ）＝2 ＋4 ＝0， 所以 ＝2 ，所以DE＝3DO. 又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $