9.2.1 第1课时 向量的加法运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦向量的加法运算，通过景点位移情境导入，从实际问题引出向量关系，搭建生活实例到数学抽象的学习支架，系统讲解定义、三角形法则、平行四边形法则及运算律。 其亮点在于以直观想象为基础，结合数学抽象设计例题与跟踪训练，通过通性通法总结提升数学思维，分层练习落实核心素养。学生能深化概念理解，教师可高效开展教学。

第1课时　 向量的加法运算 新课程标准解读 核心素养 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量 加法运算，理解其几何意义 数学抽象 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则， 并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直 接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B. 利 用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为 ，从景点A到景点B 的位移为 ，由景点O到景点B的位移是 . 【问题】　向量 ， ， 三者之间有何关系？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1. 定义：求两个向量和的运算. 2. 向量求和的运算法则 三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝ b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a＋b ＝ ＝ a＋b　 ＋ 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 平行四 边 形法则 对于任意两个 的非零向量a，b，分别作 ＝ a， ＝b，以OA，OC为邻边作 ，则以O 为起点的对角线表示的向量 就是向量a与b的和 提醒　（1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再 首尾相连”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强 调两个向量起点相同. 不共线　 ▱OABC　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 提醒　｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a ＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是 方向相同的非零向量时，等号成立. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则a＋b＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 ＋ ＝ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）下列说法正确的是（　　） A. a＋0＝a B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ C. a＋b＝b＋a D. ＝ ＋ ＋ 解析： 　A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜ a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错 误；C、D正确.故选A、C、D. √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在正方形ABCD中，若｜ ｜＝1，则 ＋ ｜＝ ⁠. 解析：根据向量加法的平行四边形法则知， ＋ ＝ ，则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量加法的运算法则 【例1】　（链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a ＋b； 解： 首先作向量 ＝a， 然后作向量 ＝b， 则向量 ＝a＋b.如图③所示. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解： 法一（三角形法则）　如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再 作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作 向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋ b＋c即为所求. 法二（平行四边形法则）　如图⑤所示， 目录 数学·必修第二册 (SJ) 首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则 ＝ ＋ ＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC， 连接OE， 则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求作和向量的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向 量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两 个向量的和.一定要注意首尾相接； （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作 两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行 四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个 向量的和. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·连云港月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（　） A. B. C. D. √ 解析： 　以OP，OQ为邻边作平行四边形， 如图所示，则 ＋ ＝ ，由 和 的 模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边 三角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量加法运算律的应用 【例2】　（链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝ ＋0＝ . 解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝0. （2）（ ＋ ）＋（ ＋ ）； 解：法一　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ . （3） ＋ ＋ ＋ ＋ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. 2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如 （a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋ e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）. 3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋ ＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＝ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心. 则：① ＋ ＝ ⁠； 或 　 ② ＋ ＋ ＝ ⁠； ③ ＋ ＋ ＝ ⁠. 　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：① ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 或 ＋ ＝ ＋ ＝ . ② ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . ③ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 向量加法的实际应用 【例3】　（链接教科书第12页例2）如图，在长江南 岸某渡口处，江水以10 km/h的速度向东流，渡船在静 水中的速度为20 km/h. （1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度； 解： 作出图形，如图. 设 表示水流的速度， 表示渡船的静水 速度， 表示渡船的实际速度. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确 定？ 解： 船速v船与正北方向成α角，由图可知，v水＋v船＝v实际，即 ＋ ＝ . ∴四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜ ＝10 km/h，｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h， ∴ sin α＝ ＝ ＝ ，∴α＝30°，从而渡船行进的方向 与正北方向成30°的角. 故渡船行进的方向应为北偏西30°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多 少km？ 解：由图可知｜ ｜＝ cos α｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝ 10 （km/h）， 则经过3小时，该船的实际航程是3×10 ＝30 （km）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于 水流的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切 值”. 解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h，｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h， 渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则 tan∠BAC＝ ＝2. 即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着 地时速度的大小和方向. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：如图，用 表示无风时雨滴下落的速度， 表示风 使雨滴水平向东的速度.以 ， 为邻边作平行四边形 OACB，则 就是雨滴下落的实际速度. 在Rt△OAC中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝｜ ｜＝ ， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ， 所以tan∠AOC＝ ＝ ＝ ，所以∠AOC＝30°. 故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方 向成30°角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是 （　　） A. ＋ ＋ B. ＋ ＋ C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ 解析： 　在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B 中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .故选A、B、D. √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·南通月考）a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜ b｜，则（　　） A. a，b同向 B. a，b反向 C. a＝－b D. a，b无论什么关系均可 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b 的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向 时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜ ＋｜b｜；向量a与b反向且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的 方向相同（与a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故 选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，在矩形ABCD中， ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方 向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿 ⁠ 的方向前进，速度为 ⁠. 解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝ 8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方 向前进，速度为8 km/h. 与水流方向 成60°　 8 km/h　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. （2024·扬州邗江一中月考）下列向量关系式中，正确的是 （　　） A. ＝ B. ＋ ＝ C. ＋ ＝ D. ＋ ＋ ＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A， ＝－ ，故A错误；对于B，由 ＋ ＝ ＝－ ≠ ，故B错误；对于C， ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有 ＋ ＋ ＝ ，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在四边形ABCD中， ＋ ＝ ，则四边形ABCD是（　　） A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 解析： 　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为 邻边的平行四边形.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·淮安月考）若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示 “向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　） A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km C. 向北偏东60°方向航行2 km D. 向东北方向航行（1＋ ）km 解析： 　如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 ＋ ＝ ，则下列结论中正确的是（　　） A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的边AB上 C. P在AB边所在的直线上 D. P在△ABC的外部 解析： 　由 ＋ ＝ ，根据平行四边形法 则，如图，则点P在△ABC外，故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）在▱ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c， ＝ d，下列等式成立的是（　　） A. a＋b＝c B. a＋d＝b C. b＋d＝a D. ｜a＋b｜＝｜c｜ 解析： 　如图，由向量加法的平行四边形法则 知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选 A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能 为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 解析： 　由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可 得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜ a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜ b｜＝4.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 （1） ＋ ＋ ＝ ⁠； 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·盐城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝ 2，则｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为 O. ＋ ＝ ＋ ＝ .∵∠DAB＝60°， ∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在 Rt△AOB中，AO＝ ＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 ，即｜ ＋ ｜＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线 上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ⁠. 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边 形.由向量加法的运算法则可知 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＋ ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达 B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求 这架飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据： sin 37°＝ 0.6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：设 ， 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km， 则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜；两次位移的和指的 是 ＋ ＝ . 依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35° ＋55°＝90°. 在Rt△ABC中，｜ ｜＝ ＝ ＝1 000， 所以 sin ∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方 向为北偏东35°＋37°＝72°. 从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·南京月考）P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，则P为（　　） A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点 C. BD的中点 D. CD边上一点 解析： 　因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ 0.所以P为线段AC的中点，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是任一非零向 量，则在下列结论中，正确的是（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 解析： 　因为a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0.所以A、C、D正确.故选 A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·镇江月考）如图所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝ 4 ，设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a＋b＋c｜ ＝ ⁠. 8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋ .如图，延长BC至点E，使CE＝ BC，连接DE. ∵ ＝ ＝ ，∴四 边形ACED是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2｜ ｜ ＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点. 求证： （1） ＋ ＝ ＋ ； 证明： 由向量加法的三角形法则， ∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） ＋ ＋ ＝0. 证明： 由向量加法的平行四边形法则，∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝0＋0＋0＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 如图，已知向量a，b，c，d. （1）求作a＋b＋c＋d； 解： 在平面内任取一点O，作 ＝ a， ＝b， ＝c， ＝d，则 ＝a ＋b＋c＋d.如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值. 解： 在平面内任取一点O， 作 ＝a， ＝e， 则a＋e＝ ＋ ＝ ， 因为e为单位向量， 所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）， 由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜ ｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $