8.3.2 独立性检验-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“独立性检验”核心知识点，以“儿童玩电脑游戏与注意力不集中”的调查数据为导入案例，衔接分类变量、2×2列联表等前置知识，构建统计推断的学习支架。 资料特色在于问题驱动与真实数据结合，通过计算χ²值、对比临界值培养数学运算与数据观念，例题涵盖“相关”与“无关”检验，帮助学生掌握统计推断方法，为教师提供完整教学资源，提升课堂效率与学生应用能力。

8.3.2　独立性检验 新课程标准解读 核心素养 1.理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性 数学抽象 2.掌握运用2×2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题 数学运算 　　最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍.青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力.研究人员对1 323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯.同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题.统计获得下列数据： 是否玩 电脑游戏 注意力是否集中 合计 注意力不集中 注意力集中 不玩电脑游戏 268 357 625 玩电脑游戏 489 209 698 合计 757 566 1 323 【问题】　从这则新闻中可以得出哪些结论？ 有多大把握认为你所得出的结论正确？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　独立性检验 1.分类变量X和Y独立 如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立. 2.独立性检验 （1）小概率值α的临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面的关系成立：P（χ2≥xα）＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小，临界值xα越大； （2）χ2的计算公式：χ2＝. 3.小概率值α的检验规则 当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 4.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 提醒　独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似与不同之处 相似处 反证法 独立性检验 要证明 结论A 要确认“两个分类变量有关系” 在A不成立的前提下进行推理 假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下计算χ2 不同处 反证法得出的结论一定正确 独立性检验给出的结论可能会出现错误，但出错的概率可以控制在小范围内 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法.（　√　） （2）独立性检验得到的结论一定是正确的.（　×　） （3）独立性检验的样本不同，其结论可能不同.（　√　） （4）独立性检验的基本思想是概率反证法.（　√　） 2.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（　　） A.0.1%　 B.1% C.99%　 D.99.9% 解析：B　∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%. 3.根据下表计算： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 χ2≈　24　. 解析：χ2＝＝24. 题型一 有关“相关的检验” 【例1】　为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 5 女 5 合计 45 已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为. （1）请将上面的2×2列联表补充完整； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜爱打篮球是否与性别有关. 附参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）依题意，男同学有45×＝25（人）， 女同学有45－25＝20（人）. 补充2×2列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 20 5 25 女 5 15 20 合计 25 20 45 （2）零假设为H0：喜爱打篮球与性别无关. 根据表中数据，计算χ2＝＝≈13.613＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱打篮球与性别有关.该推断犯错误的概率不超过0.001. 通性通法 分类变量χ2独立性检验的步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值； （3）查临界值表，结合所给小概率值 α，比较χ2与xα的大小； （4）根据检验规则得出结论. 【跟踪训练】 　打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据： 打鼾 心脏病 合计 患病 未患病 每一晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 合计 54 1 579 1 633 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？ 解：零假设为H0：每一晚都打鼾与患心脏病无关系. 由列联表中的数据，得χ2＝≈68.033＞10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 题型二 有关“无关的检验” 【例2】　某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系. 解：（1）2×2列联表如下表所示： 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 （2）零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 由公式得χ2＝≈4.963＜6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 通性通法 独立性检验的关注点 （1）χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心； （2）判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高. 【跟踪训练】 　下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表： 性别 是否知道想学专业 合计 知道想学专业 不知道想学专业 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 根据表中数据，下列说法正确的是　②　.（填序号） ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业. 解析：χ2＝≈0.041＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，知性别与知道想学专业无关. 1.调查中学生的视力情况时发现，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生的眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　） A.平均数　 B.方差 C.回归分析　 D.独立性检验 解析：D　近视与性别是两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法是独立性检验.故选D. 2.依据α＝0.05的独立性检验，下列选项中，认为“A与B有关系”的χ2的值为（参考数据：P（χ2≥3.841）＝0.05）（　　） A.2.700　 B.2.710 C.3.765　 D.5.014 解析：D　∵5.014＞3.841，∴D正确. 3.（多选）为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（　　） 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效” B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效” C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效” D.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效” 解析：BC　因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C. 4.考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 是否得病 种子是否经过处理 合计 种子处理 种子未处理 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 合计 93 314 407 根据以上数据得χ2的值是　0.164　（精确到0.001）. 解析：依题意χ2＝＝≈0.164. 1.对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为（　　） ①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据. A.0　 B.1 C.2　 D.3 解析：B　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维堆积条形图等均可判定A与B是否相关.故选B. 2.在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的倍数为（　　） A.8　 B.4 C.2　 D.不变 解析：C　由公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，得（χ2）'＝＝ ＝2·＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍.故选C. 3.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 解析：B　因为α＝0.05时xα＝3.841，所以χ2＝3.974＞xα＝3.841，所以变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B. 4.（多选）某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　　） A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” 解析：AD　因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确. 5.（多选）有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示， X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值可以为（　　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 解析：CD　由列联表中数据，得χ2＝＝＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9，A、B错误，C、D正确.故选C、D. 6.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示： 剂量 小白鼠 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 进行独立性检验的零假设是　小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关　，χ2≈　5.33　.（结果保留两位小数） 解析：由列联表中的数据得χ2＝≈5.33. 7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为　6　. 附表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6. 8.体育比赛既是运动员展示个人实力的舞台，也是教练团队排兵布阵的战场.在某团体比赛项目中，教练组想研究主力队员甲对运动队得奖牌的贡献，根据以往的比赛数据得到如下统计： 甲是否 参加 运动队是否得奖牌 合计 运动队赢得奖牌 运动队未得奖牌 甲参加 40 b 70 甲未参加 c 40 f 合计 50 e n 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，　能　（填“能”或“不能”）认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联. 解析：由题意知，b＝70－40＝30，c＝50－40＝10，e＝30＋40＝70，f＝10＋40＝50，n＝70＋50＝120，2×2列联表如下： 甲是否参加 运动队是否得奖牌 合 计 运动队赢得奖牌 运动队未得奖牌 甲参加 40 30 70 甲未参加 10 40 50 合计 50 70 120 零假设为H0：该运动队赢得奖牌与甲参赛无关联，根据列联表中数据，得χ2＝≈16.555＞10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即能认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联. 9.两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c＝（　　） A.3　 B.4 C.5　 D.6 附： α 0.05 0.025 xα 3.841 5.024 解析：A　列2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 10 21 31 x2 c d 35 合计 10＋c 21＋d 66 故χ2＝≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可知选A. 10.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有　12　人. 参考数据及公式如下：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 性别 是否追星 合计 追星 不追星 男生 x 女生 合计 x 若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否追星和性别有关，则χ2＞3.841，由χ2＝＝x＞3.841，解得x＞10.24，因为，，均为整数，所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 11.在某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 合计 25 20 65 110 则在这三种心理障碍中　说谎　与性别关系最大. 解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量，，.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否焦虑 合计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 合计 25 85 110 零假设为H0：焦虑与性别无关.可得＝≈0.863＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为焦虑与性别无关.同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否说谎 合计 说谎 不说谎 女生 10 20 30 男生 10 70 80 合计 20 90 110 ＝≈6.366＞3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为说谎与性别有关.同理得＝≈1.410＜2.706＝x0.1.依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为懒惰与性别无关.综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 12.某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如图所示的两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女学生比例为3∶2. （1）求m，n的值（结果用分数表示）； （2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？ 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 女 合计 附临界值表及参考公式： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：（1）由题可知被调查的男、女学生分别为600人，400人， 男生有飞天宇航梦的有600×0.7＝420人，无飞天宇航梦的学生有600×0.3＝180人， 女生有飞天宇航梦的有400×0.6＝240人，无飞天宇航梦的学生有400×0.4＝160人， 所以m＝＝，n＝＝. （2）根据（1）中数据填表， 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 420 180 600 女 240 160 400 合计 660 340 1 000 零假设为H0：学生性别和是否有飞天宇航梦无关.根据列联表中数据， 可得χ2＝＝≈10.695＜10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为学生性别和是否有飞天宇航梦无关. 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $