8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦非线性回归模型及回归分析核心知识，通过幼苗高度随天数变化的真实数据散点图导入，引导学生发现非线性关系，搭建从线性回归到非线性回归的学习支架，衔接残差分析与模型评估知识点。 以真实情境数据驱动教学，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过变量代换将非线性问题转化为线性回归，发展数学思维，结合残差图、R²等工具评估模型，强化数学语言表达能力，助力学生提升数据分析与建模素养，为教师提供可操作的探究式教学范例。

第2课时　非线性回归模型及回归分析 　　设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示： 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 　　作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近. 【问题】　你能求出这个函数模型吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　非线性回归方程 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 知识点二　残差分析 1.残差及残差图 （1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为　观测值　，通过经验回归方程得到的称为　预测值　，　观测值　减去　预测值　所得的差称为残差； （2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图. 2.残差分析 　残差　是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为　残差分析　. 知识点三　对模型刻画数据效果的分析 1.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地集中在以　横轴为对称轴的水平带状区域内　，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度　越高　. 2.残差平方和法：残差平方和　（）2　越小，模型的拟合效果越好. 3.决定系数R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越　大　，模型的拟合效果越好，R2越　小　，模型的拟合效果越差. 【想一想】 　利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 提示：不一定.只是真实值的一个预测值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.（　√　） （2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好.（　×　） （3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.（　√　） 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A.甲　 B.乙 C.丙　 D.丁 解析：A　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 3.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A.y＝a＋bx　 B.y＝a＋bln x C.y＝a＋bex　 D.y＝a＋bx2 解析：B　由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 题型一 求非线性经验回归方程 【例1】　某地区不同身高x（单位：cm）的未成年男性的体重平均值y（单位：kg）如下表： 身高x（cm） 60 70 80 90 100 体重y（kg） 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 身高x（cm） 110 120 130 140 体重y（kg） 17.50 20.92 26.86 31.11 已知ln y与x之间存在很强的线性相关性. （1）据此建立y关于x的经验回归方程；（系数保留两位小数） （2）若体重超过相同身高的男性的体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，则这个地区一名身高为150 cm，体重为47 kg的男性的体重是否正常？ 参考数据：（xiln yi）≈2 522，ln yi≈24.02，e3.67≈39.25. 解：（1）由已知可得＝100， ＝100×（62＋72＋…＋142）＝96 000， ∴－9＝96 000－90 000＝6 000. 又（xiln yi）≈2 522，＝≈2.67， ∴≈≈0.02， ＝2.67－0.02×100＝0.67， ∴ln ＝0.02x＋0.67， ∴经验回归方程为＝e0.02x＋0.67. （2）当x＝150时，＝e3.67≈39.25，而39.25×1.2＝47.1＞47， ∴该名男性的体重是正常的. 通性通法 非线性经验回归方程的求法 【跟踪训练】 1.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（　　） A.x2　 B.（x＋a）2 C.（x＋）2　 D.以上都不对 解析：C　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程. 2.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为　e7.5　. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 ey4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5. 题型二 残差与残差分析 【例2】　（1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　A　） （2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　C　） A.r＝s　 B.s＝2r C.s＝－2r＋3　 D.s＝2r＋1 解析：（1）用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. （2）样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3. 通性通法 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 【跟踪训练】 　已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第　　个. 答案：6 解析：原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大. 题型三 残差平方和与决定系数R2 【例3】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2） 解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以＝＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1. （2）列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 通性通法 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好； （3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好. 【跟踪训练】 　假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程＝0.29x＋34.7. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 解：（1）由＝xi＋， 可以算得＝yi－. 分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624， 所以残差平方和为（）2≈8.43. （2）（yi－）2＝50.18， 故R2＝1－≈1－≈0.832. 所以回归模型的拟合效果较好. 1.某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为（　　） A.10万元　 B.14万元 C.23万元　 D.24万元 解析：A　当x＝5时，销售额的预测值为＝5×6.5＋17.5＝50，残差为60－50＝10万元.故选A. 2.在研究两个时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围.令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为　＝e0.25x－2.58　. 解析：因为＝0.25x－2.58，z＝ln y，所以＝e0.25x－2.58. 3.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：℃）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据及相应散点图，并对数据做初步处理，如下表： （xi－）（yi－） （xi－）（wi－） 73.5 3.85 －95 －2.24 表中：wi＝ln（yi－25），＝wi. 假如该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为＝·cx＋25，请求出此经验回归方程. 附：（1）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－； （2）参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. 解：由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln（y－25）＝ln d＋xln c， 令w＝ln（y－25），则w＝ln d＋xln c， ＝xi＝＝3，＝（－3）2＋（－2）2＋（－1）2＋12＋22＋32＝28， 结合表中数据，得ln c＝＝＝－0.08， 结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92，由ln d＝－ln c＝3.85－3×（－0.08）＝4.09，得d＝e4.09≈60， 所以茶水温度y关于时间x的经验回归方程为＝60×0.92x＋25. 1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型的残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（　　） A.模型①　 B.模型② C.模型③　 D.模型④ 解析：C　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确.故选C. 2.已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A.4.94　 B.5.74 C.6.81　 D.8.04 解析：C　令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C. 3.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A.（0.01，0.02）　 B.（50，100） C.（0.02，0.04）　 D.（100，200） 解析：D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 4.（多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.相关系数r变小B.决定系数R2变大 C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强 解析：BD　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. 5.（多选）某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是（　　） A.样本相关系数r＞0 B.＝－0.32 C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D.第四个样本点对应的残差为－0.4 解析：BCD　对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D. 6.某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出5万元时，残差为　10　. 解析：当x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于是残差为60－50＝10. 7.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了　85%　的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的　15%　，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%. 8.共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①y＝bx＋a；②y＝b＋a分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期x（天） 1 2 3 4 5 用户y（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 －1.1 －2.8 －1.2 －1.9 0.4 模型②的残差值 0.3 －5.4 －3.2 －1.6 3.8 （1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （2）求出（1）中所选模型的经验回归方程. （参考数据：＝55，xiyi＝752） 解：（1）应该选择模型①. 模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋1.2＋1.9＋0.4＝7.4， 模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋3.2＋1.6＋3.8＝14.3， ∵7.4＜14.3，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①. （2）由题可知：＝＝3，＝＝40.6， xiyi＝752，＝55. ∴＝＝＝＝14.3， ＝－＝40.6－14.3×3＝－2.3. ∴y关于x的经验回归方程为＝14.3x－2.3. 9.已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（　　） A.（0，＋∞）　 B.（，＋∞） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 解析：C　∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变化得ln y＝ln（aebx）＝ln a＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，所以二次函数y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为x＝ ，则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（，＋∞），故选C. 10.（多选）某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示. 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得经验回归方程为＝2.27x＋，R2≈0.96，以下说法正确的是（　　） A.第三个样本点对应的残差＝－1 B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C.该模型拟合效果较好 D.用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量 解析：AC　对于A项：由题意得＝＝4，＝＝8，代入＝2.27x＋，得＝－1.08，故＝2.27x－1.08，所以＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故A项正确；对于B、C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误；对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C. 11.随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务在我国各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某调查机构从该地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车的A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由表可得y关于x的经验回归方程为＝4x2＋a，则此经验回归模型中A指标数x＝2的残差为（　　） A指标数x 1 2 3 4 B指标数y 6 12 35 63 A.0　　 B.－1　 　　C.－2　 　 D.－3 解析：D　因为＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2的函数时，即为线性方程，则＝7.5，＝29，所以29＝4×7.5＋a，得a＝－1，所以＝4x2－1.将x＝2代入方程可得＝15，则12－15＝－3，所以残差为－3.故选D. 12.某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2014年到2023年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图. 该果园为了预测2024年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个经验回归模型. 模型①：由最小二乘法可求得y关于x的经验回归方程为＝2.50x－2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线y＝bln x＋a的附近，令t＝ln x，则y＝b·t＋a，且有ti＝22.00，yi＝230，tiyi＝569.00，＝50.92. （1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程； （2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）. 回归模型 模型① 模型② 经验回归方程 ＝2.50x－2.50 ＝ln x＋ （yi－）2 102.28 36.19 附：＝＝，＝－， R2＝1－. 参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 5≈1.609 4. 解：（1）由ti＝22.00，yi＝230， 得＝2.2，＝23， 所以＝＝＝25， ＝－＝23－25×2.2＝－32. 所以模型②中，y关于x的经验回归方程为＝25ln x－32. （2）由表中的数据，有102.28＞36.19， 则1－＜1－， 所以模型①的R2小于模型②的R2，说明回归模型②刻画的拟合效果更好； 当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为＝25ln 20－32＝25（2ln 2＋ln 5）－32≈25（2×0.693 1＋1.609 4）－32＝42.89（万元）. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $