8.1.1 变量的相关关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦变量的相关关系核心知识点，涵盖概念、散点图、正负相关及线性相关。以“数学与物理成绩关系”设问导入，对比函数关系与相关关系，搭建从确定性到非确定性关系的认知支架，衔接统计知识脉络。 特色在于问题驱动与直观教学结合，通过水稻产量与施肥量等实例抽象概念，培养数学抽象素养，借助散点图分析树龄与木材体积关系发展直观想象。贴近生活的题型设计助力学生用数学眼光观察现实世界，教师可直接使用结构化内容提升效率，学生通过实例分析增强统计思维。

第八章　成对数据的统计分析 8.1　成对数据的统计相关性 8.1.1　变量的相关关系 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，体会两个变量间的相关关系 数学抽象 2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断 直观想象 　　有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量. 【问题】　这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　相关关系 　两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　精确地　决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 提醒　相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响. 知识点二　散点图 1.散点图：将样本中的成对样本数据用　直角坐标系　中的点表示出来得到的统计图. 2.正相关与负相关 正相关 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　增加　的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　减小　的趋势 3.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量线性相关. 【想一想】 　两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？ 提示：两个变量负相关时，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）相关关系是两个变量之间的一种确定的关系.（　×　） （2）对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图.（　√　） （3）圆的周长和圆的半径是相关关系.（　×　） （4）在一定范围内，农作物的产量与施肥之间具有正相关关系.（　√　） 2.（多选）如图所示的散点图中的两个变量是相关关系的是（　　） 解析：BC　图A中两个变量具有确定的函数关系，不符合题意；图B中的所有散点在一条直线附近波动，两个变量为线性相关，符合题意；图C中的所有散点在一条曲线附近波动，两个变量为非线性相关，符合题意；图D中的点杂乱无章，无规律可言，两个变量不具有相关关系，不符合题意. 题型一 变量间相关关系的判断 【例1】　（多选）下列两个变量存在相关关系的为（　　） A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 解析：BCD　扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系. 通性通法 两个变量之间相关关系的判断方法 （1）根据生活、学习经验进行判断； （2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断. 【跟踪训练】 　（多选）下列说法正确的是（　　） A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 解析：ABD　闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确. 题型二 散点图及其应用 【例2】　下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 解：（1）散点图如图： （2）从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加. 通性通法 由散点图判断线性相关的方法 　　通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 【跟踪训练】 1.对变量x，y有成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（如图①）；对变量u，v有成对样本数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（如图②）.由这两个散点图可以判断（　　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 解析：C　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关. 2.某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 （1）请作出这些数据的散点图； （2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示： （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材体积与树木的树龄近似成线性相关关系. 1.下列两个变量存在相关关系的是（　　） A.利息与利率 B.居民收入与储蓄存款 C.电视机产量与苹果产量 D.某种商品的销售额与销售价格 解析：B　选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款越多；选项C中的电视机产量与苹果产量无任何关系；选项D中某种商品的销售额与销售价格具有函数关系. 2.下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（　　） 解析：D　对于A，两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系，故错误；对于B，样本点成直线形带状分布，呈下降趋势，是负相关，故错误；对于C，样本点不成直线形带状分布，故错误；对于D，样本点成直线形带状分布，呈上升趋势，是正相关，故正确.故选D. 3.以下是收集到的某物品的销售价格y（万元）和物品的大小x（m2）的数据： 物品大小/m2 11.5 110 80 135 105 销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 根据数据判断x，y之间是否具有相关关系. 解：由数据表可以看出，两个变量的变化趋势为物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系. 1.下列说法正确的是（　　） A.圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B.体育锻炼与身体健康指标之间的关系是函数关系 C.一定范围内，学生的成绩与学习时间正相关 D.人的体重与视力负相关 解析：C　圆的面积与半径之间的关系是确定的函数关系，所以A中说法错误；体育锻炼与身体健康指标之间的关系不是函数关系，是相关关系，所以B中说法错误；人的体重与视力没有关系，所以D中说法错误；易知C中说法正确.故选C. 2.下列图形中具有相关关系的两个变量是（　　） 解析：D　A和B符合函数关系；从C、D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系. 3.下列对应散点图（1）（2）（3）（4），说法不正确的是（　　） A.图（1）表明两个变量具有负相关关系 B.图（2）表明两个变量具有正相关关系 C.图（3）表明两个变量具有线性相关关系 D.图（4）表明两个变量具有非线性相关关系 解析：D　从4个散点图可知，A、B、C正确；选项D中对应的图（4）表明两变量没有任何相关性，故D不正确. 4.（多选）下列关系中，具有相关关系的是（　　） A.学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 解析：AB　A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系；B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C、D都不具备相关关系. 5.（多选）对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如图所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是（　　） A.该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高 B.该同学在这连续9次数学测试中的最高分与最低分的差超过40分 C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系 D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关关系，且为正相关 解析：ABD　散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；该同学在这连续9次数学测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关关系，且为正相关，C不正确，D正确.故选A、B、D. 6.给出下列关系：①某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③在一定范围内，水果的产量与气候之间的关系；④学生与其学号之间的关系.其中具有相关关系的是　①③　（填序号）. 解析：①化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系是确定的关系；③水果的产量与土壤、气候、管理等诸多因素有关，所以在一定范围内，水果的产量与气候具有相关关系；④学生与其学号之间的关系是一种已确定的对应关系.故填①③. 7.给出x，y值的数据如下： x 1 2 4 8 y 3 5 9 17 则根据数据可以判断x和y的关系是　确定关系　.（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”） 解析：由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系，即y＝2x＋1，所以x，y是一种确定的关系. 8.某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额x（单位：千万元）和利润额y（单位：百万元）资料如表： 零售店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 2 3 3 4 5 画出销售额和利润额的散点图，并判断这两个变量是否具有线性相关关系. 解：根据连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料画出散点图如下： 从图中可以看出，5个点大致分布在一条直线附近，所以这两个变量具有线性相关关系. 9.北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一.白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象.如图为北极年平均海冰面积（106 km2）与年平均CO2浓度（ppm）统计图.则下列说法正确的是（　　） A.北极年平均海冰面积逐年减少 B.北极年平均海冰面积减少速度不断加快 C.北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关 D.北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成正相关 解析：C　对于A、B，由统计图可知北极年平均海冰面积既有增加又有减少，故A、B错误；对于C、D，由统计图可知随着年平均CO2浓度增加，北极年平均海冰面积总体呈下降趋势，所以北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关，故C正确，D错误. 10.（多选）下表是某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温（℃）的数据表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论中正确的是（　　） 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10 A.最低温与最高温为正相关 B.每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加 C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 D.1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 解析：ACD　对于A，由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，故B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，月温差的最大值出现在1月，故C正确；对于D，由C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月的月温差，波动性更大，故D正确. 11.某市居民2020～2024年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如表所示， 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年平均收入x/万元 11.5 12.1 13 13.3 15 年平均支出y/万元 6.8 8.8 9.8 10 12 解析：把题表中年平均收入的数据按从小到大的顺序排列可知中位数为13万元.由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系. 12.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的统计表： 气温（℃） 25 18 12 10 4 0 杯数 18 30 37 35 50 54 （1）根据表中的数据画出散点图； （2）你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？ 解：（1）根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图： （2）从散点图中可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性相关关系，且当气温越高时，卖出的热茶的杯数就越少. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $