8.1.1 变量的相关关系(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.1.1　变量的相关关系 课标要求 1.结合实例，体会两个变量间的相关关系（数学抽象）. 2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断（直观想象）. 　 情境导入 　“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆.但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗？ 知识点一｜相关关系 问题1　有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.假如我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 提示：不是.物理成绩还可能与其他因素有关. 【知识梳理】 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　精确地　决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 　　提醒：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：均是指两个变量的关系；（2）不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响. 【例1】　（链接教材P95练习1题）〔多选〕下列两个变量存在相关关系的为（　BCD　） A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 解析：　扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系. 【规律方法】 两个变量之间相关关系的判断方法 （1）根据生活、学习经验进行判断； （2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断. 训练1　〔多选〕下列说法正确的是（　ABD　） A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 解析：　闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确. 知识点二｜散点图、线性相关 问题2　在一次对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表. 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含 量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 （1）以年龄为横坐标，脂肪含量为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点.这些点大致落在一条直线附近吗？ 提示：画出如图所示的统计图. 由图可以发现，这些点大致落在一条直线附近. （2）脂肪含量与年龄之间有关系吗？ 提示：有关系. （3）怎样描述脂肪含量和年龄之间的变化关系？ 提示：大体上看，年龄越大，脂肪含量越高，但不是正比例关系. 【知识梳理】 1.散点图：将样本中的成对样本数据用　直角坐标系　中的点表示出来得到的统计图. 2.正相关与负相关 正相关 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　增加　的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　减小　的趋势 3.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量线性相关. 【例2】　（链接教材P95练习2题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 （1）请作出这些数据的散点图； 解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示. （2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 解：（2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系. （3）若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 解：（3）近似拟合直线如图所示. 【规律方法】 判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 训练2　（1）〔多选〕在下列所示的四个图中，两个变量具有相关关系的是（　BC　） 解析：（1）图A的两个变量具有函数关系；图B、C的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系. （2）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断（　B　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 解析：（2）由变量x，y的散点图1，知随x增大，y也增大，变量x与y正相关，由变量u，v的散点图2，知随u增大，v减小，u与v负相关.故选B. 知识点三｜散点图的应用 【例3】　下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； 解：（1）散点图如图. （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 解：（2）从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加. 【规律方法】 1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论. 2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现. 训练3　〔多选〕某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（　BCD　） A.沸点与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关 C.沸点与海拔高度呈负相关 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 解析：　由题中图1知气压随海拔高度的增加而减小，由题中图2知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B、C、D正确，A错误. 1.下列说法中正确的是（　　） A.y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量 B.正四面体的体积与其棱长具有相关关系 C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D.某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量 解析：D　 对于A，x，y是函数关系，属于确定性关系，不是相关关系，故A不正确；对于B，体积与棱长的关系是确定的，属于确定性关系，不是相关关系，故B不正确；对于C，电脑的销售量除了受电脑价格的影响之外，还受电脑品牌、电脑性能、同行竞争等多种因素的影响，不是确定关系，故C不正确；对于D，某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量，故D正确. 2.下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（　　） 解析：D　对于A，两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系，故错误；对于B，样本点成直线形带状分布，且呈下降趋势，是负相关，故错误；对于C，样本点不成直线形带状分布，故错误；对于D，样本点成直线形带状分布，且呈上升趋势，是正相关，故正确.故选D. 3.如图，有6组数据，去掉哪组数据后（填字母代号），剩下的5组数据的线性相关性最大（　　） A.A B.B C.C D.D 解析：C　根据散点图知去掉C后，剩下的五组数据的线性相关性最大. 4.以下是收集到的某物品的销售价格y（单位：万元）和物品的大小x（单位：m2）的数据： 物品大小x/m2 11.5 110 80 135 105 销售价格y/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 则根据数据可以判断x，y　　有　　相关关系（填“有”或“无”）. 解析：由表中数据知，两个变量的变化趋势为物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系. 课堂小结 1.理清单 （1）相关关系的概念； （2）散点图、线性相关； （3）散点图的应用. 2.应体会 利用散点图判断变量的相关关系体现了数形结合思想. 3.避易错 相关关系与函数关系的区别. 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（　　） A.等边三角形的边长a与其面积S B.匀速直线行驶的电车的位移s与行驶时间t C.杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D.汽车在陆地上的刹车制动时间t与洞庭湖湖面上的空气阻力f 解析：C　等边三角形的边长a与其面积S的关系为S＝a2，两个变量是函数关系，不符合题意；匀速直线行驶的电车的位移s与行驶时间t的关系为s＝vt，两个变量是函数关系，不符合题意；杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r具有相关关系，符合题意；汽车在陆地上的刹车制动时间t与洞庭湖湖面上的空气阻力f不具有相关关系，不符合题意.故选C. 2.下列图形中具有相关关系的两个变量是（　　） 解析：D　A和B符合函数关系；从C、D的散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系. 3.下列对应散点图（1）（2）（3）（4），说法不正确的是（　　） A.图（1）表明两个变量具有负相关关系 B.图（2）表明两个变量具有正相关关系 C.图（3）表明两个变量具有线性相关关系 D.图（4）表明两个变量具有非线性相关关系 解析：D　从4个散点图可知，A、B、C正确；选项D中对应的图（4）表明两变量没有任何相关性，故D不正确. 4.最新《交通安全法》实施后，某市管理部门以周为单位，记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现的交通事故数如下： 酒驾人数 80 87 96 100 104 121 147 交通事故数 19 20 25 23 24 30 31 通过表中数据可知，酒驾人数与交通事故数之间是（　　） A.正相关 B.负相关 C.不相关 D.函数关系 解析：A　由表格中的数据，在直角坐标系中绘出散点图，如图所示. 由图可知，散点从左向右呈上升趋势，并集中在一条直线附近，所以酒驾人数与交通事故数具有线性相关关系，且是正相关. 5.〔多选〕对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如图所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是（　　） A.该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高 B.该同学在这连续9次数学测试中的最高分与最低分的差超过40分 C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系 D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关关系，且为正相关 解析：ABD　散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；该同学在这连续9次数学测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关关系，且为正相关，C不正确，D正确.故选A、B、D. 6.给出下列关系：①曲线上的点与该点的坐标之间的关系；②在一定范围内，水果的产量与气候之间的关系；③学生与其学号之间的关系.其中具有相关关系的是　　②　　.（填序号） 解析：①曲线上的点与该点的坐标之间的关系是确定的关系；②水果的产量与土壤、气候、管理等诸多因素有关，所以在一定范围内，水果的产量与气候具有相关关系；③学生与其学号之间的关系是一种已确定的对应关系. 7.给出x，y值的数据如下： x 1 2 4 8 y 3 5 9 17 则根据数据可以判断x和y的关系是　　确定关系　　.（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”） 解析：由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系，即y＝2x＋1，所以x，y是一种确定的关系. 8.某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额x（单位：千万元）和利润额y（单位：百万元）资料如表： 零售店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 2 3 3 4 5 画出销售额和利润额的散点图，并判断这两个变量是否具有线性相关关系. 解：根据该连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料画出散点图如图所示. 从图中可以看出，5个点大致分布在一条直线附近，所以这两个变量具有线性相关关系. 9.北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一.白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象.如图为北极年平均海冰面积（106 km2）与年平均CO2浓度（ppm）统计图.则下列说法正确的是（　　） A.北极年平均海冰面积逐年减少 B.北极年平均海冰面积减少速度不断加快 C.北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关 D.北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成正相关 解析：C　对于A、B，由统计图可知北极年平均海冰面积既有增加又有减少，故A、B错误；对于C、D，由统计图可知随着年平均CO2浓度增加，北极年平均海冰面积总体呈下降趋势，所以北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关，故C正确，D错误. 10.〔多选〕下表是某城市在2025年1月份至10月份各月最低温与最高温（℃）的数据表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论中正确的是（　　） 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10 A.最低温与最高温为正相关 B.每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加 C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 D.1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 解析：ACD　对于A，由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，故B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，月温差的最大值出现在1月，故C正确；对于D，由C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月的月温差，波动性更大，故D正确. 11.某市居民2021—2025年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如表所示. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年平均收 入x/万元 11.5 12.1 13 13.3 15 年平均支 出y/万元 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是　13　万元，家庭年平均收入与年平均支出是　正　相关关系（填“正”或“负”）. 解析：把题表中年平均收入的数据按从小到大的顺序排列可知中位数为13万元.由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系. 12.某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如表所示. i（年） 1 2 3 4 5 x（户数：万户） 1 1.2 1.6 1.8 2 y（煤气消耗量：百万立方米） 6 7 9.8 12 12.1 i（年） 6 7 8 9 10 x（户数：万户） 2.5 3.2 4 4.2 4.5 y（煤气消耗量：百万立方米） 14.5 20 24 25.4 27.5 其散点图如图所示. 从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数　线性相关　（填“线性相关”或“非线性相关”）；若两者关系近似满足直线方程y＝6.057x＋0.082，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是　　30.367　　百万立方米. 解析：由散点图发现图中各点在一条直线附近，所以煤气消耗量与使用煤气户数是线性相关关系.给出近似直线方程，只需将x＝5代入，故该市煤气消耗量估计是6.057×5＋0.082＝30.367（百万立方米）. 13.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的统计表： 气温/℃ 25 18 12 10 4 0 杯数 18 30 37 35 50 54 （1）根据表中的数据画出散点图； （2）你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？ 解：（1）根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图. （2）从散点图中可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性相关关系，且当气温越高时，卖出的热茶的杯数就越少. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $