8.1.1 变量的相关关系(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.1.1　变量的相关关系

课标要求

1.结合实例，体会两个变量间的相关关系（数学抽象）.

2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断（直观想象）.  　

情境导入

　“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆.但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗？

知识点一｜相关关系

问题1　有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.假如我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？

提示：不是.物理成绩还可能与其他因素有关.

【知识梳理】

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　精确地　决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.

　　提醒：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：均是指两个变量的关系；（2）不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响.

【例1】　（链接教材P95练习1题）〔多选〕下列两个变量存在相关关系的为（　BCD　）

A.扇形的半径与面积之间的关系

B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系

C.人的身高与体重之间的关系

D.家庭的支出与收入之间的关系

解析：　扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系.

【规律方法】

两个变量之间相关关系的判断方法

（1）根据生活、学习经验进行判断；

（2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断.

训练1　〔多选〕下列说法正确的是（　ABD　）

A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系

B.同一物体的加速度与作用力是函数关系

C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系

D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系

解析：　闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确.

知识点二｜散点图、线性相关

问题2　在一次对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表.

（1）以年龄为横坐标，脂肪含量为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点.这些点大致落在一条直线附近吗？

提示：画出如图所示的统计图.

由图可以发现，这些点大致落在一条直线附近.

（2）脂肪含量与年龄之间有关系吗？

提示：有关系.

（3）怎样描述脂肪含量和年龄之间的变化关系？

提示：大体上看，年龄越大，脂肪含量越高，但不是正比例关系.

【知识梳理】

1.散点图：将样本中的成对样本数据用　直角坐标系　中的点表示出来得到的统计图.

2.正相关与负相关

3.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量线性相关.

【例2】　（链接教材P95练习2题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：

（1）请作出这些数据的散点图；

解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示.

（2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？

解：（2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系.

（3）若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.

解：（3）近似拟合直线如图所示.