7.5 正态分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“正态分布”核心知识点，通过身高分布、电子产品使用寿命等生活实例导入，衔接离散型随机变量知识，引出连续型随机变量概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以直观想象为基础，借助频率分布直方图几何直观解析正态曲线特征，结合3σ原则解决零件尺寸、考试成绩等实际问题，渗透数学建模与数学运算素养。题型设计层层递进，助力学生深化理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

7.5　正态分布 新课程标准解读 核心素养 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量 数学抽象 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 直观想象 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题 数学建模、数学运算 （1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少. 【问题】　生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模型来刻画呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正态分布 1.连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为　0　，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2.正态曲线 若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）. 3.正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为　X～N（μ，σ2）　.当μ＝　0　，σ＝　1　时，称随机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝　σ2　. 4.正态曲线的性质 （1）曲线在　x　轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线　x＝μ　对称； （3）曲线在　x＝μ　处达到峰值　　； （4）当｜x｜　无限增大　时，曲线　无限接近　x轴. 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量. 知识点二　3σ原则 1.假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ－kσ≤X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3.在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有　0.002 7　，通常认为这种情况几乎不可能发生. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差.（　√　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　×　） （3）正态曲线可以关于y轴对称.（　√　） 2.如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P（2≤ξ≤4）的值约为（　　） A.0.5　 B.0.682 7 C.0.954 5　 D.0.997 3 解析：B　∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，∴ξ～N（3，1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. 3.若随机变量X～N（0，1），则P（X＜0）＝　　. 解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P（X＜0）＝. 题型一 正态曲线及其特点 【例1】　（1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　AD　） A.σ1＝σ2　 B.μ1＞μ3　 C.μ1＝μ2　 D.σ2＜σ3 （2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝　2　，σ＝　3　. 解析：（1）根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. （2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 通性通法 由正态曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置. 【跟踪训练】 1.（多选）下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数f（x）＝·的正确的描述是（　　） A.f（x）为偶函数 B.f（x）的最大值是 C.f（x）在（0，＋∞）上是单调递减 D.f（x）关于x＝1对称 解析：ABC　由正态分布密度函数f（x）＝·，可得f（x）的图象关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝·e0＝，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以C正确. 2.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　20　，方差σ2＝　2　. 解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝（）2＝2. 题型二 利用正态分布的性质求概率 【例2】　设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； （2）P（3≤ξ≤5）. 解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2） ＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. （2）∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）] ＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）] ≈（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9. 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）] ＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]≈（1－0.954 5）＝0.022 75. 通性通法 利用正态分布求概率的两个方法 （1）对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如： ①P（X＜a）＝1－P（X≥a）； ②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）. （2）“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 【跟踪训练】 1.随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6　 B.0.5 C.0.4　 D.0.3 解析：D　∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. 2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1　 B.0.2 C.0.3　 D.0.4 解析：C　P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝0.3. 题型三 正态分布的实际应用 【例3】　有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 解：（1）∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. （2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 通性通法 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 （1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值； （2）将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； （3）利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 【跟踪训练】 　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？ 解：∵成绩服从正态分布N（80，52）， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%. 设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%. 即有50×2.275%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人. 1.下列函数是正态密度函数的是（　　） A.f（x）＝（μ，σ＞0） B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　正态密度函数为f（x）＝，其中指数部分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两处错误，分别是σ错写为和指数为正；选项C中由系数可得σ＝2，由指数可得σ＝，显然不符合题意；选项D中指数为正，不符合题意. 2.设随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，则实数a＝（　　） A.0　　　 B.1　　　　C.2　　　 D.4 解析：C　因为P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，所以＝2，所以a＝2. 3.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　. 答案：10 解析：由题意知，P（ξ＞110）＝＝0.2，故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. 1.已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X－1）＝（　　） A.6　　　 B.11　　　　C.12　　　 D.36 解析：D　因为随机变量X服从正态分布N（10，22），所以D（X）＝22＝4，所以D（3X－1）＝32D（X）＝9×4＝36. 2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（X≤4）＝0.842，则P（X≤2）＝（　　） A.0.842 B.0.158 C.0.421 D.0.316 解析：B　P（X≥4）＝1－0.842＝0.158.因为μ＝3，所以P（X≤2）＝P（X≥4）＝0.158.故选B. 3.如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.3 解析：B　∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，－1]内的概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关于直线x＝＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1. 4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布N（170，σ2）.若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的同学人数约为（　　） A.80　 B.160 C.240　 D.320 解析：B　P（X≤165）＝×（1－）＝，则样本中不高于165 cm的同学人数约为1 600×＝160. 5.（多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态曲线如图所示，则（　　） A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中 C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小 D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中 解析：BC　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C. 6.（多选）若随机变量X～N（μ，σ2），则（　　） A.X的密度曲线与y轴的交点为（0，） B.X的密度曲线关于x＝σ对称 C.2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ） D.若Y＝，则E（Y）＝0，D（Y）＝1 解析：ACD　若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝，因此X的密度曲线与y轴的交点为（0，），故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正确；E（Y）＝＝0，D（Y）＝D（X）＝1，故D正确.故选A、C、D. 7.已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝　0.2　时达到最高点. 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2. 8.某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P（28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为　9　. 解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ＝28，因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为0.3×30＝9. 9.已知随机变量ξ～N（3，σ2），且＝，则P（3＜ξ＜5）＝　0.3　. 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 10.设X～N（3，42），试求： （1）P（－1≤X≤7）； （2）P（X＞11）. 解：∵X～N（3，42），∴μ＝3，σ＝4. （1）P（－1≤X≤7）＝P（3－4≤X≤3＋4）＝P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7. （2）∵P（X＞11）＝P（X＜－5）. ∴P（X＞11）＝[1－P（－5≤X≤11）] ＝[1－P（3－8≤X≤3＋8）] ＝[1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）] ≈×（1－0.954 5）＝0.022 75. 11.工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20，），若P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　） 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. A.120　 B.144 C.150　 D.160 解析：B　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ＋3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B. 12.（多选）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），其正态曲线在（－∞，80]上单调递增，在[80，＋∞）上单调递减，且P（72≤X≤88）≈0.682 7，则（　　） A.μ＝80 B.σ＝4 C.P（X＞64）＝0.977 25 D.P（64＜X＜72）＝0.135 9 解析：ACD　因为正态曲线在（－∞，80]上单调递增，在[80，＋∞）上单调递减，所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80；因为P（72≤X≤88）≈0.682 7，结合P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，可知σ＝8；因为P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，且P（X＜64）＝P（X＞96），所以P（X＜64）≈×（1－0.954 5）＝×0.045 5＝0.022 75，所以P（X＞64）＝0.977 25；因为P（X＜72）＝[1－P（72≤X≤88）]≈×（1－0.682 7）＝0.158 65，所以P（64＜X＜72）＝P（X＞64）－P（X＞72）＝0.977 25－（1－0.158 65）＝0.135 9. 13.某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05 mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为　4 800　. 解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝，∴P（19.95≤X≤20.05）＝1－＝，∴P（19.95≤X≤20）＝＝，故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000×＝4 800. 14.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态曲线如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式； （2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比. 解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500. （1）此地农民工年均收入的密度函数解析式为f（x）＝，x∈R. （2）∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－500≤X≤8 000＋500）≈0.682 7， ∴P（8 000≤X≤8 500）＝P（7 500≤X≤8 500）≈0.341 35＝34.135%. 故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.135%. 15.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 5，至少要测量　32　次（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）. 解析：因为P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，又因为μ＝0，σ2＝，所以P（－2σ＜X＜2σ）＝0.954 5，所以2σ≤0.5，即σ≤，又因为σ＝，所以≤，解得n≥32. 16.已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200，182）. （1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率； （2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？ 解：（1）X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P（182≤X≤218）≈0.682 7. 又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218）， 由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218）， ∴P（X＜182）≈×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3. 故所求的概率为0.841 3. （2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ， ∴P（164≤X≤236）≈0.954 5. 又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1， ∴P（X＜164）≈×（1－0.954 5）≈0.022 8， ∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95. 故这批材料符合这个要求. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $