7.5正态分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 7.5 正态分布 1、两点分布 X 0 1 P 1-p p 2、二项分布 复习回顾 3、超几何分布 X 0 1 k n P 若X~B(n,p),则 X 0 1 k n P 复习回顾 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续性随机变量,下面我们看一个具体问题。 探究新知 问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g. 由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中, 随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下: -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 探究新知 根据已学的统计知识,可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图所示. 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积为和为1。 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线. 观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,并且小误差比大误差出现得更频繁 探究新知 根据频率与概率的关系,可以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布. (曲线与水平轴之间的面积为1) 任意抽取一袋盐,误差落在[-2,-1]内的概率如何表示? 可以用图中黄色阴影部分的面积表示. 探究新知 由函数知识可知,上图中的钟形曲线是一个函数. 那么这个函数是否存在解析式呢? 显然,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. 其中 ∈R, >0为参数. 概念讲解 正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为 特别地,当 =0, =1时,称随机变量X服从标准正态分布. 则称随机变量X服从正态分布,记为X~N( , 2). y 0 1 2 -1 -2 x -3 3 =0 =1 概念讲解 正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中. 在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布. 例如,某些物理量的测量误差; 某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等; 一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量; 自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容) 某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等; 一般都近似服从正态分布 随堂练习 1、下列函数是正态密度函数的是( ) B 概念讲解 正态曲线下的面积规律 1、若X~N( , 2),如图,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,即P(X≤x)=SA.而P(a≤X≤b)=SB. 2、正态曲线下对称区域的面积相等,对应的概率也相等. -x1 -x2 x2 x1 a -a 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 随堂练习 2、若X~N(1, 2),且P(X<0)=a,则 (1) P(X>1)=_; (2) P(X>0)=_; (3) P(0<X<1)=_; (4) P(X<2)=_; (5) P(0<X<2)=_. 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 =1 0.5 1-a 0.5-a 1-a 1-2a 探究新知 观察:观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? 由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的,它关于直线x= 对称; (2) 曲线在x= 处达到峰值 (3) 当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 正态曲线的性质 探究新知 思考:一个正态分布由参数 和 完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征? 探究新知 思考:一个正态分布由参数 和 完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征? 当 取定值时,图象随 值的变化而沿x轴平移,故 称为位置参数; 当 取定值时, 大时,曲线“矮而胖”; 小时,曲线“瘦而高”,故称 为形状参数. 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 因为峰值 与 成反比,而且对任意 >0,正态曲线与x轴围成的面积为1. 所以 归纳小结 1、参数 , 对正态曲线的形状的影响 图象关于x= 对称,参数 反映了正态分布的集中位置, 反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度. 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 2、参数 , 的意义 若X~N( , 2),则E(X)= ,D(X)= 2. 在实际问题中,参数 , 可以分别用样本均值和样本标准差来估计 随堂练习 3、(多选)一次教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示,下列说法中不正确的是( ) A、甲科总体的标准差最小 B、丙科总体的平均数最小 C、乙科总体的标准差及平均数都比甲小,比丙大 D、甲、乙、丙总体的平均数不相同 BCD 例题解析 1、李明上学有时坐公交车,有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y 的分布中的参数; (2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X与 Y的分布密度曲线; 解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6; 随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2. 用样本均值估计参数 . 用样本标准差估计参数 ,可以得到 X~N(30,62),Y~N(34,22). (2)X和Y的分布密度曲线如图所示, 26 30 34 38 t y 例题解析 1、李明上学有时坐公交车,有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 解:(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知, P(X≤34)>P(Y≤34). P(X≤38)<P(Y≤38), 所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车. 随堂练习 4、设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为_, P(X≤0)=_. 0.5 5、如右图,是一条正态曲线,求出总体随机变量的期望和方差和正态函数的解析式. E(X)= =20 D(X)= 2=2 随堂练习 6、已知三个正态密度函数 (x∈R,i=1,2,3)的图象如右图所示,则( ) A、 1< 2= 3, 1= 2> 3 B、 1= 2< 3, 1< 2= 3 C、 1> 2= 3, 1= 2< 3 D、 1< 2= 3, 1= 2< 3 D 概念讲解 假定X~N( , 2),可以证明: 对给定的k∈N*,P( −k ≤X≤ +k )是一个与k有关的定值. P( − ≤X≤ + )≈0.6827 特别地, P( −2 ≤X≤ +2 )≈0.9545 P( −3 ≤X≤ +3 )≈0.9973 概念讲解 由此看到,尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[ −3 , +3 ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N( , 2)的随机变量X只取 [ −3 , +3 ]中的值,这在统计学中称为3 原则. 例题解析 2、在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X~N(90,100). (1)求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? 解:(1)依题意,X~N(90,100), ∴ =90, =10. =P( −2 ≤X≤ +2 )≈0.9545 =P( − ≤X≤ + )≈0.6827 P(70≤X≤110) (2)因为P(80≤X≤100) 即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6827. 考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000 0.6827≈1365 例题解析 3、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 解:因为X~N(5,1), 故正态密度曲线关于直线x=5 对称, ∴P(6<X<7)=P(5<X<7)-P(5<X<6) =0.47725-0.34135=0.1359 P(5≤X≤7) P(5<X<6) 随堂练习 7、若X~N( , 2),问X位于区域( , + )内的概率是多少? 解:由正态曲线的对称性可得, 8、设随机变量X~N(0,1),则P(|X|≤1)=_,P(X≤1)=_, P(X>1)=_, 0.6827 0.8413 0.1587 9、已知X~N(1, 2),若P(X<4)=0.9,则P(-2<X<1)=( ) A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6 C 课堂小结 1、正态曲线及正态密度函数 其中 ∈R, >0为参数. 2、正态分布 若X~N( , 2),则E(X)= ,D(X)= 2. (1) 曲线是单峰的,它关于直线x= 对称; (2) 曲线在x= 处达到峰值 (3) 当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 3、正态曲线的性质 课堂小结 4、正态分布的3 原则 P( − ≤X≤ + )≈0.6827 P( −2 ≤X≤ +2 )≈0.9545 P( −3 ≤X≤ +3 )≈0.9973 $$