7.2 离散型随机变量及其分布列-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识，以射击环数实例导入，通过问题引导学生思考变量取值及含义，从具体现象抽象出随机变量概念，衔接分布列定义、性质及两点分布，构建知识支架。 资料亮点在于以实例驱动概念生成培养数学抽象，通过分布列计算与性质应用强化数学运算，题型分类配通性通法总结。助力教师高效教学，帮助学生掌握知识方法，提升数学核心素养。

7.2　离散型随机变量及其分布列 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念 数学抽象 2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列 数学抽象、数学运算 　　在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1环，……，命中10环等结果，若用变量X表示他一次射击所命中的环数. 【问题】　（1）变量X的取值情况如何？ （2）X≥8表示什么含义？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　随机变量的概念 随机变量 的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　唯一　的实数X（ω）与之对应，称X为随机变量 离散型随 机变量的 概念 可能取值为有限个或可以　一一列举　的随机变量，称为离散型随机变量 表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z 提醒　离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果能一一列出. 【想一想】 1.所有的随机变量的取值都能一一列举吗？ 提示：不一定. 2.随机变量与函数有什么联系？ 提示：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 知识点二　离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝　pi　，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列； （2）表示：离散型随机变量的分布列可以用　表格　表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （3）性质：①pi≥　0　，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝　1　. 2.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（）＝　1－p　，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 提醒　（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和；（2）如果随机变量X的试验结果只有两种可能，且它们的概率之和为1，则是两点分布，否则不是两点分布. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.（　√　） （2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量.（　√　） （3）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量.（　×　） （4）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.（　×　） 2.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 3m 2m 则m＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　由离散型随机变量分布列的性质可知，2m＋3m＝1，所以m＝. 3.抛掷2枚正方体骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是（　　） A.2枚都是4点 B.1枚是1点，另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 解析：D　抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另一枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.而ξ＝x＋y，ξ＝4⇔或故选D. 4.若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2，令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝　0.8　. 解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8. 题型一 随机变量的概念及分类 【例1】　（1）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（　AB　） A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数 B.一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数 C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 （2）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能取值的个数是（　C　） A.25　 B.10 C.7　 D.6 解析：（1）A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10个产品中取3个产品，所含正品个数的可能取值为3，2，可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量. （2）∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，共7个. 通性通法 离散型随机变量的判断方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 【跟踪训练】 指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由： （1）白炽灯的寿命； （2）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位； （3）一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数. 解：（1）不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出. （2）不是离散型随机变量.因为水位在（0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出. （3）是离散型随机变量.从10个人中取3人，其中男同学人数的可能取值为0，1，2，3，可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. 题型二 求离散型随机变量的分布列 【例2】　从6名教师中任选3人去参加进修活动，已知这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人.设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列. 解：由题意，X的可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝＝0.2，P（X＝1）＝＝0.6， P（X＝2）＝＝0.2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 通性通法 求离散型随机变量的分布列的关键 （1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏； （2）计算出每一个取值所对应的概率； （3）用所有概率之和是否为1来检验. 【跟踪训练】 1.一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.从中任意摸出两个球，用Y＝0表示“两个球全是白球”，用Y＝1表示“两个球不全是白球”，求Y的分布列. 解：由题意知P（Y＝0）＝＝， P（Y＝1）＝1－P（Y＝0）＝. 故Y的分布列为 Y 0 1 P 2.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列. 解：根据题意，X＝0，1，2，3， P（X＝0）＝＝＝， P（X＝1）＝＝＝， P（X＝2）＝＝＝， P（X＝3）＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型三 分布列的性质及应用 【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，4），求： （1）P（X＝1或X＝2）； （2）P（＜X＜）. 解：（1）∵＋＋＋＝1， ∴a＝10， 则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝. （2）由a＝10， 得P（＜X＜）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝. 通性通法 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数； （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 【跟踪训练】 　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X＋1的分布列； （2）｜X－1｜的分布列. 解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 ｜X－1｜ 1 0 1 2 3 从而由上表得： （1）2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2）｜X－1｜的分布列为 ｜X－1｜ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 1.某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－＝（　　） ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2　 B.0.2 C.0.1　 D.－0.1 解析：B　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2. 2.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P（X＝1）＝（　　） A.0　 B. C.　 D. 解析：D　设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下，由p＋2p＝1，得p＝，所以P（X＝1）＝2p＝. X 0 1 P p 2p 3.（多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（　　） A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D.抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X 解析：BCD　选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布. 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P（≤X≤）＝　　. 解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个，∴X的分布列如下，∴P（≤X≤）＝P（X＝1）＝. X 1 2 3 P 1.下列叙述中，随机变量X不是离散型随机变量的是（　　） A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 解析：C　A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的. 2.下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　） A. ξ 0 1 3 P a 1－a B. ξ 1 2 3 P － 1 C. ξ 4 5 P 0 1 D. ξ －1 1 2 P 2a a2＋2 解析：C　在A中，各概率之和为＞1，故A错误；在B中，P（ξ＝2）＝－＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正确；在D中，＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋＞1，故D错误.故选C. 3.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）＝（　　） A.0.3　　　　　　　　B.0.4 C.0.6　 D.0.7 解析：A　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3. 4.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，则a＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝，所以a＝. 5.（多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“X＞3”表示的试验的结果有（　　） A.第一颗为5点，第二颗为1点 B.第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C.第一颗为6点，第二颗为1点 D.第一颗为6点，第二颗为2点 解析：ACD　因为5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以选项A、C、D符合题意；对于B：第一颗大于4点，可以是5点，6点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0＜3，5－6＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合题意.故选A、C、D. 6.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 则下列选项正确的是（　　） A.m＋n＝0.7B.若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5 C.若m＝0.9，则n＝－0.2 D.P（X＝1）＝2P（X＝6） 解析：ABD　对于A中，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B中，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，所以B正确；对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X＝1）＝2P（X＝6），所以D正确.故选A、B、D. 7.在某次考试中，需回答三个问题，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是　　. 答案：－300，－100，100，300 解析：答对0个问题得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个问题得100分；问题全答对得300分. 8.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q q 则P（∈Z）＝　0.9　. 解析：由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.3，∴P（∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋1－2×0.3＝0.9. 9.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以“x，y”代替），其分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则x，y的值依次为　2，5　. 解析：由0.20＋0.10＋（0.1×x＋0.05）＋0.10＋（0.1＋0.01×y）＋0.20＝1，得10x＋y＝25.又因为x，y∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故x＝2，y＝5. 10.某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X. （1）求该选手得分不少于6分的概率； （2）求X的分布列. 解：（1）由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得分为6分或12分， 可得P（X＝6）＝＝，P（X＝12）＝＝， 所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P（X＝12）＝＋＝. （2）根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12， 则P（X＝3）＝＝，P（X＝0）＝1－－＝， 所以随机变量X的分别列为 X 0 3 6 12 P 11.随机变量X的概率分布列的规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　由P（X＝n）＝＝（－），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝1，即（1－＋－＋－＋－）＝1，得a＝.∴P（X＝）＝P（X＝2）＝×（－）＝. 12.（多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次从中摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.共摸球3次，设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝，则摸球3次，随机变量ξ的取值可能为（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 解析：BCD　由题意知，摸到红球的概率是P1＝，摸到白球的概率是P2＝，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白球，所以（）3＝，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，5，6，故选B、C、D. 13.袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）＝　　. 解析：取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1，相应的黑球的个数为0，1，2，3，其得分ξ＝4，6，8，10，则P（ξ≤6）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝6）＝＋＝. 14.某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干千克A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率. （1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列； （2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的分布列. 解：（1）n的分布列为 n 140 150 160 170 180 190 200 P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 （2）若A水果日需求量为140千克，则X＝140×（15－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P（X＝680）＝＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×（15－10）＝750（元），所以P（X＝750）＝1－0.1＝0.9. 则X的所有可能取值为680，750， 故X的分布列为 X 680 750 P 0.1 0.9 15.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有1张一等奖，可获价值50元的奖品；有3张二等奖，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求： （1）该顾客中奖的概率； （2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列. 解：（1）记顾客中奖为事件A，则P（A）＝＝＝，即该顾客中奖的概率为. （2）X所有可能的取值为0，10，20，50，60， 且P（X＝0）＝＝，P（X＝10）＝＝， P（X＝20）＝＝，P（X＝50）＝＝， P（X＝60）＝＝， 故X的分布列如下： X 0 10 20 50 60 P 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $