7.4.1 第2课时 二项分布的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦二项分布的均值、方差及概率最大问题，通过数学测验、应聘测试等实例导入，衔接二项分布定义，搭建从基础计算到实际应用的学习支架，梳理知识脉络。 资料特色在于结合应聘决策、投篮比赛等情境培养数学眼光，通过概率最大问题推导训练数学思维，用分布列和公式表达体现数学语言。助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供系统题型与方法，提高教学效率。

第2课时　二项分布的综合问题 题型一 二项分布的均值与方差 【例1】　（1）随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（2X－1）＝（　A　） A.64　 B.128 C.256　 D.32 （2）一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为　60　，方差为　96　. 解析：（1）E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝np（1－p）＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D（X）＝64. （2）设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X.由题知X～B（25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96.所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 通性通法 求二项分布的均值和方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从二项分布； （2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差，即X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.特别地，当n＝1时，X服从两点分布. 【跟踪训练】 1.已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D（X）＝，则p＝（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：C　由随机变量X服从二项分布B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝，可得解得p＝.故选C. 2.为了探究某市在高考志愿中报考“经济类”专业的情况，现从该市考生中随机抽取50名学生进行调查，得到数据如下： 报考“经济类” 不报考“经济类” 合计 人数 20 30 50 以样本中各事件的频率作为概率估计全市考生的报考情况，现从该市全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列、均值与方差. 解：估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率P＝＝. 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，）， 则P（X＝k）＝（）k（1－）3－k（k＝0，1，2，3）， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴随机变量X的均值E（X）＝3×＝，方差D（X）＝3××（1－）＝. 题型二 二项分布的均值和方差的实际应用 【例2】　某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立. （1）若m＝.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A， 由题设P（A）＝×××＋××＝. （2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ，η”， 由题设知：ξ～B（3，），所以E（ξ）＝3×＝2， η的所有可能取值为0，1，2，3， P（η＝0）＝××（1－m）＝， P（η＝1）＝××（1－m）＋××（1－m）＋××m＝， P（η＝2）＝××（1－m）＋××m＋××m＝， P（η＝3）＝××m＝＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P 从而E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 由得解得＜m＜1. 故m的取值范围为（，1）. 通性通法 　　二项分布的均值与方差是反映随机变量取值的平均水平和随机变量偏离均值的程度，从整体上刻画随机变量的取值情况，是生产实际中用于方案制定（决策）的重要理论依据.求解二项分布的均值与方差的应用问题时，可按随机变量的均值与方差的定义求解，也可先判断随机变量的分布类型，再直接利用公式求E（X）及D（X）. 【跟踪训练】 甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为p，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分. 按累计得分高低确定胜负. （1）若乙得6分的概率，求p； （2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 解：（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中， 其概率为p3·（1－p），又0＜p＜1， 故p3·（1－p）＝，解得p＝. （2）设X为甲累计获得的分数，则X～B（5，），所以E（X）＝np＝5×＝， 设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0，2，4，6，8，10， P（Y＝0）＝，P（Y＝2）＝×（1－）＝， P（Y＝4）＝（）2×（1－）＝， P（Y＝6）＝（）3×（1－）＝， P（Y＝8）＝（）4×（1－）＝， P（Y＝10）＝（）5＝， 所以Y的分布列为 Y 0 2 4 6 8 10 P 所以E（Y）＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＋10×＝， 因为E（X）＞E（Y），所以甲获胜的可能性大. 1.设X～B（40，p），且E（X）＝16，则p＝（　　） A.0.1　 B.0.2 C.0.3　 D.0.4 解析：D　∵E（X）＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D. 2.已知小明投篮10次，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D（X）＝　2.1　. 解析：随机变量X～B（10，0.7），故D（X）＝10×0.7×（1－0.7）＝2.1. 3.甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛.已知各局比赛相互独立，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局. 解：由题意，用X表示10局中甲赢的次数， 则X～B（10，0.51）， 所以E（X）＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局， 用Y表示10局中乙赢的次数，则Y～B（10，0.49）， 所以E（Y）＝10×0.49＝4.9， 即乙平均赢4.9局. 　二项分布概率最大问题 1.如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？ 解：假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则×0.74k×0.2610－k≥×0.74k＋1×0.269－k且×0.74k×0.2610－k≥×0.74k－1×0.2611－k，解得≤k≤，又k∈N，所以k＝8.故最有可能成活8株幼苗. 2.如果X～B，那么当P（X＝k）取得最大值时，k取何值？ 解：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝××＝××， P（X＝k－1）＝××，k∈N且k≤20. 由不等式≤1，即≤1，解得k≤7. 所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P（X＝k－1）＞P（X＝k）. 因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝k）. 所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 方法总结 二项分布概率最大问题的求解思路 如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k）最大值对应的k值，一般是考查与1的大小关系.因为＝＝1＋（1≤k≤n），所以要使P（X＝k）≥P（X＝k－1），则k≤（n＋1）p.故有： （1）若（n＋1）p＞n，则k＝n时P（X＝k）取得最大值； （2）若（n＋1）p是不超过n的正整数，则当k＝（n＋1）p－1和k＝（n＋1）p时，P（X＝k）取得最大值； （3）若（n＋1）p是不超过n的非整数，则当k＝[（n＋1）p]（注：[（n＋1）p]表示不超过（n＋1）p的最大整数）时P（X＝k）取得最大值. 提醒　还可以考虑用不等式组来求解. 【迁移应用】 某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则ξ～B（20，）， 其中P（ξ＝k）＝（）k（）20－k，k＝0，1，2，…，20， 当k≥1时，由 得 化简得解得≤k≤， 又k∈Z，所以k＝4， 所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 1.已知X～B（n，p），E（X）＝8，D（X）＝1.6，则n与p的值分别为（　　） A.100和0.08　 B.20和0.4 C.10和0.2　 D.10和0.8 解析：D　因为X～B（n，p），所以解得n＝10，p＝0.8. 2.若随机变量X～B（n，0.4），且E（X）＝2，则P（X＝1）＝（　　） A.3×0.44　 B.2×0.45 C.3×0.64　 D.2×0.64 解析：D　因为随机变量X～B（n，0.4），所以E（X）＝0.4n＝2，解得n＝5，所以随机变量X～B（5，0.4），所以P（X＝1）＝（1－0.4）4×0.41＝2×0.64，故选D. 3.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为（　　） A.　 B.3 C.　 D.2 解析：A　因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B（3，）.X的方差D（X）＝3××（1－）＝，所以Y的方差D（Y）＝32·D（X）＝9×＝6，所以Y的标准差为＝. 4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒该种种子，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则E（X）＝（　　） A.50　 B.100 C.200　 D.400 解析：C　由题意可知，不发芽的种子数（记为Y）服从二项分布，即Y～B（1 000，0.1），所以E（Y）＝1 000×0.1＝100，所以X的均值E（X）＝2×E（Y）＝200. 5.（多选）已知ξ～B（n，p），且E（3ξ＋2）＝9.2，D（3ξ＋2）＝12.96，则下列说法正确的有（　　） A.n＝6 B.p＝0.6 C.P（ξ＝4）＝×0.64×0.42 D.P（ξ≥1）＝1－0.66 解析：AD　因为E（3ξ＋2）＝3E（ξ）＋2＝9.2，D（3ξ＋2）＝9D（ξ）＝12.96，所以E（ξ）＝2.4，D（ξ）＝1.44，由ξ～B（n，p），所以E（ξ）＝np＝2.4，D（ξ）＝np（1－p）＝1.44，所以n＝6，p＝0.4，故A正确，B错误；又P（ξ＝4）＝×0.62×0.44，故C错误；P（ξ≥1）＝1－P（ξ＝0）＝1－0.66，D正确.故选A、D. 6.（多选）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能地选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为X，则下列结论正确的是（　　） A.每次游戏中小明得1分的概率是 B.X的均值是2 C.X的均值是3 D.X的方差是 解析：AC　设小明为a，其他两位同学分别为b，c，每次游戏三人选择的手势组合如下表： a b c 手心 手心 手背 手心 手心 手心 手心 手背 手背 手心 手背 手心 手背 手心 手背 手背 手心 手心 手背 手背 手背 手背 手背 手心 共有8种情况，小明得1分有6种情况，所以小明每次游戏得1分的概率P＝，故A正确；由题意，X～B（4，），所以E（X）＝4×＝3，D（X）＝4××＝，故B错误，C正确，D错误.故选A、C. 7.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D（ξ）＝　0.196　. 解析：因为ξ～B（10，0.02），所以D（ξ）＝10×0.02×（1－0.02）＝0.196. 8.某人参加驾照考试，共考4个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，且p＞，若此人通过的科目数X的方差是，则E（X）＝　　. 解析：因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，所以此人通过的科目数X～B（4，p），又此人通过的科目数X的方差是，所以4p（1－p）＝，解得p＝或p＝（舍去），所以E（X）＝4×＝. 9.抛掷一枚质地均匀的硬币n（3≤n≤8）次，正面向上的次数ξ服从二项分布B（n，），若P（ξ＝1）＝，则方差D（ξ）＝　　. 解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B（n，），且P（ξ＝1）＝，所以·（）·（1－）n－1＝，即n（）n＝，解得n＝6，所以方差D（ξ）＝np（1－p）＝6××（1－）＝. 10.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： （1）求ξ＝2时的概率； （2）求ξ的均值. 解：（1）依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是， 故P（ξ＝2）＝×（）2×（）2＝. （2）法一　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知，P（ξ＝k）＝（）k（）4－k（k＝0，1，2，3，4）. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B（4，）， ∴E（ξ）＝4×＝. 11.一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X2，则（　　） A.E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2） B.E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2） C.E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2） D.E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2） 解析：B　X1的可能取值为0，1，2，X1～B（2，），E（X1）＝2×＝，D（X1）＝2××＝；X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝×＝，P（X2＝1）＝×＋×＝，∴E（X2）＝0×＋1×＝，D（X2）＝（0－）2×＋（1－）2×＝.∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）. 12.为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则该小组可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有　410　个小组能评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数） 解析：由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为×0.84＋×（1－0.8）×0.83＝0.819 2，即一个小组能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2，且被评为“阳光小组”的个数X服从二项分布X～B（500，0.819 2），所以能被评为“阳光小组”的约有500×0.819 2＝409.6≈410个. 13.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 解：（1）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝（）3＝， P（X＝1）＝××（）2＝， P（X＝2）＝×（）2×＝， P（X＝3）＝（）3＝. ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ∵X～B（3，），∴E（X）＝3×＝. （2）击中一次被扑灭的概率为P1＝×（）1×（）2×＝， 击中两次被扑灭的概率为P2＝×（）2××＝， 击中三次被扑灭的概率为P3＝（）3＝， ∴所求概率P＝＋＋＝. 14.设随机变量X～B（n，p），若二项式（x＋p）n＝a0＋x＋x2＋…＋anxn，则（　　） A.E（X）＝3，D（X）＝2　 B.E（X）＝4，D（X）＝2 C.E（X）＝3，D（X）＝1　 D.E（X）＝2，D（X）＝1 解析：D　由题意可知，（x＋p）n＝pn＋pn－1x＋pn－2x2＋pn－3x3＋…＋xn，又（x＋p）n＝a0＋x＋x2＋…＋anxn，所以化简得n－1＝6p　①，此时n－1＜6.若选项A成立，则解得故A错误；若选项B成立，则解得故B错误；若选项C成立，则解得代入①验证不成立，故C错误；若选项D成立，则解得代入①验证成立，故D正确.故选D. 15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. （1）当n＝6时，求P（X≤2）； （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有P（｜Y－E（Y）｜＜a）≥1－.根据该不等式可以对事件“｜Y－E（Y）｜＜a”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值. 解：（1）由已知X～B（6，），所以P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2） ＝（）6＋·（）5＋（）2·（）4＝＋＋＝ . （2）由已知X～B（n，0.5），所以E（X）＝0.5n，D（X）＝0.25n， 若0.4≤≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即－0.1n≤X－0.5n≤0.1n，即｜X－0.5n｜≤0.1n. 由切比雪夫不等式知P（｜X－0.5n｜≤0.1n）≥1－， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1－≥0.98， 解得n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $