7.4.1 第1课时 二项分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦二项分布核心知识点，以甲、乙班篮球决赛赛制选择问题导入，通过n重伯努利试验概念过渡，结合“想一想”辨析与题型示例搭建学习支架，梳理从试验特征到分布列的知识脉络。 资料特色在于情境导入渗透数学建模，如用篮球比赛概率分析引导学生用数学眼光观察现实，概念辨析培养数学抽象，题型训练提升数学运算，助力学生建立知识联系，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率与素养培养效果。

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念 数学抽象 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题 数学建模、数学运算 第1课时　二项分布 　　在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环赛，甲、乙两班顺利进入最后的决赛.在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制. 【问题】　如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　n重伯努利试验 1.伯努利试验：只包含　两个　可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的　随机试验　称为n重伯努利试验. 3.n重伯努利试验的共同特征 （1）同一个伯努利试验重复做　n　次； （2）各次试验的结果相互　独立　. 【想一想】 1.伯努利试验有几种结果？ 提示：两种，事件发生与不发生. 2.在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？ 提示：是，满足n重伯努利试验的特征. 知识点二　二项分布 1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～　B（n，p）　. 2.二项分布的均值与方差 （1）均值：若X～B（n，p），则E（X）＝　np　； （2）方差：若X～B（n，p），则D（X）＝　np（1－p）　. 提醒　二项分布的特点：①对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，即“成功”和“不成功”，而且有且只有一个发生；②重复性，试验在相同条件下独立重复地进行n次，且每一次试验“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变. 【想一想】 　二项分布与两点分布有什么关系？ 提示：当n＝1时，二项分布就是两点分布. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数.（　√　） （2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果.（　√　） （3）进行n重伯努利试验，各次试验中事件A发生的概率可以不同.（　×　） （4）n重伯努利试验是有放回地抽样检验问题.（　√　） 2.设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝（　　） A.　　　 B.　 　　C.　　　 D. 解析：A　X～B（6，），则P（X＝3）＝（）3·（1－）3＝.故选A. 3.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：D　根据独立重复试验的概率公式有P＝（）（）2＝.故选D. 题型一 n重伯努利试验的判断 【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 解：（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验. （2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. （3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. 通性通法 n重伯努利试验的判断依据 （1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； （2）每次试验相互独立，互不影响； （3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生. 【跟踪训练】 　下列事件是n重伯努利试验的是（　　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 解析：D　选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验. 题型二 n重伯努利试验的概率 【例2】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） （1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 解：（1）记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P（A1）＝1－P（）＝1－＝. （2）记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P（A2）＝×＝，P（B2）＝××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P（A2B2）＝×＝. 通性通法 求n重伯努利试验概率的步骤 （1）判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆； （3）计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算. 【跟踪训练】 　已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列. 解：（1）该小组恰有两次失败的概率P＝·＝＝. （2）由题意可知X的取值集合为{0，2，4}， 则P（X＝0）＝＝＝， P（X＝2）＝·＋＝＝， P（X＝4）＝＋＝＝. 故X的分布列为 X 0 2 4 P 题型三 二项分布及其应用 【例3】　一个盒子里有大小相同的3个红球和2个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分. （1）若从盒子里一次随机取出3个球，求得2分的概率； （2）若从盒子里每次取出一个球，看清颜色后放回，连续取3次，求得分ξ的分布列. 解：（1）记“一次随机取出3个球得2分”为事件A，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球，则P（A）＝＝. （2）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3， 因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率均为，每次取到黑球的概率均为. 则ξ～B（3，），P（ξ＝k）＝（）k（）3－k（k＝0，1，2，3）， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 通性通法 解决二项分布及其应用问题的一般步骤 （1）根据题意设出随机变量； （2）分析随机变量是否服从二项分布； （3）若服从二项分布，则求出n和p的值； （4）根据已知条件列出相关式子，并解决问题. 【跟踪训练】 　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列. 解：由题意可知X～B（3，）， 所以P（X＝k）＝（）k·（）3－k，k＝0，1，2，3， 即P（X＝0）＝×（）0×（）3＝； P（X＝1）＝××（）2＝； P（X＝2）＝×（）2×＝； P（X＝3）＝×（）3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1.若随机变量X～B，则P（X＝2）＝（　　） A.×　 B.× C.××　 D.×× 解析：D　∵随机变量X～B，∴P（X＝2）＝××. 2.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为（　　） A.0.93　 B.1－（1－0.9）3 C.×0.93×0.12　 D.×0.13×0.92 解析：C　5头猪中恰有3头被治愈的概率为×0.93×0.12. 3.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－p0（1－p）4＝，所以1－p＝，p＝. 4.袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数X的分布列. 解：取到黑球个数X的可能取值为0，1，2，3. 又由于每次取到黑球的概率均为， 所以P（X＝0）＝（）0·（）3＝， P（X＝1）＝（）·（）2＝， P（X＝2）＝（）2·（）＝， P（X＝3）＝（）3·（）0＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1.在100件产品中有5件次品，采用有放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（　　） A.X～B（100，0.05）　 B.X～B（10，0.05） C.X～B（100，0.95）　 D.X～B（10，0.95） 解析：B　有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10次独立重复的伯努利实验，所以服从二项分布X～B（10，0.05）.故选B. 2.打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为（　　） A.×0.84×0.296　 B.0.84 C.0.84×0.296　 D.0.24×0.896 解析：A　由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为×0.84×0.296. 3.设随机变量X～B（2，p），若P（X≥1）＝，则p的值为（　　） A.　　　 B.　　　C.　　　 D. 解析：A　∵X～B（2，p），∴P（X＝0）＝（1－p）2，∴P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）2＝，解得p＝. 4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮的概率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：A　该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮包括两天和三天出现大潮两种情况，有两天出现大潮的概率为×（）2×＝，有三天出现大潮的概率为×（）3＝，所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.故选A. 5.（多选）袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记X为取得黑球次数，Y为取得白球次数，则（　　） A.随机变量X的可能取值为0，1，2，3 B.随机变量Y的可能取值为0，1，2 C.随机变量X～B（3，） D.随机变量Y～B（3，） 解析：AC　随机变量X，Y的可能取值都为0，1，2，3，A正确，B错误；根据二项分布的概念，X～B（3，），Y～B（3，），C正确，D错误.故选A、C. 6.（多选）若随机变量X服从二项分布B，则（　　） A.P（X＝1）＝P（X＝3） B.P（X＝2）＝3P（X＝1） C.P（X＝4）＝2P（X＝0） D.P（X＝3）＝4P（X＝1） 解析：BD　由题意，根据二项分布中概率的计算公式P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝·＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，因此P（X＝2）＝3P（X＝1），P（X＝3）＝4P（X＝1）.故选B、D. 7.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为　　. 解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设申请A片区的房源记为事件A，则P（A）＝，所以恰有2人申请A片区的概率为××＝. 8.一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为　4　. 解析：由1－＞0.9，得＜0.1，∴n≥4. 9.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　. 解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝＋＋＝. 10.某气象站天气预报的准确率为80%，求： （1）5次预报中恰有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）； （2）5次预报中至少有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）. 解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，每次试验中事件发生的概率是0.8. 5次预报中恰有2次准确的概率是×0.82×0.23≈0.05. （2）5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确， 根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得所求概率为1－×0.81×0.24－×0.80×0.25≈0.99. 11.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到障碍物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：C　小球每次遇到障碍物时，若有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落，则小球将落入A袋，所以P＝×（）×（1－）2＋×（）2×（1－）＝. 12.（多选）如果某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是（　　） A.这5个家庭均有小汽车的概率为 B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 解析：ACD　由题得小汽车的普及率为，这5个家庭均有小汽车的概率为＝，所以选项A结论成立；这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为×＝，所以选项B结论错误；这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，所以选项C结论成立；这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为×＋＝，所以选项D结论成立，故选A、C、D. 13.如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是　　. 解析：由题意可知，逆时针方向移动的概率为，顺时针方向移动的概率为，由A点出发，3次移动后到达B点，则3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，所以概率P＝·（）2·＝. 14.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是. （1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； （2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列. 解：（1）根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B（5，），则P（ξ＝k）＝（）k·（）5－k，k＝0，1，…，5. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P （2）η的分布列为P（η＝k）＝P（前k个是绿灯，第k＋1个是红灯）＝（）k·，k＝0，1，2，3，4. P（η＝5）＝P（5个均为绿灯）＝（）5. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P 15.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则S4＝2的概率为　　. 解析：S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝××＝. 16.某单位6名员工借助互联网开展工作，每名员工上网的概率都是0.5（相互独立）. （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 解：（1）至少3人同时上网包括3人、4人、5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则P（A）＝（）3（）3＋（）4（）2＋（）5（）1＋（）6（）0＝. （2）由（1）知至少3人同时上网的概率大于0.3， 记“至少4人同时上网”为事件B，其概率为P（B）＝（）4（）2＋（）5（）1＋（）6×（）0＝＞0.3， 记“至少5人同时上网”为事件C，其概率为P（C）＝（）5（）1＋（）6×（）0＝＜0.3.所以至少5人同时上网的概率小于0.3. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $