7.3.2 离散型随机变量的方差-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该高中数学教案聚焦离散型随机变量的方差，通过甲、乙工人生产次品数的实例导入，以期望无法区分质量引出方差的必要性，衔接前期期望知识，搭建从平均水平到数据离散程度的学习支架。 资料以情境问题驱动，设置定义理解、性质应用、实际决策等分层题型，融入数学抽象、数学建模与数学运算核心素养。如通过射击成绩、产品质量等实例，引导学生用数学思维分析数据稳定性，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

7.3.2　离散型随机变量的方差 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 数学抽象 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 数学建模、数学运算 3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差 数学运算 　　甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下： 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 【问题】　（1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两名工人的产品质量吗？ （2）试想利用什么指标可以比较加工质量？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　离散型随机变量的方差 1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝　（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn　＝　（xi－E（X））2pi　为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）. 2.标准差 称　　为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 3.方差的性质 （1）D（X＋b）＝　D（X）　； （2）D（aX）＝　a2D（X）　； （3）D（aX＋b）＝　a2D（X）　. 提醒　对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；②方差也可以用公式D（X）＝E（X2）－（E（X））2计算；③若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（其中p为成功概率）. 【想一想】 　随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于 简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（　×　） （2）若a是常数，则D（a）＝0.（　√　） （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.（　√　） （4）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D（X）＝0.25.（　√　） 2.已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D（X）＝（　　） A.0.7　 B.0.61 C.－0.3　 D.0 解析：B　E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61. 3.设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 解析：C　因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C. 题型一 求离散型随机变量的方差 【例1】　袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差. 解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3， 则P（X＝5）＝＝，P（X＝4）＝＝， P（X＝3）＝＝. 故X的分布列为 X 5 4 3 P E（X）＝5×＋4×＋3×＝4. D（X）＝（5－4）2×＋（4－4）2×＋（3－4）2×＝. 通性通法 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 （1）理解X的意义，写出X的可能取值； （2）写出X的分布列； （3）由均值的定义求出E（X）； （4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）. 【跟踪训练】 　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差. 解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2. 则P（ξ＝0）＝×＝， P（ξ＝1）＝×＋×＝， P（ξ＝2）＝×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝， D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝. 题型二 方差的性质的应用 【例2】　已知随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； （2）求X的方差； （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解：（1）由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）由（1）知a＝，所以E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－. 故D（X）＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝. （3）由（2）知E（X）＝－，D（X）＝， 所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－）＋3＝2， D（Y）＝16D（X）＝11. 通性通法 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 　　求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解. 【跟踪训练】 　已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b 若E（X）＝，则a＝　　，D（3X－1）＝　5　. 解析：由题意可得解得因此，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝，即D（3X－1）＝9D（X）＝5. 题型三 方差的简单应用 【例3】　为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为： ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 （1）求a，b的值； （2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况. 解：（1）由离散型随机变量的分布的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4. （2）E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）2×0.6＝0.81， D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3＝0.6. 由于E（ξ）＞E（η），说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D（ξ）＞D（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势. 通性通法 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高； （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定； （3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论. 【跟踪训练】 　甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 （1）求E（X）和E（Y）； （2）求D（X）和D（Y），并比较两种品牌手表的性能. 解：（1）由已知可得，E（X）＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0， E（Y）＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0. （2）由（1）知，E（X）＝0，E（Y）＝0， 所以D（X）＝（－1－0）2×0.1＋（0－0）2×0.8＋（1－0）2×0.1＝0.2. D（Y）＝（－2－0）2×0.1＋（－1－0）2×0.2＋（0－0）2×0.4＋（1－0）2×0.2＋（2－0）2×0.1＝1.2. 所以E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定. 1.下列说法中正确的是（　　） A.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值 B.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值 解析：C　E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取值的离散程度. 2.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（　　） X 1 2 3 P A.　　　 B.1　　　　C.　　　 D. 解析：C　由题意得E（X）＝1×＋2×＋3×＝，所以D（X）＝×＋×＋×＝.故选C. 3.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为　　. 解析：由题意可知D（10X）＝，即100D（X）＝，∴D（X）＝，∴＝.即X的标准差为. 4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E（ξ）和D（ξ）. 解：ξ的所有可能取值为0，1，3， 则P（ξ＝0）＝＝， P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝3）＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1， D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1. 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 2.设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，则D（Y）＝（　　） A.9　 B.8 C.5　 D.4 解析：B　由题意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8. 3.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3ξ＋5）＝（　　） A.6　 B.9 C.3　 D.4 解析：A　由题可得，E（ξ）＝×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，D（3ξ＋5）＝32×D（ξ）＝6，故选A. 4.设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（　　） A.0和1　 B.p和p2 C.p和1－p　 D.p和p（1－p） 解析：D　由题可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0－p）2×（1－p）＝p（1－p），故选D. 5.甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断（　　） 表一 X 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 Y 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好　 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同　 D.无法判定 解析：B　由分布列可求甲的次品数的均值为E（X） ＝0×0.7＋1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E（Y）＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，D（X）＝（0－0.7）2×0.7＋（1－0.7）2×0＋（2－0.7）2×0.2＋（3－0.7）2×0.1＝1.21，D（Y）＝（0－0.7）2×0.6＋（1－0.7）2×0.2＋（2－0.7）2×0.1＋（3－0.7）2×0.1＝1.01，E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以乙比甲质量好. 6.（多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（　　） A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球次数ξ的均值为2 D.取球次数ξ的方差为 解析：BD　设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝×＝.对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P（ξ＝2）＝，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝＋＝，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的均值为E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D（ξ）＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，D选项正确. 7.已知随机变量X的分布列如下表所示，则a＝　0.5　，D（X）＝　3.56　. X 1 3 5 P 0.4 0.1 a 解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，E（X）＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D（X）＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56. 8.设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则＝　　. 解析：易知X的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，且每种取值的概率都为，所以E（X）＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝，D（X）＝E（X2）－＝（1＋4＋9＋16＋25＋36）－（）2＝，所以＝. 9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D（X）＝　　. X 0 1 2 P a b 解析：由分布列可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得E（X）＝＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝. 10.已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P （1）求η的方差； （2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）. 解：（1）∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384. （2）∵Y＝2η－E（η）， ∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1 536. 11.已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（　　） A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 解析：A　因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）（1－p1－p2）＜0，故选A. 12.某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D（X）＝　　. 解析：由题意知X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝×＋×＋×＋×＝. 13.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示（用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立）. 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 （1）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值； （2）在（1）中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D（X）与D（Y）的大小. 解：（1）记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B，则P（A）＝＝，P（B）＝＝， X的可能取值为0，1，2， 所以P（X＝0）＝（1－）×（1－）＝， P（X＝1）＝（1－）×＋×（1－）＝， P（X＝2）＝×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝. （2）依题意可得Y＝2－X，所以D（Y）＝D（2－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），即D（Y）＝D（X）. 14.某射手射击一次所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P 0.1 0.4 0.3 0.2 现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为ξ，则D（ξ）＝　0.63　. 解析：ξ的可能取值为7，8，9，10，且P（ξ＝7）＝0.12＝0.01，P（ξ＝8）＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P（ξ＝9）＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P（ξ＝10）＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.所以ξ的分布列为 ξ 7 8 9 10 P 0.01 0.24 0.39 0.36 E（ξ）＝7×0.01＋8×0.24＋9×0.39＋10×0.36＝9.1，D（ξ）＝（7－9.1）2×0.01＋（8－9.1）2×0.24＋（9－9.1）2×0.39＋（10－9.1）2×0.36＝0.63. 15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润. （1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （2）求η的分布列、期望和方差. 解：（1）“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”. ∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， P（）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488. （2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率， P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2， P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6， P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2， 故η的分布列为 η 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 ∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300. ∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $